Simboloj de Christoffel

En diferenciala geometrio, la simboloj de Christoffel estas la koeficientoj de la konekto de Levi-Civita difinita de la rimana metriko.

Difino

Supozu rimanan sternaĵon $(M,g_{ij})$. Ni uzas la ejnŝtejnan notacion, laŭ kiu ripetita paro de malsupra kaj supra indicoj implicite indikas sumon.

La simboloj de Christoffel estas la ĉi-subaj objektoj:

$\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}g^{kk'}(\partial _{i}g_{jk'}+\partial _{j}g_{ik'}-\partial _{k'}g_{ij})$.

Ĉi tiuj estas la koeficientoj de la konekto de Levi-Civita difinita de la rimana metriko $g$. Konkrete, jen la kovarianta derivo de vektora kampo $X$:

$\nabla _{i}X^{j}=\partial _{i}X^{j}+\Gamma _{j'i}^{j}X^{j'}$.

Simile, la kovarianta derivo de diferenciala 1-formo $\alpha$:

$\nabla _{i}\alpha _{j}=\partial _{i}\alpha _{j}-\Gamma _{ij}^{j'}\alpha ^{j'}$.

Propraĵoj

La simboloj de Christoffel estas simetriaj je la malsupra paro de indicoj:

$\Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}$.

La kontrahiĝo de la simboloj de Christoffel estas simpla:

$\Gamma _{ji}^{i}={\frac {1}{2}}\partial _{j}\ln |\det g|$.

En la ĉi-supro, $|\det g|$ estas la absoluta valoro de la determinanto de $g_{ij}$.

Historio

La simbolojn de Christoffel malkovris la germana matematikisto Elwin Bruno Christoffel.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Christoffel symbols en MathWorld.