Eŭklido

helena matematikisto

Eŭklido (greke Εὐκλείδης Eu̍kleídês; naskiĝis ĉirkaŭ 325 a. K.; mortis en 265 a.K.) estis greka geometro, kiu kompilis la Elementojn, faman verkon pri geometrio. La teksto enhavas tiamajn sciojn pri geometrio kaj estis uzata dum jarcentoj en okcidenta Eŭropo kiel lernolibro. La teksto komenciĝas per difinoj, postulatoj kaj ĝeneralaj opinioj pri la proceduroj kiel ricevi rezultojn per rigoraj geometriaj pruvoj. Eŭklido pruvis ankaŭ la tiel nomatan Duan teoremon de Eŭklido: "La nombro de primoj estas senfina". Li provis uzi algoritmon por trovi plej grandan komunan divizoron kaj por pruvi la teoremon de Pitagoro.

Eŭklido
greke Εὐκλείδης
Moderna imagita portreto
Moderna imagita portreto
Persona informo
Εὐκλείδης
Naskonomo Εὐκλείδης
Naskiĝo 325 a. K.
en Aleksandrio, Egiptio
Morto 265 a. K.
en Aleksandrio, Egiptio
Lingvoj antikva greka vd
Loĝloko Aleksandrio vd
Ŝtataneco Antikva Ateno vd
Profesio
Okupo matematikisto • verkisto vd
Laborkampo geometrio vd
Verkado
Verkoj Elementoj de Eŭklido ❦
sinteza geometrio vd
vd Fonto: Vikidatumoj
vdr

Vivo redakti

 
Skulptaĵo reprezentanta Eŭklidon, Oxford University Museum

Pri la vivo de la greka matematikisto Eŭklido nur malmulte konatas. Nek la jaro de lia naskiĝo, nek la loko estas ĝis nun establitaj. Li estis samtempulo de Arkimedo (287 a. K. - 212 a. K.). Iuj supozas, ke li naskiĝis ĉirkaŭ la jaro 360 a. K., verŝajne en Ateno, kaj tie edukiĝis ĉe la akademio de Platono. Aliaj indikas -325 kiel naskiĝjaro[1], sed laŭ la matematikisto Christian Velpryses, liaj vivodatoj estas tute nekonataj.[2]

Fakte la ŝlosilaj referencoj pri Eŭklido estis skribitaj jarcentoj post lia morto, fare de Proklo kaj Papo de Aleksandrio.[3] Proklo menciis Eŭklidon nur mallonge en sia Komentario pri la elementoj verkita en la 5-a jarcento, kie li skribis, ke Eŭklido estis la aŭtoro de la Elementoj, ke menciis lin Arkimedo kaj kiam Ptolemeo la 1-a demandis Eŭklidon, ĉu ne ekzistis vojo al geometrio pli mallonga ol tiu de la Elementoj, li respondis, ke "ne ekzistas reĝa vojo al geometrio". Kvankam la citaĵo de Eŭklido fare de Arkimedo estis taksita interpolado de postaj eldonistoj de liaj verkoj, oni daŭre supozas, ke Eŭklido verkis siajn tekstojn antaŭ tiuj de Arkimedo.[4][5] Krome la anekdoto pri la "reĝa vojo" estas pridubinda, ĉar ĝi similas rakonton pri Meneĥmo kaj Aleksandro la Granda.[6]

En la ununura alia ŝlosilreferenco al Eŭklido, Papo mallonge menciis en la 4-a jarcento, ke Apolonio "pasigis tre longan tempon kun la lernantoj de Eŭklido en Aleksandrio, kaj tiel li akiris tian sciencan vestaĵon de pensado."[7]

Li tre verŝajne vivis en Aleksandrio dum la regado de Ptolemeo la 1-a (eble ankaŭ dum tiu de Ptolemeo la 2-a) kaj instruis tie matematikon.

