Teoremo pri resto de polinomo

Teoremo pri resto de polinomo estas teoremo de algebro pri ecoj de nuliganto de polinomoj.

Rimarku: en pola lingvo teoremo nomiĝas Teoremo de Bézout [prononco: Bezu]. Sed estas malkorekta nomo ĉar teoremo estis konata antaŭ de Étienne Bézout.

Teoremo

Nombro $a$ estas nuliganto de polinomo $W(x)$ tiam kaj nur tiam, kiam polinomo $W(x)$ estas divitata per dunomo $(x-a)$, alinome:

$W(a)=0\iff (x-a)|W(x)$

Tute, valoro de polinomo $W(a)$ estas egala de resto el divido de $W(x)$ per dunomo $x-a$.

Pruvo

Se polinomo $W(x)$ estas divida per $(x-a)$, ekzistas polinomo $V(x)$, kiu $W(x)=V(x)\cdot (x-a)$. Ĝia valoro en $a$ estas:

$W(a)=V(a)\cdot (a-a)=V(a)\cdot 0=0$.

Aŭ polinomo $W(x)$ kiam dividas ĝin per polinomo de grado $n$ donas polinomo $V(x)$ kaj resto kun grado ne plu ol $n-1$, do

$W(x)=V(x)\cdot (x-a)+Z(x)$,

ĉar $(x-a)$ estas polinomo de unua grado, $Z(x)$ estas polinomo de grado ne plu ol nulo, do ĝi estas kutime nombro $z$.

$W(x)=V(x)\cdot (x-a)+z$

ĉar valoro $W(x)$ en $a$ estas nulo, do

$V(a)\cdot (a-a)+z=W(a)$

$V(a)\cdot (a-a)+z=0$

$V(a)\cdot 0+z=0$

$z=0$

do $W(x)$ dividiĝas per $(x-a)$ sen resto, do $W(x)$ estas dividebla per $(x-a)$.

Ekzemplo

Polinomo $W(x)=x^{3}-12x^{2}-42$, kiu dividiĝas per $x-3$ estas $V(x)=x^{2}-9x-27$ kaj resto $-123$. Do el teoremo estas, ke $W(3)=-123$.