Preskaŭ disaj aroj

En matematiko, du aroj estas preskaŭ disaj se ilia komunaĵo estas malgranda iusence. Malsamaj difinoj de "malgranda" rezultas ĉe malsamaj difinoj de "preskaŭ disa".

Difino

La plej komuna elekto estas al preni "malgranda" al signifi finia. En ĉi tiu okazo, du aroj estas preskaŭ disaj se ilia komunaĵo estas finia aro, kio estas se

$\left|A\cap B\right|<\infty$

Ĉi tie, |X| estas la kardinala nombro de X, kaj '< ∞' signifas ke ĝi estas finia.

Ekzemple, la segmentoj [0, 1] kaj [1, 2] estas preskaŭ disaj, ĉar ilia komunaĵo estas la finia aro {1}. Tamen, la unuobla intervalo [0, 1] kaj la aro de ĉiuj racionalaj nombroj Q estas ne preskaŭ disaj, ĉar ilia komunaĵo estas nefinia aro.

Ĉi tiu difino etendatas al ĉiu kolekto de aroj. Kolekto de aroj estas poduope preskaŭ disa aŭ reciproke preskaŭ disa se ĉiuj du malsamaj aroj en la kolekto estas preskaŭ disaj. Ofte la prefikso "poduope" estas forigita, kaj poduope preskaŭ disa kolekto estas simple nomata kiel "preskaŭ disa".

Formale, estu I esti indeksa aro, kaj por ĉiu i en I, estu aro A_i. Tiam la kolekto de aroj {A_i : i en I} estas preskaŭ disa se por ĉiuj i kaj j en I,

$A_{i}\neq A_{j}\quad \Rightarrow \quad \left|A_{i}\cap A_{j}\right|<\infty$

Ekzemple, la kolekto de ĉiuj linioj tra la fonto en eŭklida spaco R² estas preskaŭ disa, ĉar ĉiu du el ili intersekcas nur je la fonto. Se {A_i} estas preskaŭ disa kolekto, tiam klare ĝia komunaĵo estas finia:

$\bigcap _{i\in I}A_{i}<\infty$

Tamen, la reo povas esti ne vera - la komunaĵo de la kolekto

{{1, 2, 3, ...}, {2, 3, 4, ...}, {3, 4, 5, ...}, ...}

estas malplena, sed la kolekto estas ne preskaŭ disa; fakte, la intersekco de ĉiuj du malsamaj aroj el ĉi tiu kolekto estas nefinia.

Aliaj signifoj

Iam "preskaŭ disa" estas uzata en iu alia senco, aŭ en la senco de mezura teorio aŭ topologia kategorio. Jen estas iuj alternativaj difinoj de "preskaŭ disa" kiuj estas iam uzita (similaj difinoj estas por nefiniaj kolektoj):

• Estu κ iu kardinalo. Tiam du aroj A kaj B estas preskaŭ disaj se la kardinalo de ilia intersekco estas malpli granda ol κ:

$\left|A\cap B\right|<\kappa$

La okazo de κ=1 estas simple la difino de disaj aroj; la okazo de

$\kappa =\aleph _{0}$

estas simple la difino de preskaŭ disaj donita pli supre, kie la intersekco de A kaj B estas finia.

• Estu m iu plena mezuro sur mezurhava spaco X. Tiam du subaroj A kaj B de X estas preskaŭ disaj se ilia intersekco estas nula aro, kio estas se

$m(A\cap B)=0$

• Estu X topologia spaco. Tiam du subaroj A kaj B de X estas preskaŭ disaj se ilia intersekco estas apenaŭa en X.