Kompleta metrika spaco

Je matematiko, kompleta metrika spaco estas metrika spaco kiu estas "kompleta", en la senco ke ĉiu "ekzistinda" limeso (t.e. tiu de koŝia vico) fakte ekzistas.

Difino

Metrika spaco $(M,d)$ estas kompleta, se en ĝi ĉiu koŝia vico konverĝas (havas limeson).

Ekzemploj

Eŭklida spaco

La spaco de reeloj $\mathbb {R}$ estas plena, kaj la norma konstruado de la reelaj nombroj engaĝas koŝiajn vicojn de racionalaj nombroj. Pli ĝenerale, la Eŭklida spaco $\mathbb {R} ^{n}$ estas kompleta, kaj estas kompletigo de $\mathbb {Q} ^{n}$

Kontraŭekzemplo: racionalaj nombroj

La racionalaj nombroj $\mathbb {Q}$ estas ne plenaj (por la kutima distanco): Estas vicoj de racionalaj nombroj kiu konverĝi (en $\mathbb {R}$) al neracionalaj nombroj; ĉi tiuj estas koŝiaj vicoj ne havantaj limigon en $\mathbb {Q}$.

Ekzemple:

• La vico difinita per x₀ = 1, x_n+1 = (x_n + 2/x_n)/2 konsistas de racionalaj nombroj (1, 3/2, 17/12,...), kio estas klara de la difino; ĝi konverĝas al la neracionala nombro kvadrata radiko de du.
• La valoroj de la eksponenta funkcio e^x, sinuso sin(x) kaj kosinuso cos(x), estas malracionalaj por ĉiuj racionalaj x≠0, sed ĉiu el ili estas difinita kiel limigo de racionala vico kiu estas vico de partaj sumoj de la serio de Taylor.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Complete metric space en MathWorld.