Eŭklido famiĝis pro 13 lernolibroj, en kiuj li kompilis la tiamajn sciojn pri matematiko. La Elementoj, kiel oni nomas tiujn librojn, estas la plej sukcesaj matematikaj libroj de ĉiuj epokoj. Tiel tradukoj de tiuj libroj estis uzataj en Britujo ankoraŭ en la 19-a jarcento kiel oficialaj lernejaj libroj pri geometrio.

Ankaŭ la cirkonstancoj kaj dato de lia morto estas nekonataj. Tamen oni konas, ke li estis filo de iu Naŭkrato, kaj por Eŭklido mem oni proponis tri hipotezojn, nome la jenaj:

  1. Eŭklido estis historia matematikisto kiu verkis la Elementoj-n kaj liajn verkojn kiujn oni atribuas al li.
  2. Eŭklido estis la estro de teamo de matematikistoj kiuj laboris en Aleksandrio. Ĉiuj el ili kontribuis al la verkado de la kompletaj verkoj de Eŭklido, eĉ subskribante librojn per la nomo Eŭklido eĉ post lia morto.
  3. Kompletaj verkoj de Eŭklido estis verkitaj de teamo de matematikistoj de Aleksandrio kiu uzis la nomon Eŭklido el historia filozofo Eŭklido de Megara, kiu estis vivinta ĉirkaŭ cent jaroj antaŭe.
 
Eŭklido de Megara.

Eble Eŭklido studis en la Akademio de Platono kun la sekvantoj de Platono kaj tie lernis la bazojn de sia sciaro.[8][9] Historiisto Thomas Heath subtenis tiun teorion, notante, ke plimulto de kapablaj geometriistoj vivis en Ateno, inkludante multajn kun kiuj Eŭklido laboris;[10] Sialaros konsideras tion simpla spekulativo.[11] Tiukadre, oni notis, ke la enhavoj de la verkaro de Eŭklido montras familiarecon kun la Platona geometria tradicio.[12]

En sia Kolekto, Papo mencias, ke Apolonio studis kun la lernantoj de Eŭklido en Aleksandrio, kaj tiukadre oni supozas, ke Eŭklido laboris kaj fondis matematikan tradicion tie.[13][14][15] La urbon fondis Aleksandro la Granda en 331 a.n.e.,[16] kaj la regado de Ptolemeo la 1-a el 306 a.n.e. antaŭen havigis stabilecon kiu estis relative unika inter la ĥaosaj militoj de la Diadoĥoj kiuj rezultis en dividado de la imperio de Aleksandro.[17] Ptolemeo startigis procezon de helenigon kaj komisiis nombrajn konstruaĵojn, kiel ekzemple la amasan institucion Museion, kiu estis ĉefa centro de edukado.[18] La Museion poste inkludos la faman Bibliotekon de Aleksandrio, sed ĝi estis plej verŝajne fondita poste, dum la regado de Ptolemeo la 2-a (285–246 a.n.e.).[19] Oni spekulativis, ke Eŭklido eble estis inter la unuaj lernantoj de Museion.[16] Kvankam oni ne konas la mortodaton de Eŭklido, oni spekulativis, ke li mortis ĉirkaŭ la jaro 270 a.n.e.[16]

Proklo, la lasta de la grandaj grekaj filozofoj, kiu vivis ĉirkaŭ la jaro 450, skribis gravajn komentariojn pri la libro Unua de la Elementoj.[20]​ Tiuj komentarioj estas valora fonto de informado pri la historio de la greka matematiko. Tiukadre oni scias, por ekzemplo, ke Eŭklido arigis kontribuojn de Eŭdokso el Knido pri la teorio de la proporcieco, kaj de Teeteto pri la regulaj pluredroj.[21]

