Arĥimeda eco
En abstrakta algebro, la arĥimeda eco aŭ arĥimeda aksiomo estas eco de iuj ordohavaj duongrupoj, grupoj, korpoj, kampoj kaj aliaj algebraj strukturoj.
Proksimume, ĝi signifas, ke en la koncerna algebra strukturo ne ekzistas nefinie grandaj aŭ nefinie malgrandaj (infinitezimaj) elementoj. Ĉi tiu ideo povas esti realigita ekzakte en diversaj kuntekstoj, ekzemple, por korpoj kun absoluta valoro, kie la ordigita kampo de reelaj nombroj estas arĥimeda, sed la kampo de p-adikaj nombroj kun la p-adika absoluta valoro estas nearĥimeda.
Ordohava algebra strukturo, en kiu ĉiuj du ne-nulaj elementoj estas kompareblaj en la senco, ke neniu el ili estas infinitezima rilate al la aliaj, estas nomata arĥimeda. Strukturo, kiu havas paron da ne-nulaj eroj, unu el kiuj estas infinitezima rilate al la alia, nomiĝas ne-arĥimeda.
Difino redakti
Estu x kaj y pozitivaj elementoj de lineare ordigita grupo G. Tiam x estas infinitezima rilate al y (aŭ ekvivalente, y estas malfinia rilate al al x), se por ĉiu natura nombro n la produto (ripetita sumo) nx estas malpli granda ol y:
La grupo G estas arĥimeda, se por neniu paro x, y da ĝiaj elementoj x estas infinitezima rilate al y.
Aldone, se K estas algebra strukturo kun unuo, ekzemple ringo, simila difino aplikas al K. Se x estas infinitezimo kun respekto al 1, tiam x estas infinitezima ero. Ankaŭ, se y estas malfinio kun respekto al 1, tiam y estas malfinia ero. La algebra strukturo K estas arĥimeda se ĝi ne havas malfiniajn aŭ infinitezimajn erojn.
Pri korpoj redakti
Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Arkimeda korpo.Ordigita korpo havas ankaŭ jenajn ecojn:
- Se x estas infinitezimo, tiam 1/x estas malfinio, kaj ree. Pro tio por kontroli, ĉu korpo estas nearĥimeda, sufiĉas kontroli nur, ĉu ekzistas infinitezimaj eroj, aŭ kontroli ĉu ekzistas malfiniaj eroj.
- Se x estas infinitezimo kaj r estas racionala nombro, tiam rx estas ankaŭ infinitezimo. Tiel por, ajna donita ero c, la tri eroj c/2, c kaj 2c estas aŭ ĉiuj tri infinitezimoj aŭ ĉiu tri ne-infinitezimoj.
Arĥimeda aksiomo por reelaj nombroj redakti
En la aksioma teorio de reelaj nombroj, la malesto de nenulaj infinitezimaj reelaj nombroj estas implicita per la malplej-supera-lima propreco kiel sekvas.
Signifu per Z la aron konsistantan el ĉiuj pozitivaj infinitezimoj. Ĉi tiu aro estas barita desupre de 1. Nun alprenu per kontraŭdiro ke Z estas nemalplena. Tiam ĝi havas supremon (precizan supran randon) c, kiu estas ankaŭ pozitiva, tiel c/2 < c < 2c. Pro tio ke c estas supera baro de Z kaj 2c estas severe pli granda ol c, 2c devas esti severe pli granda ol ĉiu pozitiva infinitezimo. 2c ne povas mem esti infinitezimo, ĉar tiam 2c devus esti pli granda ol si. Ankaŭ pro tio ke c estas la plej malgranda supera baro de Z, c/2 devas esti infinitezimo. Sed 2c kaj c/2 ne povas havi malsamajn specoj per la rezulto pli supre, tiel estas kontraŭdiro. La konkludo sekvas ke Z estas malplena kaj ne ekzistas pozitivaj infinitezimaj reelaj nombroj.
Ekzemplo de ne-arĥimeda ordigita korpo redakti
Por ekzemplo de ordigita korpo kiu estas ne-arĥimeda, prenu la korpon de racionalaj funkcioj kun reelaj koeficientoj. Racionala funkcio estas ĉiu funkcio kiu povas esti esprimita kiel unu polinomo dividita per alia polinomo. Por fari ordigitan korpon, necesas asigni ordon kongruan kun la adicio kaj multipliko. Estu f>g se kaj nur se f-g > 0, tiel necesas nur diri kiuj racionalaj funkcioj estas konsiderataj kiel pozitivaj. Skribu la racionalan funkcion en la formo de rilatumo de du polinomoj tiel ke la konduka koeficiento de la denominatoro estas pozitiva. Estu la funkcio konsiderta kiel pozitiva se la konduka koeficiento de la numeratoro estas pozitiva. Eblas kontroli ke ĉi tiu ordigo estas bone difinita kaj kongrua kun la adicio kaj multipliko. Per ĉi tiu difino, la racionala funkcio 1/x estas pozitiva sed malpli granda ol la racionala funkcio 1. Kaj, se n estas iu ajn natura nombro, tiam n(1/x) = n/x estas pozitiva sed ankoraŭ malpli granda ol 1. Pro tio, 1/x estas infinitezimo en ĉi tiu korpo.
Ĉi tiu ekzemplo povas esti ĝeneraligita al la aliaj koeficientoj. Se ekzemple konsideri racionalajn funkciojn kun racionalaj koeficientoj rezultas kalkulebla ne-arĥimeda ordigita korpo.
Historio redakti
La koncepto portas la nomon de la antikva greka geometro kaj fizikisto Arĥimedo el Sirakuzo. Arĥimedo diris, ke por ĉiuj du rektaj segmentoj, kuŝigante la pli mallongan el ili finian kvanton da fojoj ĉiam eblas krei segmenton pli longan ol la dua. El la vidpunkto de moderna matematiko, konsiderante, ke la longoj de la netrivialaj segmentoj estas pozitivaj reelaj nombroj, videblas ke ĉi tio estas la arĥimeda propraĵo de reelaj nombroj.
Tamen, Arĥimedo uzis infinitezimojn en heŭristikaj argumentoj, kvankam malkonsentis ke ĉi tiaj rezonadoj estas pretaj matematikaj pruvoj.
Ĉar Arĥimedo donis aŭtorecon de tiu ĉi eco al Eŭdokso el Knido, ĝi estas konata ankaŭ kiel la teoremo de Eŭdokso aŭ la aksiomo de Eŭdokso.
La arĥimeda aksiomo aperas en libro V de Elementoj de Eŭklido kiel difino 4.
Eksteraj ligiloj redakti
- Schechter, Eric (1997). Handbook of Analysis and its Foundations - Gvidlibro de analitiko kaj ĝiaj fundamentoj. Academic Press. ISBN 0-12-622760-8.