Primo-kalkulanta funkcio

En matematiko, la primo-kalkulanta funkcio estas la funkcio $\pi (x)$ kies valoro estas kvanto de primoj malpli grandaj ol aŭ egala al ĝia argumento - reela nombro x. (Ĝi estas malsama la nombro π, kvankam la sama litero estas uzata).

La unuaj valoroj de $\pi (n)$

Kreskada kurzo

Granda intereso en nombroteorio estas al la kreskada kurzo de la primo-kalkulanta funkcio. Estis konjektite en la fino de la 18-a jarcento de Carl Friedrich Gauss kaj Adrien-Marie Legendre ke ĝi estas proksimume ${\frac {x}{\ln(x)}}$ en la senco ke

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}=1$

Ĉi tiu frazo estas la prima teoremo. Ekvivalenta frazo estas

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{{\mbox{li}}(x)}}=1$

kie ${\mbox{li}}$ estas la logaritma integrala funkcio. Ĉi tio estis unue pruvita en 1896 de Jacques Hadamard kaj Charles Jean de la Vallée-Poussin sendepende, uzante propraĵojn de la rimana ζ funkcio prezentitaj de Bernhard Riemann en 1859.

Pli precizaj pritaksoj de $\pi (x)$ estas nun sciataj, ekzemple

$\pi (x)={\mbox{li}}(x)+O\left(x\exp \left(-{\frac {\sqrt {\ln(x)}}{15}}\right)\right)$

kie O estas la granda O. Pruvoj de la prima teoremo ne uzantaj la zetan funkcion aŭ kompleksan analitikon estis trovitaj ĉirkaŭ 1948 de Atle Selberg kaj Paŭlo Erdős grandparte sendepende.

Alia konjekto pri la kreskada kurzo por prima serio engaĝante la priman teoremon estas

$\sum _{p\leq x}p^{n}\sim \pi (x^{n+1})\sim Li(x^{n+1})$

Tabelo de $\pi (x)$ , ${\frac {x}{\ln(x)}}$ , kaj ${\mbox{li}}(x)$

$x$	$\pi (x)$	$\pi (x)-{\frac {x}{\ln(x)}}$	${\mbox{li}}(x)-\pi (x)$	${\frac {x}{\pi (x)}}$
10	4	-0,3	2,2	2,500
102	25	3,3	5,1	4,000
103	168	23	10	5,952
104	1229	143	17	8,137
105	9592	906	38	10,425
106	78498	6116	130	12,740
107	664579	44158	339	15,047
108	5761455	332774	754	17,357
109	50847534	2592592	1701	19,667
1010	455052511	20758029	3104	21,975
1011	4118054813	169923159	11588	24,283
1012	37607912018	1416705193	38263	26,590
1013	346065536839	11992858452	108971	28,896
1014	3204941750802	102838308636	314890	31,202
1015	29844570422669	891604962452	1052619	33,507
1016	279238341033925	7804289844393	3214632	35,812
1017	2623557157654233	68883734693281	7956589	38,116
1018	24739954287740860	612483070893536	21949555	40,420
1019	234057667276344607	5481624169369960	99877775	42,725
1020	2220819602560918840	49347193044659701	222744644	45,028
1021	21127269486018731928	446579871578168707	597394254	47,332
1022	201467286689315906290	4060704006019620994	1932355208	49,636
1023	1925320391606803968923	37083513766578631309	7250186216	51,939

La valoro por $\pi (10^{23})$ estas de Tomás Oliveira e Silva.

Algoritmoj por komputado de $\pi (x)$

Simpla maniero por kalkuli $\pi (x)$ se $x$ estas ne tro granda estas per kribrilo de Eratosteno produkti la primojn kaj poste kalkuli ilin.

Pli ellaborita vojo kalkuli $\pi (x)$ estas de Adrien-Marie Legendre: por donita $x$ , se $p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}$ estas malsamaj primoj, kvanto de entjeroj malpli grandaj ol aŭ egalaj al $x$ kiu estas divideblaj per neniu el $p_{i}$ estas

$\lfloor x\rfloor -\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor +\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor -\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor +\cdots$

(kie $\lfloor \cdot \rfloor$ estas la planka funkcio). Ĉi tiu nombro estas pro tio egala al

$\pi (x)-\pi \left({\sqrt {x}}\right)+1$

kiam la nombroj $p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}$ estas la primoj malpli grandaj ol aŭ egalaj al la kvadrata radiko de $x$ .

