Aro de Smith-Volterra-Cantor

En matematiko, la aro de Smith-Volterra-Cantor (SVC) aŭ la grasa aro de Cantor estas ekzemplo de aro de punktoj de la reela linio R kiu estas nenie densa (ĝi ne enhavas iun intervalon), sed havas pozitivan mezuron.

Post nigraj intervaloj estas forprenitaj, la blankaj punktoj kiuj restas formas nenie densan aron de mezuro 1/2.

La aro de Smith-Volterra-Cantor estas nomita post Henry John Stephen Smith, Vito Volterra kaj Georg Cantor.

KonstruadoRedakti

Simile al la konstruado de la aro de Cantor, la aro de Smith-Volterra-Cantor estas konstruita per forprenado de certaj intervaloj el la unuobla intervalo [0, 1].

La procezo komenciĝas kun la unu intervalo [0, 1]. Dum ĉiu n-a paŝo, n=1, 2, 3, ..., okazas forprenado de subintervaloj de longo 1/22n de la mezo de ĉiu el la 2n-1 restantaj intervaloj. Daŭrante malfinie kun ĉi tiu forigado, la aro de Smith-Volterra-Cantor estas la aro de punktoj kiuj estas neniam forprenitaj.

Dum la unua paŝo de procezo okazas forprenado de la meza 1/4 el la intervalo [0, 1] (la samo kiel forprenado de 1/8 de ĉiu flanko de la meza punkto je 1/2) tiel la restanta aro estas

 

Dum la dua paŝo la intervaloj (5/32, 7/32) kaj (25/32, 27/32) estas forprenataj, lasante aron

 
La bildo montras la komencan aron kaj 5 paŝojn de ĉi tiu procezo.

PropraĵojRedakti

Per konstruado, la aro de Smith-Volterra-Cantor ne enhavas intervalojn. Dum la procezo, intervaloj de tuteca longo

 

estas forprenitaj el [0, 1], montrante ke la aro de la restantaj punktoj havas pozitivan mezuron de 1/2.

Aliaj grasaj aroj de CantorRedakti

Ĝenerale, oni povas forpreni parton de iu longo rn el ĉiu restanta subintervalo je la n-a paŝo de la algoritmo, kaj finiĝi kun simila aro. La rezultanta aro havas pozitivan mezuron se kaj nur se la sumo de la vico

 

estas malpli granda ol la mezuro de la komenca intervalo.

Vidu ankaŭRedakti

  • La aro de Smith-Volterra-Cantor estas uzata en la konstruado de funkcio de Volterra
  • La aro de Smith-Volterra-Cantor estas ekzemplo de kompakta aro kiu estas ne jordane mezurebla.
  • La nadla funkcio de la aro de Smith-Volterra-Cantor estas ekzemplo de barita funkcia kiu estas ne rimane integralebla sur (0,1) kaj ankaŭ estas ne egala preskaŭ ĉie al rimane integralebla funkcio.

Eksteraj ligilojRedakti