Precize la plej antikva teksto konata pri la vivo de Eŭklido aperas en resumo pri historio de geometrio verkita en la 5-a jarcento n.e., fare de la novplatonisma filozofo Proklo, komentisto de la unua libro de la Elementoj. Proklo ne havigas li mem ajnan fonton por siaj indikoj. Li diris nur jenon: «Ariginte siajn Elementojn, [Eŭklido] havas multajn aferojn [...] kaj sugestas, en nerefuteblaj monstroj, kion liaj antaŭantoj lernigis per facila maniero. Tiu homo vivis, aliflanke, sub Ptolomeo la 1-a, ĉar Arkimedo [...] mencias Eŭklidon. Eŭklido estas, tial, pli ĵusa ol la lernantoj de Platono, sed pli antikva ol Arkimedo kaj Eratosteno».[22]

Se oni akceptas la kronologion havigitan de Proklo, Eŭklido vivis en la tempoperiodo kiu daŭirs inter Platono kaj Arkimedo kaj estis samtempulo de Ptolomeo la 1-a, proksimume ĉirkaŭ la jaro 300 antaŭ nia epoko.

La Elementoj redakti

  Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Elementoj de Eŭklido.
 
Fragmento de la Elementoj de Eŭklido trovita en Oksirinĥo.

La Elementoj estas kompilo de geometriaj scioj kaj restis kerno de matematika instruado dum preskaŭ 2000 jaroj. Eblus ke neniu el la elementoj estus de Eŭklido mem, sed iliaj organizado kaj prezentado, kaj tiel verŝajne ankaŭ transdono, estas lia verko.

La Elementoj estas dividitaj en dek tri libroj. La libroj 1 ĝis 6 temas pri ebena geometrio, la libroj 7 ĝis 9 pri pitagora aritmetiko, la libro 10 pri la teorio de neracionalaj nombroj de Eŭdokso, kaj la libroj 11 ĝis 13 pri spaca geometrio. Finiĝas la libro per esploro de la ecoj de kvin regulaj pluredroj kaj klarigo de ilia ekzisto. La Elementoj estas rimarkindaj pro la klareco de prezentado kaj klarigo de la teoremoj. La Elementoj entenas la komencojn de la nombroteorio (jam konata de Archytas) kaj la konceptojn pri divideblo kaj pri la plej granda komuna divizoro, kalkulebla per la Eŭklida algoritmo. Eŭklido pruvis, ke ekzistas senfina nombro de primoj. En la libro 5 troviĝas la scioj pri proporcio de Eŭdokso, ĝeneraligo de aritmetiko al pozitivaj neracionalaj nombroj.

Pli ol miloj da eldonejoj manuskriptaj de la Elementoj estis publikigataj antaŭ la unua presita versio en 1482. La rigoro ne estas ĉiam tia de nuntempaj normoj, sed la metodo konsistis el deiro de aksiomoj, postulatoj kaj difinoj, por dedukti maksimumon de ecoj de la objektoj traktataj, ĉio ĉi en organizita tutaĵo, tute nova por la tiama epoko. La sukceso de la Elementoj devenas de iliaj organizado, sistemigo kaj matematika logiko. La plej lastaj esploroj pri historio de matematiko pruvas, ke Eŭklido ne estas la ununura aŭtoro de la Elementoj. Verŝajne ĉirkaŭis lin kolegaro de disĉiploj, kiuj ĉiuj partoprenis la ellaboron.

Eŭklida geometrio redakti

  Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Eŭklida geometrio.

La geometrio tia, kia ĝi estis difinita de Eŭklido estis konsiderata dum jarcentoj kiel la geometrio, kaj malfacilis superi ĝin. Nikolaj Ivanoviĉ Lobaĉevskij estis la unua, kiu oficiale provis tion en 1826, sekvita de János Bolyai, sed la legendo diras, ke oni ne serioze traktis lin antaŭ la morto de Carl Friedrich Gauss, kiam oni malkovris inter ties malnetoj, ke ankaŭ li imagis neeŭklidajn geometriojn.

