Tradona funkcio

En inĝenierarto, tradona funkcio (aŭ transfara funkcio) estas matematika prezento de la rilato inter la enigo kaj la eligo de lineara tempo-invarianta sistemo. La tradona funkcio estas kutime uzita en la analizo de analogaj cirkvitoj kun sola enigo kaj sola eligo. Ĝi estas ĉefe uzita en lineara, tempo-invarianta sistema teorio, signal-prilaborado, komunikteorio, kaj rega teorio.

Tradona funkcio permesas kalkuli la rezultantan reagon de lineara sistemo al eniga signalo; la propraĵoj de la sistemo estas invariantaj (ne dependantaj de la tempo), sed ŝanĝiĝas la komponantoj de la signalo tra la sistemo.

Pri kontinua (sen malkontinueco) eniga signalo $x(t)$ kaj eliga signalo $y(t)$, en ŝia plej simpla formo la funkcio estas ofte skribita kiel la rilatumo je la Laplacaj transformoj de la enigo $X(s)$ kaj la eligo $Y(s)$:

$H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}$

kie H(s) estas la simbolo por la tradona funkcio.

En diskreta-tempaj sistemoj, la funkcio estas simile skribita kiel

$H(z)={Y(z)}/{X(z)}\$ (vidi Z- konverton).

Signal-prilaborado

Supozu $x(t)$ esti la enigo al ĝenerala lineara tempo-invarianta sistemo, kaj $y(t)$ esti la eligo, tiel la ambaŭflankaj Laplacaj konvertoj de $x(t)$ kaj $y(t)$ estas:

$X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}\equiv \int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt$

$Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\equiv \int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-st}\,dt$.

Tiam la eligo estas rilatanta al la enigo per la tradona funkcio $H(s)$ laŭ

$Y(s)=H(s)X(s)\,$

do la tradona funkcio mem estas:

$H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}$ .

Aparte, se kompleksa harmona signalo kun sinusa komponanto (kun amplitudo $|X|\$, angula frekvenco $\omega \$ kaj fazo $\arg(X)\$)

$x(t)\ =|X|e^{j(\omega t+\arg(X))}=Xe^{j\omega t}\$

kie $X=|X|e^{j\arg(X)}$

estas la enigo al lineara tempo-invarianta sistemo, tiam la kongrua komponanto de la eligo estas:

$y(t)=|Y|e^{j(\omega t+\arg(Y))}=Ye^{j\omega t}$

kaj $Y=|Y|e^{j\arg(Y)}$ .

Notu ke en lineara tempo-invarianta sistemo, la enigofrekvenco (do $\omega \$) estas ne ŝanĝita, nur la amplitudo kaj la faza angulo de la sinuso (aŭ kosinuso) estas ŝanĝitaj per la sistemo. La frekvenca respondo $H(j\omega )\$ priskribas ĉi tiun ŝanĝon por ĉiu frekvenco ($\omega \$) en terminoj de gajno G:

$G(\omega )={\frac {|Y|}{|X|}}=|H(j\omega )|$

kaj fazo-ŝoviĝo $\theta$:

$\theta (\omega )=\arg(Y)-\arg(X)=\arg(H(j\omega ))$.

La fazo-malfruo (tio estas, la frekvenco-dependa valoro de la tempa malfruo al la ŝanĝo de fazo per la tradona funkcio) estas:

$\tau _{\phi }(\omega )=-{\begin{matrix}{\frac {\theta (\omega )}{\omega }}\end{matrix}}$.

La grupo-malfruo (tio estas, la frekvenco-dependa valoro de tempa malfruo al la ŝanĝo de amplitudo de la sinuso per la tradona funkcio) estas trovita prenante la derivaĵon de la fazo-ŝoviĝo rilate al la angula frekvenco,

$\tau _{g}(\omega )=-{\begin{matrix}{\frac {d\theta (\omega )}{d\omega }}\end{matrix}}$.

La "tradona funkcio" povas ankaŭ esti montrita per uzo de la transformo de Fourier, kiu estas speciala kazo de la ambaŭflanka Laplaca konverto pri kiu $s=j\omega \$.

Rego-inĝenierado

En rego-inĝenierado kaj rega teorio, la "tradona funkcio" estas derivita per uzo de la unuflanka Laplaca transformo.

La "tradona funkcio" estis la primara ilo uzita en klasika rego-inĝenierado. Tamen, ĝi estas pruvita esti maltraktebla por la analizo de sistemoj kun multaj enigoj kaj multaj eligoj; ĝi estas komune anstataŭiĝita per statospacaj prezentoj por tiaj sistemoj. Malgraŭ ĉi tiu fakto, "tradona matrico" povas esti ĉiam ricevita pri ĉiu lineara sistemo, por analizi ĝian dinamikon kaj aliajn propraĵojn: ĉiu ero de tradona matrico estas tradona funkcio rilatante apartan enigan variablon al eliga variablo.

Optiko

En Optiko, la modulada tradona funkcio priskribas la eblecon de optika sistemo al ŝanĝi kontraston.

Ekzemple, se serio de alternaj nigraj kaj blankaj strekoj estas desegnita je specifa spaca frekvenco, kiam ĉi tiuj strekoj estas observitaj, la bildo estos iom degradita. La blankaj strekoj povos aperi iom pli malhelaj kaj la nigraj strekoj aperos iom pli helaj.

La modulada tradona funkcio (MTF) je donita spaca frekvenco estas difinita kiel sekvas:

$MTF(f)={\frac {M(image)}{M(source)}}\ ,$

kie la modulado (M), estas derivita de la luminanco (L) de la bildo aŭ la fonto kiel sekvas:

$M={\frac {(Lmax-Lmin)}{(Lmax+Lmin)}}\ .$

Vidu ankaŭ

• Diagramo de Bode
• Diagramo de Nyquist
• Frekvenca respondo
• Grupa malfruo kaj faza malfruo