Obla integralo

La obla integralo estas difinita integralo etendita al funkcioj de pli ol unu reela variablo.

Integralo kiel areo sub kurbo

Duobla integralo donas volumenon sub surfaco z=x²-y²+2. La ortangula regiono je la fundo de la korpo estas la domajno de integralado, la surfaco estas grafikaĵo de la duvariabla funkcio kiu estas integralata.

Simile al tio ke la difinita integralo de pozitiva funkcio de unu variablo prezentas areon de la regiono inter la grafikaĵo de la funkcio kaj la x-akso, la duobla integralo de pozitiva funkcio de du variabloj prezentas volumenon de la regiono inter la surfaco difinita per la funkcio z = f(x, y) kaj la ebeno de x-akso kaj y-akso kiu enhavas ĝian argumentaron.

La samaj areo kaj volumeno povas esti ricevitaj ankaŭ alimaniere per la duobla integralo kaj triobla integralo respektive. La areo estas donita per integralo de konstanta funkcio de du variabloj f(x, y) = 1 tra la supremenciita regiono inter la grafikaĵo kaj la x-akso. La volumeno estas donita per integralo de konstanta funkcio de tri variabloj f(x, y, z) = 1 tra la supremenciita regiono inter la surfaco kaj la ebeno.

Se estas pli multaj variabloj, obla integralo prezentas hipervolumenon de la regiono donita per la funkcioj.

Obla integralado de funkcio en n variabloj: f(x₁, x₂, ..., x_n) super argumentaro D estas ofte prezentita per n integralsignoj (la alia varianto estas skribi nur unu integralsignon sendepende de n).

$\int \ldots \int _{\mathbf {D} }\;f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;dx_{1}\ldots dx_{n}$

Laŭ konvencio, la kvanto de integralsignoj egalas al dimensio de la domajno. Ĉi tiu estas skribmaniero kiu estas oportuna se kalkuli oblan integralon kiel ripetita integralo (vidu sube pri la kondiĉoj).

Se T estas en R², la integralo

$\ell =\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy$

estas la duobla integralo de f sur T, kaj se T estas en R³ la integralo

$\ell =\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$

estas la triobla integralo de f sur T.

Pro tio ke ne eblas kalkuli la malderivaĵo de funkcio de pli ol unu variablo, nedifinitaj oblaj integraloj ne ekzisti. Pro tiaj ĉiuj oblaj integraloj estas difinitaj integraloj.

Difino

Estu n entjero pli granda ol 1. Estu duono-malfermita n-dimensia hiperortangulo (plu nomata simple kiel ortangulo), sur kiu estas farata integralado. Por ebeno, n=2, la hiperortangulo estas kutima ortangulo, kaj la obla integralo estas duobla integralo.

Oni disdividu la ortangulon en malgrandajn subortangulojn, tranĉante je multaj pecoj laŭ ĉiu dimensio.

Pli formale, la ortangulo estas

$T=(a_{1},b_{1})\times (a_{2},b_{2})\times \cdots \times (a_{n},b_{n})\subset \mathbb {R} ^{n}$

Dividu ĉiun intervalon (a_i, b_i) en finian kvanton m_i da ne-interkovrantaj subintervaloj, kun ĉiu subintervalo fermita je la maldekstra fino, kaj malfermita je la dekstra fino. Skribu ĉi tiun subintervalon je i-a dimensio, la p_i-an laŭ kalkulo, per I_{i, pi}, kie ĉiu p_i estas en limigoj 1 ... m_i. Tiam, la familio de subortanguloj de formo

C_k=I_{1, p1}× I_{2, p2}× ... ×_{n, pn}

estas dispartigo de T, kio estas ke la subortanguloj C_k estas ne-interkovrantaj kaj ilia unio estas T. La entuta kvanto de malsamaj subortanguloj estas produto de kvantoj de la subintervaloj en malsamaj dimensioj m=m₁m₂ ... m_n.

La diametro de subortangulo C_k estu difinita kiel la plej granda el la longoj de la intervaloj kies produto estas C_k, kaj la diametro de donita dispartigo de T estu difinita kiel la plej granda de la diametroj de la subortanguloj en la dispartigo.