 
Bildigo de la kvina postulato de Eŭklido

En siaj libroj Eŭlido uzas, por montri la ecojn de rektoj, la postulaton de Eŭklido, kiun oni esprimas nuntempe, dirante, ke tra punkto ekster rekto, pasas unu kaj nur unu paralelo al tiu rekto. La fama kvina postulato de la ebena eŭklida geometrio, nomata ankaŭ paralela aksiomo postulas, ke se rekta segmento s tranĉante du rektojn g kaj h formante du angulojn ene de la sama flanko de s α kaj β kune malpli grandaj ol du ortaj anguloj, tiam la du rektoj g kaj h renkontiĝas ĉe tiu flanko de s, kie situas la anguloj α kaj β. Se do du rektoj tranĉas rektan segmenton (aŭ rekton), tiel ke la du anguloj malfermitaj unuflanke de la rekta segmento kaj aliflanke de la du rektoj estas malpli grandaj ol 180°, tiam la du rektoj renkontiĝas tiuflanke kaj kune kun la rekta segmento (aŭ la tria rekto) limigas triangulon.

Ekzistas esence tri specoj de geometrio:

  • tiu, kiu akceptas la postulaton de Eŭklido, nomata ebena geometrioeŭklida geometrio,
  • tiu, kiu akceptas la postulaton, ke tra punkto ekster rekto, pasas neniu paralelo al tiu rekto, nomata sfera geometrioriemanna geometrio,
  • tiu, kiu akceptas la postulaton, ke tra punkto ekster rekto, pasas senfina nombro de paraleloj al tiu rekto, nomata geometrio de Lobaĉevskij.

Riemann montris, ke modelo de sfera geometrio estas sfero kaj la rektoj korespondas al meridianoj aŭ grandaj cirkloj. Poincaré donis modelon de la geometrion de Lobaĉevskij. Ĉar ekzistas modeloj por la tri geometrioj ne ekzistas kialo privilegii unu pli ol la aliaj. La teorio de relativeco de Einstein fine montris la kurbiĝon de la spaco, kaj kiam la spaco kurbiĝas, ĝi forlasas sian aspekton eŭklidan.

Aksiomoj de Eŭklido redakti

Eŭklida geometrio (ankaŭ tradicie nomata sinteza geometrio), prezentata estas kiel aksiomaro. Kaj ĉiuj aliaj teoremoj devas elflui el aksiomoj. En sia verko Eŭklido prezentis kvin aksiomojn pri surfaco (kiu nomiĝas tial eŭklida surfaco):

 
La kvin Platonaj solidoj, fundamentaj komponantoj de geometrio de la spaco kiel aperas en la Libroj 11a–13a.
  1. Ajnaj du punktoj povas kunligi per rekta segmento.
  2. Ajna segmento povas plilongigi nebarite (por havi rekton).
  3. Por ajna segmento oni povas fari cirklon kun mezo en unu fino de la segmento kaj kun radiuso, kiu egalas al longeco de ĝi.
  4. Ĉiuj ortaj anguloj estas kongruaj.
  5. Du rektoj, kiuj tranĉas la trian tiel, ke la sumo de iliaj anguloj je unu flanko estas malpli ol du ortoj, tranĉiĝas je ĉi tiu flanko.

Por geometrio en surfaco la kvina aksiomo a.n. aksiomo de Eŭklidoaksiomo de paraleleco povas esprimi ankaŭ tiel:

„Tra punkto povas desegni nur unu rekton kiu ne estas disa kun alia rekto (kiu ne trairas la punkton)”.

La disvolviĝo de la geometrio de spaco postulas la koncepton de la ebeno, estas difinita de la fakto, ke tra tri punktoj, kiuj ne estas sur unu linio, pasas unu ebeno.

Aliaj verkoj redakti

 
Eŭklida konstruo de regula dekduedro.

Aldone al la Elementoj, almenaŭ kvin verkoj de Eŭklido estis survivintaj ĝis nuntempe. Ili sekvas la saman logikan strukturon kiel la Elementoj, kun difinoj kaj pruvitaj propozicioj.

