Leĝo de Hooke

En mekaniko, leĝo de Hooke de elasteco estas proksimumado, kiu statas ke la vastigaĵo de risorto estas proporcia kun la forto je ĝi kaj havas kontraŭan direkton:

Risorto

F=-kx

kie x estas la distanco je kiu la risorto estas streĉita, do distanco je kiu moviĝis la punkto de apliko de la forto;

F estas la forto produktia de la risorto;

k estas la forta konstanto aŭ risorta konstanto, la konstanto havas mezurunuon kiu estas mezurunuo de forto dividita per mezurunuo de longo (neŭtono dividita per metro en SI).

La leĝo de Hooke veras nur se la forto ne superas certan valoron kiu estas la proporcia limigo, kaj se la forto ne superas la elastecan limigon. Se leĝo de Hooke veras konduto de la risorto estas lineara. Materialoj por kiuj la leĝo de Hooke estas sifiĉe preciza estas nomataj kiel lineare elastaj materialoj.

La leĝo de Hooke estas uzatada por kalkulado de operaciado de risortoj, streĉa analitiko kaj modelado de materialoj.

Elastaj materialoj

Objektoj kiuj rapide restarigas sian originalan formon post forigo de misformiga forto, kies molekuloj aŭ atomoj revenas al la komenca stato de stabila ekvilibro, ofte obeas leĝon de Hooke.

Eblas konsideri ĉiun vergon el elasta materialo kiel lineara risorto. La vergo havu longon L kaj kruco-sekcian areon A. Ĝia relativa vastigaĵo ε estas lineare proporcia kun ĝia streĉo σ per konstanta faktoro kiu estas inverso de ĝia modulo de elasteco E:

$\varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}$

kaj do ŝanĝo de longo de la vergo x estas

$x=\varepsilon L={\frac {\sigma }{E}}L={\frac {FL}{EA}}$

Tiel la forta konstanto estas

$k={\frac {EA}{L}}$

Leĝo de Hooke nur veras por iuj materialoj je certaj kondiĉoj. Ŝtalo havas lineare elastan konduton en plejparto de inĝenieradaj aplikoj, tiel leĝo de Hooke estas valida por ĝi entute en ĝia elasta limigo (kio estas, por streĉoj pli sube la fluidiga premo). Por iuj aliaj materialoj, ekzemple aluminio, leĝo de Hooke estas nur valida por parto de la elasta limigo. Por ĉi tiaj materialoj proporcia limiga streĉo estas difinita, pli sube de kiu la eraroj de la lineara proksimumado estas malatenteblaj.

Kaŭĉuko estas ĝenerale konsiderata kiel ne lineare elasta materialo, ĉar ĝia elasteco estas dependa de streĉo, temperaturo kaj rapido de ŝanĝo de forto.

Energio kaj oscilado

La potenciala energio de risorto veriganta leĝon de Hooke estas

$E={\frac {kx^{2}}{2}}$

La potenciala energio de risorto estas ĉiam nenegativa.

Se maso m estas alfiksita al la fino de ĉi tia risorto, kaj la alia fino de la risorto estas alfiksita al nemoviganta aĵo, la sistemo estas harmona oscililo. Ĝia fundamenta frekvenco estas

$\omega ={\sqrt {k \over m}}$ radianoj dum sekundo (angula frekvenco)

kio estas

$\nu ={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {k \over m}}$ hercoj (cikloj dum sekundo, frekvenco)

Multaj risortoj

Se du risortoj estas alfiksitaj al nemoviganta aĵo kaj kune streĉitaj per ekstera forto, ilia kuna konduto estas jena.