En serio de artikoloj publikigita inter 1870 kaj 1885, Ernst Meissel priskribis kaj uzis praktikan kombinan manieron de komputado de $\pi (x)$ . Estu $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$ la unuaj $n$ primoj kaj estu $\Phi (m,n)$ kvanto de naturaj nombroj ne pli grandaj ol $m$ kiuj estas divideblaj per neniu el $p_{i}$ . Tiam

$\Phi (m,n)=\Phi (m,n-1)-\Phi \left(\left[{\frac {m}{p_{n}}}\right],n-1\right)$

Por donita natura nombro m, se $n=\pi \left({\sqrt[{3}]{m}}\right)$ kaj se $\mu =\pi \left({\sqrt {m}}\right)-n$ , tiam

$\pi (m)=\Phi (m,n)+n(\mu +1)+{\frac {\mu ^{2}-\mu }{2}}-1-\sum _{k=1}^{\mu }\pi \left({\frac {m}{p_{n+k}}}\right)$

Uzante ĉi tiun manieron, Meissel komputis $\pi (x)$ por $x$ egala al $5\cdot 10^{5}$ , $10^{6}$ , $10^{7}$ , kaj $10^{8}$ .

En 1959, Derrick Henry Lehmer etendis kaj simpligis la manieron de Meissel. Estu, por reela $m$ kaj naturaj $n$ , $k$ , $P_{k}(m,n)$ kvanto de entjeroj ne pli grandaj ol $m$ kun akurate $k$ primaj faktoroj, ĉiuj pli granda ol $p_{n}$ . Ankaŭ estu $P_{0}(m,n)=1$ . Tiam

$\Phi (m,n)=\sum _{k=0}^{\infty }P_{k}(m,n)$

kie la sumo reale havas nur finie multajn nenulajn erojn. Estu $y$ entjero tia ke ${\sqrt[{3}]{m}}\leq y\leq {\sqrt {m}}$ , kaj estu $n=\pi (y)$ . Tiam $P_{1}(m,n)=\pi (m)-n$ kaj $P_{k}(m,n)=0$ por $k\geq 3$ . Pro tio

$\pi (m)=\Phi (m,n)+n-1-P_{2}(m,n)$

La kalkulado de $P_{2}(m,n)$ povas esti farita kiel

$P_{2}(m,n)=\sum _{y<p\leq {\sqrt {m}}}\left(\pi \left({\frac {m}{p}}\right)-\pi (p)+1\right)$

Aliflanke, la kalkulado de $\Phi (m,n)$ povas esti farita per jenaj reguloj:

$\Phi (m,0)=\lfloor m\rfloor$

$\Phi (m,b)=\Phi (m,b-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{b}}},b-1\right)$

Per ĉi tia maniero sur komputilo IBM 701, Lehmer estis pova komputi valoron $\pi (10^{10})$ .

Hwang Cheng uzis jenajn identojn:

$e^{(a-1)\Theta }f(x)=f(ax)$

$J(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\pi (x^{\frac {1}{n}})}{n}}$

kun preno de $x=e^{t}$ , kun laplaca konverto de ambaŭ flankoj kaj aplikado de geometria sumo sur $e^{n\Theta }$ . Tiam rezultiĝas

${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }g(s)t^{s}\,ds=\pi (t)$

${\frac {\ln {\bigl (}\zeta (s){\bigr )}}{s}}=(1-e^{\Theta (s)})^{-1}g(s)$

$\Theta (s)=s{\frac {d}{ds}}$

Aliaj primo-kalkulantaj funkcioj

Unu el la aliaj primo-kalkulantaj funkcioj estas $\pi _{0}(x)$ kies valoro je ĉiu punkto de nekontinueco egalas al averaĝo de valoroj je la du flankoj de ĉi tiu punkto:

$\pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\pi (x-\varepsilon )+\pi (x+\varepsilon )}{2}}$

Tiel ekzemple:

π₀(x)=1 por 2<x<3

π₀(3)=3/2

π₀(x)=2 por 3<x<5

Ankoraŭ unu el la aliaj primo-kalkulantaj funkcioj estas la rimana primo-kalkulanta funkcio, kutime skribata kiel Π₀(x). Ĉi tiu funkcio pligrandiĝas je 1/n je ĉiu prima potenco pⁿ, kaj ĝia valoro je ĉiu punkto de nekontinueco egalas al averaĝo de valoroj je la du flankoj de ĉi tiu punkto. Ĉi tiu aldonita detalo estas ĉar tiam la funkcio povas esti difinita per inverso de konverto de Mellin. Tiel Π₀(x) estas

$\Pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}{\bigg (}\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}\ +\sum _{p^{n}\leq x}{\frac {1}{n}}{\bigg )}$

kie ĉiu p estas primo. Aŭ

$\Pi _{0}(x)=\sum _{2}^{x}{\frac {\Lambda (n)}{\ln n}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\Lambda (x)}{\ln x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\pi _{0}(x^{1/n})$

kie Λ(n) estas la funkcio de von Mangoldt.