  • Katoptriko temas pri la matematika teorio de speguloj, aparte pri la bildoj formitaj en ebenaj kaj sferaj konkavaj speguloj, kvankam la atribuon foje oni pridubas.[23]
  • La DatumojDedomena (antikve-greke Δεδομένα), estas iom mallonga teksto kiu temas pri la naturo kaj kondiĉoj de "difinita" informaro pri geometriaj problemoj.[23]
  • Pri dividoj (antikve-greke Περὶ Διαιρέσεων‎) survivas nur parte kaj en araba traduko, kaj temas pri la divido de geometriaj figuroj en du aŭ pliaj egalaj partoj aŭ en partoj en difinitaj proporcioj. Ĝi inkludas 36 propoziciojn kaj estas simila al la verko de Apolonio' Konusoj.[23]
  • La Optiko (antikve-greke Ὀπτικά‎) estas la plej frua survivanta greklingva traktaĵo pri perspektivo. Ĝi inkludas enkondukan studon de geometria optiko kaj bazajn regulojn de perspektivo.[23]
 
La Fenomenoj (Phaenomena), publikigita en Romo, 1591.
  • La Fenomenoj (antikve-greke Φαινόμενα) estas traktaĵo pri sfera aŭ pozicia astronomio, survivas en greka lingvo; ĝi estas simila al la Pri la moviĝanta sfero de Aŭtoliko de Pitane, kiu floris ĉirkaŭ la jaro 310 a.n.e.[23]

Perditaj verkoj redakti

Kvar aliaj verkoj estas fidinde atribuitaj al Eŭklido, sed perdiĝis.[24]

  • La Konikoj (antikve-greke Κωνικά‎) estis kvar-libra esplorado pri konikaj sekcioj, kiu estis poste superita de pli kompleta traktaĵo samnoma fare de Apolonio de Pergo.[25][23] La ekziston de la verko oni konas ĉefe el Papo de Aleksandrio, kiu asertas, ke la unuaj kvar libroj de la Konikoj de Apolonio estas ege bazitaj sur la pli frua verko de Eŭklido.[26] Starigis dubojn pri tiu aserto la historiisto Alexander Jones, pro la tre disa pruvaro kaj manko de konfirmo krom la rakonto de Papo.[26]
  • La Pseŭdaria (antikve-greke Ψευδάρια‎; laŭvorte Falsaĵoj), estis —laŭ Proklo en (70.1–18)— teksto laŭ geometria racieco, verkita kiel konsilaro al komencantoj por eviti oftaj falsaĵoj.[25][23] Oni konas malmulte pri ties specifa enhavo krom ties alrigardo kaj kelkaj restantaj linioj.[27]
  • La Porismoj (antikve-greke Πορίσματα; laŭvorte Korolarioj) estis, bazita sur rakontoj el Papo kaj Proklo, probable tri-libra trektaĵo kun proksimume 200 propozicioj.[25][23] La termino 'porismo' en tiu kunteksto ne referencas korolarion, sed al "tria tipo de propozicio — intermeza inter teoremo kaj problemo — kies celo estas malkovri trajton de ekzistanta geometria ento, por ekzemplo, por trovi la centron de cirklo".[23] La matematikisto Michel Chasles spekulativis, ke tiuj nun-perditaj propozicioj inkludis enhavon rilatan al la modernaj teorioj de transversa kaj projekcia geometrio.[25][28]
  • La Surface Loci (antikve-greke Τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ, Topos pros epifaneia) estas de virtuale nekonata enhavo, krom spekulativo bazita sur la titolo de la verko.[25] Supozoj bazitaj sur postaj rakontoj sugestis, ke ĝi studis konusojn kaj cilindrojn, inter aliaj temoj.[23]

Heredo redakti

 
Kovrilpaĝo de la verko de Oliver Byrne de 1847, kolorigita eldono de la Elementoj.