	Seria kunigo	Paralela kunigo
Bazaj interrilatoj	Forto estas la sama F = F1 = F2	Plilongigo estas la sama x = x1 = x2
	Plilongigoj sumiĝas x = x1+x2	Fortoj sumiĝas F = F1+F2
Ekvivalenta risorta konstanto	$k={\frac {1}{{\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}}}$	$k=k_{1}+k_{2}$
Interrilatro de plilongigoj de la risortoj	${\frac {x_{1}}{x_{2}}}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}$	x1 = x2
Interrilatro de fortoj de la risortoj	F1 = F2	${\frac {F_{1}}{F_{2}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}$
Interrilatro de potencialaj energioj de la risortoj	${\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}$	${\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}$

En okazo de la paralela kunigo temas pri okazo kiam la intermuntado de la du risortoj mem ne produktas streĉon de ili.

La formuloj estas ĝeneraligataj al okazo de pli multaj risortoj. Tiam por seria kunigo

$k={\frac {1}{{\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}+\cdot +{\frac {1}{k_{n}}}}}$

kaj por paralela kunigo

$k=k_{1}+k_{2}+\cdot +k_{n}$

Tensora esprimo

En okazo de tri-dimensia streĉa stato de materialo, 3-dimensia tensoro de 4-a ordo c_ijkl enhavanta 81 elastajn koeficientojn devas esti difinita por ligigi la streĉan tensoron σ_ij kun la tensia tensoro (tensoro de relativa vastigaĵo, tensoro de Green) ε_kl.

$\sigma _{ij}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}c_{ijkl}\varepsilon _{kl}$

Pro simetrio de la streĉa tensoro, tensia tensoro kaj afekteca tensoro, nur 21 elastaj koeficientoj estas sendependaj.

Pro tio ke streĉo estas mezurata en unuoj de premo kaj tensio estas sendimensia, la elementoj de c_ijkl estas ankaŭ en unuoj de premo.

Izotropaj materialoj

Izotropaj materialoj estas karakterizataj per propraĵoj kiuj estas sendependaj de direkto en spaco. Fizikaj ekvacioj engaĝantaj izotropajn materialojn devas pro tio esti sendependaj de turno de la koordinatsistemo elektita por prezenti ilin. La tensia tensoro estas simetria tensoro. Pro tio, ke la spuro de ĉiu tensoro estas sendependa de turno de la koordinatsistemo, la plej plena koordinato-libera malkomponaĵo de simetria tensoro estas prezento de ĝi kiel sumo de konstanta tensoro kaj senspura simetria tensoro. Tial:

$\varepsilon _{ij}=\sum _{k=1}^{3}\left({\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\sum _{kl}\left(\varepsilon _{ij}-{\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)$

kie $\delta _{ij}$ estas la delto de Kronecker. La unua ero dekstre estas la konstanta tensoro, ankaŭ sciata kiel la premo, kaj la dua ero estas la senspura simetria tensoro, nomata kiel la tonda tensoro.

La plej ĝenerala formo de leĝo de Hooke por izotopaj materialoj povas esti skribita kiel lineara kombinaĵo de ĉi tiuj du tensoroj:

$\sigma _{ij}=3K\sum _{k=1}^{3}\left({\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\sum _{k=1}^{3}\left(\varepsilon _{ij}-{\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)$

kie K estas la ampleksa modulo kaj G estas la tonda modulo.

Uzante interrilatojn inter la elastaj moduloj, ĉi tiuj ekvacioj povas ankaŭ esti esprimita en diversaj aliaj manieroj. La tensio povas esti esprimita per la streĉa tensoro kiel:

$\varepsilon _{11}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33})\right)$

$\varepsilon _{22}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33})\right)$

$\varepsilon _{33}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22})\right)$

$\varepsilon _{12}={\frac {\sigma _{12}}{2G}}$

$\varepsilon _{13}={\frac {\sigma _{13}}{2G}}$

$\varepsilon _{23}={\frac {\sigma _{23}}{2G}}$

kie E estas modulo de elasteco kaj ν estas rilatumo de Poisson (vidu en 3-dimensia elasteco).

