La Leibniz-a integrala regulo , aŭ formulo de Leibniz por diferencialado de difinita integralo, estas
d d t ∫ a ( t ) b ( t ) f ( t , x ) d x = ∫ a ( t ) b ( t ) ∂ f ( t , x ) ∂ t d x + f ( t , b ( t ) ) d b ( t ) d t − f ( t , a ( t ) ) d a ( t ) d t . {\displaystyle {d \over dt}\int _{a(t)}^{b(t)}f(t,x)\,dx=\int _{a(t)}^{b(t)}{\partial f(t,x) \over \partial t}\,dx+f(t,b(t)){db(t) \over dt}-f(t,a(t)){da(t) \over dt}.} (rimarku, ke la randoj de integralado estas funkcioj de t ).
Pruvo de la Leibniz-a integrala regulo
redakti
Estu
G = G ( t , a , b ) = ∫ a b f ( t , x ) d x {\displaystyle G=G(t,a,b)=\int _{a}^{b}f(t,x)\,dx} kie la randoj de integralado A = A (t ) kaj b = b (t ) estas funkcioj de t . La tuteca derivaĵo de G kun respekto al t , en terminoj de partaj derivaĵoj, estas
d d t G = ∂ G ∂ t + ∂ G ∂ a d a d t + ∂ G ∂ b d b d t . ( 1 ) {\displaystyle {d \over dt}G={\partial G \over \partial t}+{\partial G \over \partial a}{da \over dt}+{\partial G \over \partial b}{db \over dt}.\qquad \qquad (1)} Tiam
∂ G ∂ t = ∫ a b ∂ f ∂ t d x , ( 2 ) {\displaystyle {\partial G \over \partial t}=\int _{a}^{b}{\partial f \over \partial t}\,dx,\qquad \qquad (2)} ĉar integralo estas kontinua sumado, kaj derivado estas lineara operacio,
∂ G ∂ b = ∂ ∂ b ∫ a b f ( t , x ) d x = f ( t , b ) ( 3 ) {\displaystyle {\partial G \over \partial b}={\partial \over \partial b}\int _{a}^{b}f(t,x)\,dx=f(t,b)\qquad \qquad (3)} pro la fundamenta teoremo de kalkulo , kaj
∂ G ∂ a = ∂ ∂ a ∫ a b f ( t , x ) d x = − f ( t , a ) ( 4 ) {\displaystyle {\partial G \over \partial a}={\partial \over \partial a}\int _{a}^{b}f(t,x)\,dx=-f(t,a)\qquad \qquad (4)} denove pro la fundamenta teoremo de kalkulo. Anstataŭigante ekvaciojn (2), (3), kaj (4) en ekvacion (1) oni ricevas la formulon.