Estu f: T → R funkcio difinita sur ortangulo T. Konsideru disdividon

$T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}$

de T difinitan kiel pli supre. Rimana sumo estas sumo de formo

$\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,v(C_{k})$

kie por ĉiu k la punkto P_k estas en C_k kaj v(C_k) estas la hipervolumeno de C_k, kiu egalas al produto de la longoj de la intervaloj kies kartezia produto estas C_k.

La funkcio f estas rimane integralebla se la limigo

$S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,v(C_{k})$

ekzistas, kie la limigo estas prenita super ĉiuj ebla dispartigoj de T de diametro maksimume δ. Se f estas rimane integralebla, S estas nomata kiel la rimana integralo de f super T kaj estas skribata kiel

$\int _{T}\,f(x)\,dx$

La rimana integralo de funkcio difinita super ajna barita n-dimensia aro estas difinita per etendado de ĉi tiu funkcio al funkcio difinita super duono-malfermita ortangulo kies valoro estas nulo ekster la domajno de la originala funkcio. Tiam, la integralo de la originala funkcio super la originala domajno estas difinita al esti la integralo de la etendita funkcio super ĝia ortangula domajno, se ĝi ekzistas.

Propraĵoj

Oblaj integraloj havas multajn la samajn propraĵojn kiel integraloj de funkcioj de unu variablo: lineareco, adicieco, monotoneco, kaj tiel plu.

• $\int _{D}cf(v)\,dv=c\int _{D}f(v)\,dv$

• $\int _{D}f(v)+g(v)\,dv=\int _{D}f(v)\,dv+\int _{D}g(v)\,dv$

kie v estas n-dimensia vektoro,

c estas konstanto sendependa de v,

la integraloj ekzistas.

Integralo laŭ subdomajnoj

$\int _{D_{1}+D_{2}}\,dv=\int _{D_{1}}f(v)\,dv+\int _{D_{2}}f(v)\,dv$

kie D₁ kaj D₂ estas la subdomajnoj kies unio estas D : $D_{1}\cap D_{2}=D$ kaj kiuj ne interkovriĝas $D_{1}\cap D_{2}=\varnothing$,

La formulo

$\int _{D_{1}+D_{2}}\,dv=\int _{D_{1}}f(v)\,dv+\int _{D_{2}}f(v)\,dv$

veras ankaŭ en okazo kiam la subdomajnoj D₁ kaj D₂ interkovriĝas nur en aro de mezuro 0 kaj la funkcio f(v) estas normala. En ĉi tiu okazo ĉi tiu formulo povas esti malvera sen taŭga konsidero se la diraka delta funkcio estas uzata en subintegrala esprimo.

Konservado de neegalaĵoj

Se ekzistas $\int _{D}f(v)\,dv$ kaj $\int _{D}g(v)\,dv$ kaj por ĉiu v en D veras neegalaĵo f(v)≤g(v). Tiam la neegalaĵo veras ankaŭ por integraloj

$\int _{D}f(v)\,dv\leq \int _{D}g(v)\,dv$

Integrala neegalaĵo de triangulo

La sekva propraĵo povas esti konsiderata kiel ĝeneraligo de la neegalaĵo de triangulo:

$\left|\int _{D}f(v)\,dv\right|\leq \int _{D}|f(v)|\,dv$

Integralo de konstanta funkcio

Ĉe konstanta funkcio, la rezulto de integralado egalas al produto de mezuro de la aro per la konstanta funkcio c. Se c=1, kaj estas integralado super subregiono de R² la produto donas areon de la regiono, dum en R³ ĝi donas volumenon de la regiono.

Averaĝo de funkcio

Simile al la okazo de unu variablo, la obla integralo donas la averaĝon de la funkcio super donita aro. Se estas donita aro D en Rⁿ kaj integralebla funkcio f super D, do la averaĝo de f super la domajno D estas donita per

${\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(v)\,dv={\frac {\int _{D}f(v)\,dv}{\int _{D}1dv}}$

kie v estas n-dimensia vektoro kaj m(D) estas la mezuro de D.