Pruvo de leĝo de Hooke en 3 dimensioj

La 3-dimensia formo de leĝo de Hooke povas esti derivita de rilatumo de Poisson kaj la 1-dimensi formo de leĝo de Hooke jene. Konsideru la tension kaj streĉan rilaton kiel kompono de du efikoj: streĉo en direkto de komponanto de la forto en direkto 1 kaj ŝrumpado kaŭzita per la komponanto de la forto en perpendikularaj direktoj 2 kaj 3

$\varepsilon _{1}'={\frac {1}{E}}\sigma _{1}$

$\varepsilon _{2}'=-\nu \varepsilon _{1}$

$\varepsilon _{3}'=-\nu \varepsilon _{1}$

La similaj ekvacioj estas por komponantoj de la forto en direktoj 2 kaj 3

$\varepsilon _{1}''=-\nu \varepsilon _{2}$

$\varepsilon _{2}''={\frac {1}{E}}\sigma _{2}$

$\varepsilon _{3}''=-\nu \varepsilon _{2}$

kaj

$\varepsilon _{1}'''=-\nu \varepsilon _{3}$

$\varepsilon _{2}'''=-\nu \varepsilon _{3}$

$\varepsilon _{3}'''={\frac {1}{E}}\sigma _{3}$

Sumante ilin kune kiel $\varepsilon _{i}=\varepsilon _{i}'+\varepsilon _{i}''+\varepsilon _{i}'''$ rezultas

$\varepsilon _{1}={\frac {1}{E}}(\sigma _{1}-\nu (\sigma _{2}+\sigma _{3}))$

$\varepsilon _{2}={\frac {1}{E}}(\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{3}))$

$\varepsilon _{3}={\frac {1}{E}}(\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}))$

kaj per adicio kaj subtraho de unu $\nu \sigma$

$\varepsilon _{1}={\frac {1}{E}}((1+\nu )\sigma _{1}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}))$

$\varepsilon _{2}={\frac {1}{E}}((1+\nu )\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}))$

$\varepsilon _{3}={\frac {1}{E}}((1+\nu )\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}))$

kaj per solvado por $\sigma _{1}$ rezultas

$\sigma _{1}={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {\nu }{1+\nu }}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})$

La sumo estas

$\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{i}={\frac {1}{E}}((1+\nu )\sum _{i=1}^{3}\sigma _{i}-3\nu (\sum _{i=1}^{3}\sigma _{i}))={\frac {1-2\nu }{E}}\sum _{i=1}^{3}\sigma _{i}$

$\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}={\frac {E}{1-2\nu }}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})$

kaj metante la sumon en la ekvacio solvitan por $\sigma _{1}$ rezultas

$\sigma _{1}={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})$

aŭ

$\sigma _{1}=2\mu \varepsilon _{1}+\lambda (\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})$

kie μ kaj λ estas la parametroj de Lamé.

Simila rezonado pri direktoj 2 kaj 3 donas la leĝon de Hooke en tri dimensioj.

Historio

La leĝo de Hooke estas nomita post brita fizikisto de la 17-a jarcento Robert Hooke. Li komence donis ĉi tiun leĝon en 1676 kiel latina anagramo "ceiiinossssttuu" , kies solvaĵon li publikigis en 1678 kiel Ut tensio, sic vis, kies traduko estas "Kiel vastigaĵo, tiel forto".

Vidu ankaŭ

• Elasta limigo
• Solida mekaniko
• 3-dimensia elasteco
• Tonda tensio
• Modulo de elasteco
• Rilatumo de Poisson
• Parametroj de Lamé
• Ampleksa modulo
• Tonda modulo
• Viskozeco estas analoga al 3-dimensia streĉo de izotropa materialo

Eksteraj ligiloj

• Pendolo kaj leĝo de Hooke
• Java apleto demonstracianta leĝon de Hooke en moviĝo Arkivigite je 2008-04-18 per la retarkivo Wayback Machine