Inversiga formulo de Möbius tiam donas ke

$\pi _{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi _{0}(x^{1/n})$

Per interrilato inter logaritmo de la rimana ζ funkcio kaj la funkcio de von Mangoldt kaj per la formulo de Perron rezultiĝas

$\ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }\Pi _{0}(x)x^{-s+1}\,dx$

En la funkcioj de Ĉebiŝev por primoj aŭ primaj potencoj pⁿ estas sumataj valoroj ln(p):

$\theta (x)=\sum _{p\leq x}\ln p$

$\psi (x)=\sum _{p^{n}\leq x}\ln p=\sum _{n=1}^{\infty }\theta (x^{1/n})=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)$

Formuloj por primo-kalkulantaj funkcioj

Estas jena esprimo por ψ(x):

$\psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{-2})$

kie

$\psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}$

Ĉi tie ρ estas la nuloj de la rimana ζ funkcio en la kritika filmo, kie la reela parto de ρ estas inter 0 kaj 1. La formulo estas valida por x>1, kio estas la regiono de intereso. La sumo tra la radikoj estas kondiĉe konverĝa, kaj devas esti sumata en ordo de pligrandiĝo de absoluta valoro de la imaginara parto. La sama sumo tra la bagatelaj radikoj donas la lasta subtrahaton en la formulo. La nuloj en la kritika filmo estas en kompleksaj konjugitaj paroj, do la sumo estas reela.

Por Π₀(x) estas pli komplika formulo

$\Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\ln 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t(t^{2}-1)\ln t}}$

Denove, la formulo estas valida por x>1, kaj ρ estas la netrivialaj nuloj de la zeta funkcio ordigitaj laŭ ilia absoluta valoro, kaj, denove, la lasta integralo, prenita kun minuso, estas ĝuste la sama sumo sed tra la bagatelaj nuloj. La unua membro li(x) estas la kutima logaritma integrala funkcio; la esprimo li(x^ρ) en la dua membro devas esti konsiderata kiel Ei(ρ ln x), kie Ei estas la analitika vastigaĵo de la eksponenta integrala funkcio de pozitivaj reelaj nombroj al la kompleksa ebeno kun branĉa tranĉo laŭ la negativaj reelaj nombroj.

Tiel inversiga formulo de Möbius donas ke

$\pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\ln x}}$

por x>1, kie

$\operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n})=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}$

estas tiel nomata kiel rimana R-funkcio. La lasta serio por ĝi estas sciata kiel grama serio kaj konverĝas por ĉiuj pozitivaj x.

La δ funkcio (ruĝa) en logaritma skalo

La sumo tra nuloj de zeta funkcio en la kritika filmo en la formulo por π₀(x) priskribas la fluktuojn de π₀(x), kaj la cetera eroj donas la glatan parton. Se la rimana hipotezo veras, la amplitudo de la fluktuoj estas heŭristike proksimume $\scriptstyle {\sqrt {x}}/\ln x$, tiel la fluktuoj de la distribuo de primoj povas esti prezentitaj per la delta funkcio:

$\Delta (x)=\left(\pi _{0}(x)-\operatorname {R} (x)+{\frac {1}{\ln x}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\ln x}}\right){\frac {\ln x}{\sqrt {x}}}$

Neegalaĵoj

Jen estas iuj neegalaĵoj pri π(x):

$\pi (x)<1,25506{\frac {x}{\log x}}$ por x > 1

${\frac {x}{\log x+2}}<\pi (x)<{\frac {x}{\log x-4}}$ por x ≥ 55

Estis konjekto ke π(x) ≤ li(x) por ĉiu pozitiva entjero x, ĝi estas malpruvita, vidu pli detale en artikolo nombro de Skewes.

Jen estas iuj neegalaĵoj por la n-a primo p_n:

n ln n + n ln ln n - n < p_n < n ln n + n ln ln n por n ≥ 6, la maldekstra neegalaĵo veras eĉ por n ≥ 1

Proksimumado por la n-a primo estas

$p_{n}=n\ln n+n\ln \ln n-n+{\frac {n\ln \ln n-2n}{\ln n}}+O\left({\frac {n(\ln \ln n)^{2}}{(\ln n)^{2}}}\right)$

La rimana hipotezo

La rimana hipotezo estas ekvivalenta al multe pli strikta baro por la eraro en la pritakso por π(x), kaj de ĉi tie al pli regula distribuo de primoj:

$\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x})$

Vidu ankaŭ

• Primofaktorialo
• Logaritma integrala funkcio
• Rimana ζ funkcio
• Rimana hipotezo
• Nombro de Skewes - pri signo de la diferenco π(x) - li(x)

Eksteraj ligiloj

• Marc Deléglise kaj Jöel Rivat, Komputado de π(x): maniero de Meissel, Lehmer, Lagarias, Miller, Odlyzko, Matematiko de kalkulado, volumo 65, nombro 33, januaro 1996, paĝoj 235-245
• Eric W. Weisstein, Rimana primo-kalkulanta funkcio, Rimana R-funkcio en MathWorld.
• Eric W. Weisstein, Grama serio en MathWorld.
• Tomás Oliveira e Silva, Tabeloj de valoroj de π(x) kaj de π₂(x)
• Xavier Gourdon kaj Pascal Sebah, Valoroj ĝis 4&middot10²²
• Chrita Caldwell, La n-a prima paĝo je la Primaj Paĝoj.
• A006880 en OEIS π(x)
• A057752 en OEIS li(x) − π(x)
• A057835 en OEIS π(x) - x / ln x
• Tabelo de Δ(x), bazita sur la rezultoj de Tomás Oliveira e Silva