La suma regulo en diferencialado estas unu el regulo en diferencialado . La suma regulo en integralado sekvas el la suma regulo en diferencialado. La regulo mem estas direkta konsekvenco de diferencialado de unuaj principoj .
La suma regulo asertas ke por du funkcioj u kaj v :
d
d
x
(
u
+
v
)
=
d
u
d
x
+
d
v
d
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u+v)={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}}
Ĉi tiu regulo ankaŭ aplikas al subtraho kaj al aldonoj kaj subtrahoj de pli ol du funkcioj
d
d
x
(
u
+
v
+
w
+
⋯
)
=
d
u
d
x
+
d
v
d
x
+
d
w
d
x
+
⋯
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u+v+w+\cdots )={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}+{\frac {dw}{dx}}+\cdots }
Estu y esti funkcio donita per sumo de du funkcioj u kaj v , tia ke:
y
=
u
+
v
{\displaystyle y=u+v\,}
Nun estu y , u kaj v pligrandiĝitaj per malgranda pligrandiĝo δy , δu kaj δv respektive. De ĉi tie:
y
+
Δ
y
=
(
u
+
Δ
u
)
+
(
v
+
Δ
v
)
=
u
+
v
+
Δ
u
+
Δ
v
=
y
+
Δ
u
+
Δ
v
.
{\displaystyle y+\Delta {y}=(u+\Delta {u})+(v+\Delta {v})=u+v+\Delta {u}+\Delta {v}=y+\Delta {u}+\Delta {v}.\,}
Do:
Δ
y
=
Δ
u
+
Δ
v
.
{\displaystyle \Delta {y}=\Delta {u}+\Delta {v}.\,}
Nun dividu tuton per δx :
Δ
y
Δ
x
=
Δ
u
Δ
x
+
Δ
v
Δ
x
.
{\displaystyle {\frac {\Delta {y}}{\Delta {x}}}={\frac {\Delta {u}}{\Delta {x}}}+{\frac {\Delta {v}}{\Delta {x}}}.}
Sterbu δx al 0:
d
y
d
x
=
d
u
d
x
+
d
v
d
x
.
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}.}
Nun memoru ke y = u + v , ricevante la suman regulon en diferencialado:
d
d
x
(
u
+
v
)
=
d
u
d
x
+
d
v
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(u+v\right)={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}.}
La regulo povas esti etendita al subtraho , kiel sekvas:
d
d
x
(
u
−
v
)
=
d
d
x
(
u
+
(
−
v
)
)
=
d
u
d
x
+
d
d
x
(
−
v
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(u-v\right)={\frac {d}{dx}}\left(u+(-v)\right)={\frac {du}{dx}}+{\frac {d}{dx}}\left(-v\right).}
Nun uzu la speciala okazo de la konstanta faktora regulo en diferencialado kun k =-1 por ricevi:
d
d
x
(
u
−
v
)
=
d
u
d
x
+
(
−
d
v
d
x
)
=
d
u
d
x
−
d
v
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(u-v\right)={\frac {du}{dx}}+\left(-{\frac {dv}{dx}}\right)={\frac {du}{dx}}-{\frac {dv}{dx}}.}
Pro tio, la suma regulo povas esti etendita por ĝi "akceptu" aldonon kaj subtrahon kiel sekvas:
d
d
x
(
u
±
v
)
=
d
u
d
x
±
d
v
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(u\pm v\right)={\frac {du}{dx}}\pm {\frac {dv}{dx}}.}
La suma regulo en diferencialado povas esti uzita kiel parto de la derivaĵo por ambaŭ la suma regulo en integralado kaj lineareco de diferencialado .
Ĝeneraligo al sumoj
redakti
Oni havu iun aron de funkcioj f 1 , f 2 ,..., f n
d
d
x
(
∑
1
≤
i
≤
n
f
i
(
x
)
)
=
d
d
x
(
f
1
(
x
)
+
f
2
(
x
)
+
⋯
+
f
n
(
x
)
)
=
d
d
x
f
1
(
x
)
+
d
d
x
f
2
(
x
)
+
⋯
+
d
d
x
f
n
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\sum _{1\leq i\leq n}f_{i}(x)\right)={\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)+f_{2}(x)+\cdots +f_{n}(x)\right)={\frac {d}{dx}}f_{1}(x)+{\frac {d}{dx}}f_{2}(x)+\cdots +{\frac {d}{dx}}f_{n}(x)}
do
d
d
x
(
∑
1
≤
i
≤
n
f
i
(
x
)
)
=
∑
1
≤
i
≤
n
(
d
d
x
f
i
(
x
)
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\sum _{1\leq i\leq n}f_{i}(x)\right)=\sum _{1\leq i\leq n}\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right).}
En aliaj vortoj, la derivaĵo de ĉiu sumo de funkcioj estas sumo de la derivaĵoj de tiuj funkcioj.
Ĉi tiu sekvas facile per indukto; oni havas ĵus pruvitan ĉi tion por n = 2. Estu ĝi vera por ĉiuj n < k , tiam difinu
g
(
x
)
=
∑
i
=
1
k
−
1
f
i
(
x
)
.
{\displaystyle g(x)=\sum _{i=1}^{k-1}f_{i}(x).}
Tiam
∑
i
=
1
k
f
i
(
x
)
=
g
(
x
)
+
f
k
(
x
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}f_{i}(x)=g(x)+f_{k}(x)}
kaj ĝi sekvas de la pruvo pli supre
d
d
x
(
∑
i
=
1
k
f
i
(
x
)
)
=
d
d
x
g
(
x
)
+
d
d
x
f
k
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\sum _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)={\frac {d}{dx}}g(x)+{\frac {d}{dx}}f_{k}(x).}
Per la indukta hipotezo,
d
d
x
g
(
x
)
=
d
d
x
(
∑
i
=
1
k
−
1
f
i
(
x
)
)
=
∑
i
=
1
k
−
1
d
d
x
f
i
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}g(x)={\frac {d}{dx}}\left(\sum _{i=1}^{k-1}f_{i}(x)\right)=\sum _{i=1}^{k-1}{\frac {d}{dx}}f_{i}(x)}
do
d
d
x
(
∑
i
=
1
k
f
i
(
x
)
)
=
∑
i
=
1
k
−
1
d
d
x
f
i
(
x
)
+
d
d
x
f
k
(
x
)
=
∑
i
=
1
k
d
d
x
f
i
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\sum _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)=\sum _{i=1}^{k-1}{\frac {d}{dx}}f_{i}(x)+{\frac {d}{dx}}f_{k}(x)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {d}{dx}}f_{i}(x)}
kio finas la pruvon.
