Teorio de kategorioj

La teorio de kategorioj aŭ kategorio-teorio estas moderna koncepto, kiu aperis en la jaroj 1940-aj en la artikoloj de Samuel Eilenberg kaj Saunders MAC LANE. Plej simple esprimite, ĝi estas ĝenerala teorio de strukturoj kaj sistemoj de strukturoj. Fakte, oni povas diri, ke la teorio de kategorioj ne estas aparta matematika fako, sed ilo, kiu utilas en diversaj matematikaj fakoj, aŭ lingvo, per kiu oni povas diskuti strukturojn, kiuj aperas en diversaj fakoj.

La bazaj nocioj de la teorio estas simplaj. Kategorio konsistas el du specoj: objektoj kaj sagoj inter tiuj objektoj. Grave, kategorio ankaŭ bezonas surhavi tri operaciojn: fontoperacio mallongita al fon, kofontoperacio (aŭ celoperacio), mallongigita al kof, kaj komponoperacio, skribite ∘. fon estas funkcio de la sagoj el kategorio al la objektoj el la sama kategorio, kiu donas la komencon de ĉiu sago. Simile, kof donas la finon de ĉiu sago. La komponoperacio estas duonfunkcio (tio estas, funkcio kiu eble ne havas valorojn ĉe tute sia difinkorpo) de paroj da sagoj al sagoj. Ĝi donas la signifon (laŭekziste) de sago sekve alia sago. Ne ekzistas signifo de tia kunmetaĵo se la kofonto de la unua sago ne egalas la fonton de la dua. (Oni diras ke, la sagoj 'ne linias') Ĉe ĉi tiu kazo, la komponoperacio devas havi neniun valoron. Kategorio devas ankaŭ havi la jenajn ecojn:

1. Ĉiu objekto C havas identsagon (ofte skribita 1_C aŭ id_C) tia, ke 1_C ∘ f = f = f ∘ 1_C ĉe ĉiuj sagoj f.
2. La komponoperacio estas asocieca: (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h) ĉe sagoj f, g, h.
3. fon(f ∘ g) = fon(g) kaj kof(f ∘ g) = kof(f). Kial tio validu, iĝas klare, kiam oni rememoras, ke la prototipa signifo de f ∘ g estas 'unue f kaj poste g '.

Por ilustri, vi povas imagi la objektojn esti ĉiuj aroj kaj la sagojn esti ĉiuj funkcioj inter la aroj. La komponoperacio en ĉi tiu afero estas ordinara funkcia komponado. Ĝi estas konkreta kategorio ĉar la objektoj estas iuj aroj (eble kun aldonita strukturo), la sagoj estas iuj funkcioj, kaj la komponoperacio estas nur funkcia komponado. Aliaj ekzemploj de konkretaj kategorioj estas la kategorio de grupoj kaj homomorfioj, la kategorio de topologioj kaj kontinuaj funkcioj, k. s. Ankaŭ ekzistas pluraj kategorioj kiuj ne estas konkretaj; ĉi tiuj abstraktaj kategorioj ofte okazas el konstruadoj el aliaj kategorioj (ekz. konstruadoj de mala kategorio, tranĉa kategorio, kategorioj de monadalgebroj kaj koalgebroj).

Kiam oni esprimas strukturojn en la lingvo de kategorioj, oni gajnas ne nur la eblecon studi la ecojn de la strukturoj, sed ankaŭ la eblecon studi la tipojn de strukturoj. Por tio estas la koncepto funktoro. Funktoro simple estas rilato inter du kategorioj, denove plenumante kelkajn evidentajn ecojn pri sia efiko al la objektoj kaj sagoj en la fonta kategorio.

Aldone al la baza kadro de kategorioj kaj funktoroj, konstruiĝis tuta teorio kun aliaj konceptoj kiel naturaj transformigoj, komplementaj funktoroj, kaj limoj. Tiuj strukturoj abundas en ĉiuj fakoj de matematiko, kelkfoje evidente kaj kelkfoje kaŝite. Estas precize la malkovrado de kategoriaj strukturoj kiu estas la plej grava utileco de la teorio. Kiam oni trovas kategorion en iu matematika fako, subite ĉiuj rezultoj pri kategorioj validas pri tiuj strukturoj, do jen multe da novaj rezultoj sen multe da penado. Kaj kompreneble tiu malkovrado donas pli profundan komprenon de la strukturoj.

Al multaj, la teorio de kategorioj estas alternativo al la aroteorio.

La teorio de kategorioj utilas interalie en matematika studado de komputillingvoj (ekzemple, en la studado de tip-sistemoj).