Geodezia kurbo

En diferenciala geometrio, geodezia kurbo estas kurbo, kiu estas laŭeble rekta sur glata sternaĵo. En la ĝenerala teorio de relativeco, punkta partiklo moviĝas laŭ geodezia kurbo, sub la efiko de gravito.

DifinoRedakti

Supozu ke   estas glata sternaĵo, kune kun afina konekto

 .

Konsideru glatan kurbon

 .

La kurbo estas geodezia kurbo, se kaj nur se ĝi plenumas la ĉi-subajn kondiĉojn:

  • Ĉe ajna tempo  , ekzistas ĉirkaŭaĵo   de   kaj ankaŭ ĉirkaŭaĵo   de la bildaro de la limigaĵo  , tiaj ke pri ajna vektora kampo   sur  , se   ĉe ĉiu  , do la jena ekvacio, la geodezia ekvacio estas vera:
     .

Fakte, la geodezia ekvacio ne dependas de la plivastigo   de  ; eksplicite, per lokaj koordinatoj  , la geodezia ekvacio aspektas jene:

 .

En tiu,   estas la komponantoj de la afina konekto   (la simboloj de Christoffel, se la konekton difinas rimana metriko).

PropraĵojRedakti

La geodezia ekvacio estas duaorda ordinara diferenciala ekvacio. Tial, geodezia kurbo ĉiam ekzistas loke en ajna direkto. Eksplicite, sur glata sternaĵo  , ĉe ajna punkto   kaj ajna tanĝa vektoro  , ekzistas pozitiva reelo   kaj geodezia kurbo

 

tiaj ke

 
 .

Krome, la ĉi-supra geodezia kurbo estas loke unika.

Tamen, ne estas ĉiam vera, ke la geodezia kurbo povas ekzisti senfindaŭre, t.e. difinite sur la argumentaro  .

EkzemplojRedakti

Sur eŭklida spaco, la geodeziaj kurboj estas rektoj. Sur sfero, la geodeziaj kurboj estas la ĉefcirkloj.

Eksteraj ligilojRedakti