Apartaj valoroj de Γ funkcio

En matematiko, Γ funkcio estas speciala funkcio. Ĝia valoro povas esti esprimitaj en fermita formo por entjeraj kaj duono-entjeraj argumentoj. Ne estas sciataj simplaj esprimoj por ĝia valoro je racionalaj punktoj ĝenerale. Ankaŭ, estas konataj kelkaj la aliaj specifaj valoroj de la funkcio kaj iliaj interrilatoj al diversaj konstantoj.

Entjeraj kaj duono-entjeraj argumentoj redakti

Por nenegativaj entjeraj argumentoj, la Γ funkcio estas donata per faktorialo:

\Gamma (n+1)=n!\;,\quad n\in \mathbb {N} _{0}

kaj de ĉi tie

Γ(1) = 1

Γ(2) = 1

Γ(3) = 2

Γ(4) = 6

Γ(5) = 24

Γ(6) = 120

...

Por pozitivaj duono-entjeraj argumentoj, valoroj de la funkcio estas donitaj per

\Gamma (n/2)={\sqrt {\pi }}{\frac {(n-2)!!}{2^{(n-1)/2}}}

aŭ ekvivalente

\Gamma (n+1/2)={\sqrt {\pi }}{\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}={\sqrt {\pi }}{\frac {(2n)!}{2^{2n}n!}}

kie n!! estas la duopa faktorialo. Tiel

$\Gamma (1/2)\,$	$={\sqrt {\pi }}\,$	$\approx 1,7724538509055160273$
$\Gamma (3/2)\,$	$={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\,$	$\approx 0,8862269254527580137$
$\Gamma (5/2)\,$	$={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}\,$	$\approx 1,3293403881791370205$
$\Gamma (7/2)\,$	$={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}\,$	$\approx 3,3233509704478425512$
...

kaj per la reflekta formulo

$\Gamma (-1/2)\,$	$=-2{\sqrt {\pi }}\,$	$\approx -3,5449077018110320546$
$\Gamma (-3/2)\,$	$={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}\,$	$\approx 2,3632718012073547031$
...

Ĝeneralaj racionalaj argumentoj redakti

Analoge al la duono-entjera formulo estas formuloj

\Gamma (n+1/3)=\Gamma (1/3){\frac {(3n-2)!^{(3)}}{3^{n}}}

\Gamma (n+1/4)=\Gamma (1/4){\frac {(4n-3)!^{(4)}}{4^{n}}}

\Gamma (n+1/p)=\Gamma (1/p){\frac {(pn-(p-1))!^{(p)}}{p^{n}}}

kie $n!^{(k)}$ estas la k-a plurfaktorialo de n. Per ĉi tiuj rilatoj, valoro de la Γ funkcio de ĉiu racionala argumento p/q povas esti esprimita en fermita algebra formo kun uzo de valoro de Γ(1/q). Tamen, fermitaj esprimoj ne estas konataj por nombroj Γ(1/q) kie q>2. La proksimumaj valoroj estas

Γ(1/3) ≈ 2,6789385347077476337

Γ(1/4) ≈ 3,6256099082219083119

Γ(1/5) ≈ 4,5908437119988030532

Γ(1/6) ≈ 5,5663160017802352043

Γ(1/7) ≈ 6,5480629402478244377

Estas nekonate ĉu ĉi tiuj nombroj estas transcenda ĝenerale, sed estis montrite ke Γ(1/3) estas transcenda de Le Lionnais en 1983 kaj estis montrite ke Γ(1/4) estas transcenda de Chudnovsky en 1984. Ankaŭ nombro $\Gamma (1/4)/\pi ^{-1/4}$ estas sciata al esti transcenda. Jurij V Nesterenko pruvis en 1996 ke Γ(1/4), π kaj e^π estas algebre sendependaj.

La nombro Γ(1/4) estas rilatanta al la lemniskata konstanto S per

\Gamma (1/4)={\sqrt {{\sqrt {2\pi }}S}}

kaj estas konjekto ke

\Gamma (1/4)=\left(4\pi ^{3}e^{2\gamma -\mathrm {\rho } +1}\right)^{1/4}

kie ρ estas konstanto de Masser-Gramain.

Borwein kaj Zucker montris ke Γ(n/24) povas esti esprimita algebre per π, K(k(1)), K(k(2)), K(k(3)) kaj K(k(6)) kie K(k(N)) estas plenaj elipsaj integraloj de la unua speco. Ĉi tio ebligas kompetentan aproksimigon de la Γ funkcio de racionalaj argumentoj je alta precizeco per kvadrate konverĝaj aritmetiko-geometriaj meznombraj ripetoj. Ne estas konataj iuj similaj rilatoj por Γ(1/5) aŭ la aliaj denominatoroj.

Aparte Γ(1/4) estas donita per