Obla nepropra integralo

Ekzemplo de nepropra domajno

En la okazo de nebarita domajno aŭ nebarita funkcio estas la obla nepropra integralo.

Obla kaj ripetita integraloj

La teoremo de Fubini statas ke se estas

$\int _{A\times B}|f(x,y)|\,d(x,y)<\infty$

kio estas ke la integralo estas absolute konverĝa, do la obla integralo estas de la sama valoro kiel la ripetitaj integraloj por ĉiuj ordoj de integralado

$\int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy$

La okazo estas se |f(x,y)| estas barita funkcio kaj A kaj B estas baritaj aroj.

Se la integralo estas ne absolute konverĝa, zorgo estas bezonata por ne konfuzi la konceptojn de obla integralo kaj ripetita integralo, aparte pro tio ke la sama skribmaniero estas ofte uzita por ĉu koncepto. La skribmaniero

$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx$

signifas, en iuj okazoj, ripetitan integralon anstataŭ vera duobla integralo. En ripetita integralo, la ekstera integralo

$\int _{0}^{1}\cdots \,dx$

estas la integralo kun respekto al x de jena funkcio de x:

$g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy$

Duobla integralo, aliflanke, estas difinita kun respekto al areo en la xy-ebeno. Se la duobla integralo ekzistas, tiam ĝi estas egala al ĉiu el la ripetitaj integraloj (... dy dx kaj ... dx dy). Oni ofte komputas duobla integralo per komputado de la ripetita integralo. Sed iam la du ripetitaj integraloj ekzistas kiam la duobla integralo ne ekzistas, kaj en iuj ĉi tiaj okazoj la du ripetitaj integraloj estas de malsamaj valoroj, kio estas ke

$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy$

Ĉi tiu estas apero de reordigo de kondiĉe konverĝa integralo.

La skribmaniero

$\int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy$

povas esti uzata por emfazi ke estas duobla integralo sed ne ripetita integralo.

Ĉi ĉio estas vera ankaŭ por obla integralo tra domajno de ajna kvanto de dimensioj.

Prezento de domajno en ripetita integralado

Se la domajno T ne estas ortangulo, prezento de ĝi en ripetita integralo bezonas apartan zorgon. La trairo povas esti malsimpla aŭ eĉ praktike neebla; sube donitaj formuloj respektivas al okazoj de sufiĉe simpla formo de la domajno.

Se la domajno T estas tia ke perpendikulare al la x-akso ĝi estas rekta streko en intersekco kun ĉiu rekto x=x₀ por a<x₀<b kaj tiel ĝiaj randoj estas donitaj per kontinuaj funkcioj α(x) kaj β(x) difinitaj en intervalo [a, b], do la intergralo super T povas esti kalkulita kiel:

$\iint _{T}f(x,y)\ dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy$

Se D estas mezurebla domajno perpendikulara al la y-akso kaj $f:D\longrightarrow \mathbb {R}$ estas kontinua funkcio; tiam α(y) kaj β(y) (difinitaj en la [a, b] intervalo) estas la du funkcioj kiuj difinas D. Tiam:

$\iint _{T}f(x,y)\ dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx$

Ekzemplo de domajno en R3

Ĉi tiuj formuloj povas esti ĝeneraligitaj al pli multaj dimensioj. Ekzemple por trioblaj integraloj:

T estas domajno tia ke perpendikulare al la xy-ebeno, la randoj je z estas donitaj per la funkcioj α (x, y) kaj β(x, y), kaj la areo en la xy-ebeno, al kiu proekciiĝas T, estas D. Tiam:

$\iiint _{T}f(x,y,z)\ dx\,dy\,dz=\iint _{D}\left(\int _{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)}f(x,y,z)\,dz\right)dx\,dy$

La sendependa variablo, randoj je kiu estas donataj per la du funkcioj, povas esti ajna.