Ĝenerale oni konsideris Eŭklidon kun Arkimedo kaj Apolonio de Perga inter la plej grandaj matematikistoj de la antikveco.[29] Multaj komentistoj citas lin kiel unu el la plej influaj figuroj en la historio de matematiko.[30] La geometria sistemo establita pere de la Elementoj dumlonge dominis la kampon de matematiko; tamen, nuntempe tiun sistemon ofte oni referencas kiel 'Eŭklida geometrio' por distingi ĝin el aliaj ne-Eŭklidaj geometrioj malkovritaj en la komenco de la 19a jarcento.[31]

Inter multaj aferoj nomitaj laŭ Eŭklido estas la navigilo Euclid de la Eŭropa Kosma Agentejo (EKA),[32] la luna kratero Euclides,[33] kaj la minora planedo 4354 Euclides.[34]

La verkon Elementoj oni ofte konsideras kiel la Biblio kiel la plej ofte tradukita, publikigita, kaj studita libro en la historio de la Okcidenta Mondo.[31] Kun la verko de Aristotelo nome Metafiziko, la Elementoj estas eble la plej sukcesa antikva greklingva teksto, kaj estis la dominanta matematika lernolibro en la mezepokaj araba kaj latina mondoj.[31]

La unuan anglalingvan eldonon de la Elementoj publikigis en 1570 Henry Billingsley kaj John Dee.[35] La matematikisto Oliver Byrne publikigis bone konatan version de la Elementoj en 1847 titolita The First Six Books of the Elements of Euclid in Which Coloured Diagrams and Symbols Are Used Instead of Letters for the Greater Ease of Learners (La unuaj ses libroj de la Elementoj de Eŭklido en kiuj oni uzas kolorigitajn diagramojn anstataŭ literojn por faciligi la lernadon), kiu inkludis laŭ la titolo kolorigitajn diagramojn cele al pliigo de la pedagogia efiko.[36] David Hilbert estis aŭtoro de moderna aksiomigo de la Elementoj.[37]

Muzikteorio redakti

 
Eŭklido.

En la muzikteoria verko de Eŭklido Divido de kanono (greke Katatomē kanonos, latine Sectio canonis), kiu estas konsiderata aŭtenta, temas pri la muzikteorio de Arĥitas kaj starigis ĝin sur pli solidan akustikan bazon, tio estas sur frekvencojn de vibroj (li parolis pri ofteco de movoj).

Li ĝeneraligis la frazon de Arĥitas pri la neracionaleco de la kvadrata radiko   kaj pruvis ĝenerale la neracionalecon de iuj radikoj  . La kialo de tiu genia ĝeneraligo estas lia kontraŭtezo kontraŭ la harmoniko de Aristokseno, kiu konstruiĝas je raciaj obligoj de la tono (duontono ... tonono). Ĉar en la pitagora harmoniko la tono (plentono)la proporcion 9:8, kio instigis al Eŭklido lian kontraŭtezon "La tono divideblas nek en du ne en plurajn samajn erojn"; ĝin kondiĉas tamen kunmezureblaj frekvencoj, kiujn oni supozis en la pitagoran harmonikon ĝis la fino de la 16-a jarcento (Simon Stevin). La kontraŭtezon "La oktavo estas pli malgranda ol 6 plentonoj" li baziĝis je la kalkulo de la pitagora komao. Krome la Divido de kanono de Eŭklido entenas - kiel indikas la titolo - la plej malnova dokumentita reprezento de tonsistemo ĉe kanono, dividita kordo, tio estas pitagora reinterpreto de la kompleta diatona tonsistemo de Aristokseno, kio vastigis la harmonion de Filolao.

La tonsistemo de Eŭklido iĝis la bazo de la moderna tonsistemo kun la nuntempe kutima nomado per tonliteroj de Odo de Cluny.

Citaĵoj redakti

 
 Kio estas senpruve asertata, tio povas esti senpruve neata. 
 
