Formulo de Faà di Bruno

En matematiko, formulo de Faà di Bruno estas idento ĝeneraliganta la ĉenan regulon al pli altaj derivaĵoj. Ĝi estas nomita pro Francesco Faà di Bruno (1825 - 1888).

Eble la plej konata formo de formulo de Faà di Bruno estas

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\,n!^{m_{n}}}}f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\prod _{j=1}^{n}\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_{j}}$

kie la sumo estas tra ĉiuj n-opoj (m₁, ..., m_n) kontentigantaj kondiĉon

$1m_{1}+2m_{2}+3m_{3}+\cdots +nm_{n}=n$

Iam, por doni ĝi plaĉantan kaj memoreblan ŝablonon, ĝi estas skribita tiel ke la koeficientoj kiuj havas la kombinan interpretadon diskutitan pli sube estas malpli eksplicitaj:

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}$

Kombinigo de la termoj kun la sama valoro de $m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{n}=k$ kondukas al alia iel pli simpla formulo esprimita per sonorilaj polinomoj $B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})$:

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=0}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right)$

Kombina formo

La formulo havas la kombinan formon:

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum _{\pi \in \Pi }f^{(\left|\pi \right|)}(g(x))\cdot \prod _{B\in \pi }g^{(\left|B\right|)}(x)$

kie

• π ruliĝas tra la aro Π de ĉiuj dispartigoj de la aro {1, ..., n},

• "B ∈ π" signifas ke la variablo B ruliĝas tra la listo de ĉiuj blokoj de la dispartigo π, kaj

• |A| signifas kardinalon de la aro A, tiel |π| estas kvanto de la blokoj en la dispartigo π kaj |B| estas amplekso de la bloko B.

Ekzemplo

Jen estas ekzemplo de uzo de la kombina formo:

${\begin{aligned}(f\circ g)''''(x)&=f''''(g(x))g'(x)^{4}+6f'''(g(x))g''(x)g'(x)^{2}\\&{}\quad +\;3f''(g(x))g''(x)^{2}+4f''(g(x))g'''(x)g'(x)\\&{}\quad +\;f'(g(x))g''''(x)\end{aligned}}$

La ŝablono estas

${\begin{aligned}g'(x)^{4}&&\leftrightarrow &&1+1+1+1&&\leftrightarrow &&f''''(g(x))&&\leftrightarrow &&1\\\\g''(x)g'(x)^{2}&&\leftrightarrow &&2+1+1&&\leftrightarrow &&f'''(g(x))&&\leftrightarrow &&6\\\\g''(x)^{2}&&\leftrightarrow &&2+2&&\leftrightarrow &&f''(g(x))&&\leftrightarrow &&3\\\\g'''(x)g'(x)&&\leftrightarrow &&3+1&&\leftrightarrow &&f''(g(x))&&\leftrightarrow &&4\\\\g''''(x)&&\leftrightarrow &&4&&\leftrightarrow &&f'(g(x))&&\leftrightarrow &&1\end{aligned}}$

La faktoro $\scriptstyle g''(x)g'(x)^{2}\;$ respektivas al la dispartigo 2+1+1 de la entjero 4 (4 ĉar estas trovata la 4-a derivaĵo), en la evidenta vojo. La faktoro $\scriptstyle f'''(g(x))\;$ kiu estas kun ĝi respektivas al tio ke estas 3 termoj en ĉi tiu dispartigo. La koeficiento 6 kiu estas kun ĉi tiuj faktoroj respektivas al tio ke estas akurate 6 dispartigoj de aro de 4 membroj kiuj disdividas ĝin en unu parton de amplekso 2 kaj du partojn de amplekso 1.

Simile, la faktoro $\scriptstyle g''(x)^{2}\;$ en la tria linio respektivas al la dispartigo 2+2 de la entjero 4, dum $\scriptstyle f''(g(x))\,\!$ respektivas al tio ke estas du termoj en la dispartigo. La koeficiento 3 respektivas al tio ke estas 3 manieroj de disdivido de 4 objektoj en grupojn po 2 (⁴C₂ / 2).

La sama koncepto aplikas al la aliaj linioj.

Kombinatoriko de la koeficientoj de Faà di Bruno

Ĉi tiuj dispartigo-kalkulantaj koeficientoj havas fermito-forman esprimon. La kvanto de dispartigoj de aro de amplekso n respektiva al la entjera dispartigo

$\displaystyle n=\underbrace {1+\cdots +1} _{m_{1}}\,+\,\underbrace {2+\cdots +2} _{m_{2}}\,+\,\underbrace {3+\cdots +3} _{m_{3}}+\cdots$

de la entjero n estas egala al

${\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,m_{3}!\,\cdots 1!^{m_{1}}\,2!^{m_{2}}\,3!^{m_{3}}\,\cdots }}$

Ĉi tiuj koeficientoj ankaŭ aperas en la sonorilaj polinomoj.

Formala potencoseria versio

En la formala potencoserio

$f(x)=\sum _{n}{a_{n} \over n!}x^{n}$

oni havas la n-an derivaĵon je 0

$f^{(n)}(0)=a_{n}\;$

Ĉi tiu devus ne esti komprenata kiel la valoro de funkcio, ĉar ĉi tiu serio estas pure formala; ne estas koncernata ĝia konverĝo aŭ malkonverĝo en ĉi tiu ĉirkaŭteksto.

Se

$g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}$

kaj

$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}$

kaj

$g(f(x))=h(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{c_{n} \over n!}x^{n}$

do la koeficiento c_n (kiu devus esti la n-a derivaĵo de h komputita je 0 se ne konsideri konverĝecon de la serio) estas donita per

$c_{n}=\sum _{\pi =\left\{\,B_{1},\,\dots ,\,B_{k}\,\right\}}a_{\left|B_{1}\right|}\cdots a_{\left|B_{k}\right|}b_{k}$

kie π ruliĝas tra la aro de ĉiuj dispartigoj de la aro {1, ..., n} kaj B₁, ..., B_k estas la blokoj de la dispartigo π, kaj | B_j | estas kvanto de membroj en la j-a bloko, por j = 1, ..., k.

Ĉi tiu versio de la formulo estas aparte bone konvena por celoj de kombinatoriko.

Eblas ankaŭ skribi ke

$g(f(x))=\sum _{n=1}^{\infty }{\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1}) \over n!}x^{n}$

kie la esprimoj

$B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})$

estas sonorilaj polinomoj.

Eksponenta okazo

Se f(x) = e^x tiam ĉiuj derivaĵoj de f estas la samaj, kaj estas faktoro komuna al ĉiu termo. En okazo se g(x) estas duoninvarianto-generanta funkcio, do f(g(x)) estas momanto-generanta funkcio, kaj la polinomo en diversaj derivaĵoj de g estas la polinomo kiu ekspresas la momantojn kiel funkcioj de la duoninvariantoj.

Eksteraj ligiloj

• W. P. Johnson, "La kurioza historio de formulo de Faà di Bruno", Amerika Matematiko Monate, Volumo. 109, Marto 2002, 217-234
• Formulo de Faà di Bruno je MathWorld
• Numeriga kombinatoriko ISBN 0-521-55309-1N. Vidu pri la formala potencoseria versio en ĉapitro 5.