Ekzemplo

Ekzemplo de regiono de integralado

Estu regiono: $D=\{(x,y)\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}$. Kalkulu

$\iint _{D}(x+y)\,dx\,dy$

Tiam

α(x) = x²

β(x) = 1

a = 0

b = 1

kaj

$\iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy\,dx=\int _{0}^{1}\ \left(xy\ +\ {\frac {y^{2}}{2}}\ \right)|_{y=x^{2}}^{1}\,dx$

(komence la ena integralo estas kalkulita konsiderante x kiel konstanto). Plu

$\int _{0}^{1}\left(xy\ +\ {\frac {y^{2}}{2}}\ \right)|_{y=x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx={\frac {13}{20}}$

La alia ebleco estas kalkuli kun uzo de la radoj α(y) kaj β(y) kiel

$\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx$

kaj ricevi la saman valoron.

Ŝanĝo de variabloj

Oni povas fari ŝanĝon de la sendependaj variabloj. Ĉi tio estas ĝeneraligo de integralado per anstataŭo al okazo de multaj variabloj.

Al la subintegrala funkcio estas tiam aldonata multiplikato kiu estas la determinanto de jakobia matrico enhavanta la partajn derivaĵojn de la transformo esprimanta la novajn variablojn.

Iuj el kutimaj ŝanĝoj de variabloj estas tiuj surbaze de diversaj polusaj koordinatoj en diversaj kvantoj de dimensioj.

Polusaj koordinatoj en 2 dimensioj

Transformo de kartezia al polusaj koordinatoj.

En R² se la domajno havas cirklan simetrion aŭ la funkcio estas pli simpla en polusaj koordinatoj, la transformo al polusaj koordinatoj povas plisimpligi la integraladon.

La polusaj koordinatoj estas

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

kaj

f(x, y) = f(ρ cos (φ), ρ sin (φ))

La jakobia determinanto de la transformo estas

${\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi \\\sin \varphi &\rho \cos \varphi \end{vmatrix}}=\rho$

kiu havas estas ricevata per meto de la partaj derivaĵoj de x = ρ cos(φ), y = ρ sin(φ) en la unuan kolumnon kun respekto al ρ kaj en la duan kun respekto al φ.

Tiam

$\iint _{D}f(x,y)\ dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )\rho \,d\rho \,d\varphi$

Por kovri la tutan R² de la fontaj koordinatoj, la variablo φ ŝanĝiĝas tra intervalo de longo 2π, ekzemple [-π, π] aŭ [0, 2π]; ρ ŝanĝiĝas tra nenegativaj valoroj. Pluaj limigoj je ŝanĝiĝo de la koordinatoj estas donataj per randoj de la domajno.

Ekzemplo de domajna transformo de kartezia al polusa.

Ekzemplo

La funkcio estas $f(x,y)=x^{2}+y^{2}\!$. Tiam

$f(\rho ,\varphi )=\rho ^{2}(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi )=\rho ^{2}\,\!$

kaj la funkcio sub integralo estas pli simpla

Ekzemplo

La domajno estas $D=x^{2}+y^{2}\leq 4\,\!$, tio estas cirklo de radiuso 2. Gi povas kovrita se φ varias ekde 0 ĝis 2π kaj r ekde 0 ĝis 2.

Cilindraj koordinatoj en 3 dimensioj

Cilindraj koordinatoj.

La cilindraj koordinatoj en 3 dimensioj estas

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

kaj la variablo z estas daŭre uzata neŝanĝita. Tiam

f(x, y, z) = f(ρ cos (φ), ρ sin (φ), z)

La jakobia determinanto de la transformo estas

${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\varphi ,z)}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\\\sin \varphi &\rho \cos \varphi &0\\0&0&1\end{vmatrix}}=\rho$

Tiam

$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz$

Por kovri la tutan R³ de la fontaj koordinatoj, la variablo φ ŝanĝiĝas tra intervalo de longo 2π, ekzemple [-π, π] aŭ [0, 2π]; ρ ŝanĝiĝas tra nenegativaj valoroj; z ŝanĝiĝas tra ĉiuj reelaj nombroj. Pluaj limigoj je ŝanĝiĝo de la koordinatoj estas donataj per randoj de la domajno.

Ekzemplo

La funkcio estas $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z\,\!$ kaj kiel integralada domajno ĉi tiu cilindro:

$D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ -5\leq z\leq 5\}$.