 Kio estis pruvota. 
— Elementoj de Eŭklido[38]

Verkaro redakti

  • Elementoj. Libroj 1-13.
    • germane Clemens Thaer (4-a eldono, Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2003. ISBN 3-8171-3413-4), en franca
    • france Denis Henrion, Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide (1632) ĉe Gallica. La du lastaj libroj estas apokrifaj, la 14-a estus de Hypsicles).
  • Data.
    • germane Laŭ teksto de Menge tradukita el la greka al germana kaj eldonita de Clemens Thaer. Springer, Berlin 1962
  • Divido de kanono
    • germane Teilung des Kanons (sectio canonis), eld. de H. Menge en: Euclidis opera omnia, vol. 8, Leipzig 1916, 158-183
  • Sectio canonis
    • germane Noveldonita, tradukita kaj komentita en: Busch, Oliver: Logos syntheseos : die euklidische Sectio canonis, Aristoxenos, und die Rolle der Mathematik in der antiken Musiktheorie, Hildesheim, 2004, ISBN/ISSN: 3-487-11545-X
  • Optika
  • Pri la divido de figuroj (parte konservita en araba traduko.
  • De aliaj verkoj konatas nur la titoloj kiel Pseudaria (Paralogismoj), Katoptrika kaj Phainomena (astronomio).

Referencoj redakti

  1. france Euclide d'Alexandrie, bibmath.net Arkivigite je 2006-05-03 per la retarkivo Wayback Machine
  2. Euclide l'Africain ou la Géométrie restituée, Christian Velpry, eld. Menaibuc, Parizo, p. 113, isbn 2-911372-55-7, interrete legeble [1] Arkivigite je 2010-02-10 per la retarkivo Wayback Machine
  3. Joyce, David. Euclid. Clark University Department of Mathematics and Computer Science. [2]
  4. Morrow, Glen. A Commentary on the first book of Euclid's Elements
  5. Euclid of Alexandria. The MacTutor History of Mathematics archive.
  6. Boyer, p. 1.
  7. Heath (1956), p. 2.
  8. «Biografía de Euclides - GeoEnciclopedia 2018».
  9. Goulding 2010, p. 126.
  10. Heath 1908, p. 2.
  11. Sialaros 2020, pp. 147–148.
  12. Ball 1960, p. 52.
  13. Asper 2010, § para. 1.
  14. Sialaros 2020, p. 142.
  15. Heath 1908, p. 2.
  16. 16,0 16,1 16,2 Bruno 2003, p. 126.
  17. Ball 1960, p. 51.
  18. Boyer 1991, p. 100.
  19. Tracy 2000, pp. 343–344.
  20. Mlodinow, Leonard (2001). Euclid's Window: The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace (en angla). Simon and Schuster. pp. p. 98. ISBN 978-1-4391-3537-2.
  21. Kline, Morris (1972). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (en angla). Volumo 1. Oxford University Press. pp. p. 57. ISBN 978-0-19-506135-2.
  22. Proklo (1948). Desclée de Brouwer, eld. Les Commentaires sur las premiers livres des Éléments de Euclide (en franca). Bruĝo.
  23. 23,00 23,01 23,02 23,03 23,04 23,05 23,06 23,07 23,08 23,09 Sialaros 2021, § "Other Works".
  24. Sialaros 2021, § "Works".
  25. 25,0 25,1 25,2 25,3 25,4 Taisbak & Van der Waerden 2021, § "Other writings".
  26. 26,0 26,1 Jones 1986, pp. 399–400.
  27. Acerbi 2008, p. 511.
  28. Jones 1986, pp. 547–572.
  29. Ball 1960, p. 52.
  30. Bruno 2003, p. 125.
  31. 31,0 31,1 31,2 Taisbak & Van der Waerden 2021, § "Legacy".
  32. "NASA Delivers Detectors for ESA's Euclid Spacecraft", Jet Propulsion Laboratory, 9a de Majo 2017.
  33. Gazetteer of Planetary Nomenclature | Euclides. International Astronomical Union. Alirita 3a de Septembro, 2017.
  34. 4354 Euclides (2142 P-L). Minor Planet Center. Alirita 27a de Majo 2018.
  35. Goulding 2010, p. 120.
  36. Hawes & Kolpas 2015.
  37. Hähl & Peters 2022, § para. 1.
  38. Latine: "Quod erat demonstrandum."

Bibliografio redakti

Vidu ankaŭ redakti

Eksteraj ligiloj redakti