Magia konstanto

La magia konstanto de magia kvadrato estas estas sumo de nombroj en iu horizontalo, vertikalo aŭ diagonalo de tiu kvadrato. Ekzemple, la jena magia kvadrato:

Apero de la magia konstanto

${\begin{bmatrix}4&9&2\\3&5&7\\8&1&6\end{bmatrix}}$

havas magian konstanton 15.

Magia kvadrato de ordo $n\times n$ estas norma se ĝi enhavas ĉiun pozitivan entjeron inter 1 kaj $n^{2}$. La magia konstanto $M(n)$ de norma magia kvadrato de ordo $n$ egalas al:

$M(n)={\frac {n(n^{2}+1)}{2}}$.

Pruvo

Estas norma magia kvadrato de ordo $n$. Do, ĝi enhavas $n^{2}$ da nombroj.

Unuaflanke, la sumo de ĉiuj nombroj $S$ estas:

$S=1+2+3+\ldots +n^{2}={\cfrac {n^{2}}{2}}(n^{2}+1)$

Aliaflanke , la sumo de ĉiuj nombroj estas sumo de sumoj de ĉiuj horizontaloj (aŭ de ĉiuj vertikaloj):

$S=nM(n)$

Sekve:

$M(n)={\frac {n(n^{2}+1)}{2}}$

 

La komenco de la sinsekvo de la magiaj konstantoj de normaj magiaj kvadratoj M (n) estas jena (A006003 en OEIS):

Ordo n	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	…
M (n)	15	34	65	111	175	260	369	505	671	870	1105	…

La termino magia konstanto same aplikas al aliaj "magiaj" figuroj, kiel magia stelo kaj magia kubo.