La transformo de D en cilindrajn koordinatojn estas jena

$T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}$

La funkcio en cilindraj koordinatoj estas

$f(\rho \ \cos \varphi ,\rho \ \sin \varphi ,z)=\rho ^{2}+z\!$

La integralo estas

$\iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}(\rho ^{2}+z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz;$

$\int _{-5}^{5}\left(\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3}(\rho ^{3}+\rho z)\,d\rho \right)dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right)|_{\rho =0}^{3}\,dz$

$=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =855\pi$

Sferaj koordinatoj en 3 dimensioj

Sferaj koordinatoj

En R³ se la domajno havas sferan simetrion aŭ la funkcio estas pli simpla en sferaj koordinatoj, la transformo al sferaj koordinatoj povas plisimpligi la integraladon.

La sferaj koordinatoj en 3 dimensioj estas

x = ρ cos (θ) sin (φ)

y = ρ sin (θ) sin (φ)

z = ρ cos (φ)

f(x, y, z) = f(ρ cos (θ) sin (φ), ρ sin (θ) sin (φ), ρ cos (φ))

La jakobia determinanto de la transformo estas

${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \varphi &0&-\rho \sin \varphi \end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \varphi$

Tiam

$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \theta \cos \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \theta )\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$

Por kovri la tutan R³ de la fontaj koordinatoj, la variablo θ ŝanĝiĝas tra intervalo de longo 2π, ekzemple [-π, π] aŭ [0, 2π]; φ ŝanĝiĝas inter 0 kaj π; ρ ŝanĝiĝas tra nenegativaj valoroj. Pluaj limigoj je ŝanĝiĝo de la koordinatoj estas donataj per randoj de la domajno.

Ekzemplo

La domajno estu $D=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 16$ (sfero kun radiuso 4 kaj centro en la fonto); aplikante la transformon rezulras regiono $T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}$.

La funkcio estu $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\!$.

Ĝia transformo estas

$f(\rho \sin \theta \cos \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \theta )=\rho ^{2}$

Pro la integralo estas:

$\iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\ \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$

kaj

$\iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\varphi =$

$=2\pi \left({\frac {\rho ^{5}}{5}}\right)|_{\rho =0}^{4}\left(-\cos \theta \right)|_{\theta =0}^{\pi }=4\pi \cdot {\frac {1024}{5}}={\frac {4096\pi }{5}}$

Uzoj

Kiel estas skribite pli supre, oblaj integraloj estas uzataj por kalkuli areojn, volumenojn kaj hipervolumenojn.

Ekzemplo: Cirkla cilindro

Estu la domajno kiel la cirkla bazo de radiuso R kaj la funkcio estu konstanto egala al la alto h. Tiam eblas kalkuli la integralon en polusaj koordinatoj:

$\mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{R}h\rho \ d\rho =h2\pi \left({\frac {\rho ^{2}}{2}}\right)|_{\rho =0}^{R}=\pi R^{2}h$

Oblaj integraloj estas uzataj en fiziko.

En mekaniko la momanto de inercio estas kalkulita kiel volumena integralo (tio estas triobla integralo) de la denseco pezita per la kvadrato de la distanco de la akso:

$I_{z}=\iiint _{V}\rho r^{2}\,dV$

En elektromagnetismo, ekvacioj de Maxwell povas esti skribitaj per oblaj integraloj por kalkuli la tutecajn magnetan kaj elektran kampojn. En jena ekzemplo, la elektra kampo produktita per distribuo de elektra ŝargo estas ricevata per triobla integralo de vektora funkcio:

${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,\operatorname {d} ^{3}r'$

Vidu ankaŭ

• Surfaca integralo
• Volumena integralo
• Diverĝenca teoremo
• Teoremo de Stokes
• Teoremo de Green
• Polusa koordinata sistemo
• Nabla en cilindraj kaj sferaj koordinatoj
• Integralado per anstataŭo

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Obla integralo en MathWorld.
• Matematika prelego de Berkeley pri duoblaj integraloj
• Obla integralo
• Surlinia pritakso de duoblaj integraloj en karteziaj kaj polusaj koordinatoj