Glata sternaĵo

En diferenciala geometrio, glata sternaĵo estas sternaĵo, ekipita per elekto de preferataj bildigoj al samdimensia Eŭklida spaco (la glataj bildigoj).

Difino

Se $M$ estas $n$-dimensia sternaĵo (Hausdorff-a parakompakta spaco loke homeomorfa al $n$-dimensia Eŭklida spaco), do atlaso sur $M$ estas la kolekto de paroj $(U_{i},\phi _{i})_{i\in I}$ tiaj ke:

• $(U_{i})_{i\in I}$ estas malfermita kovrilo de $M$.
• $\phi _{i}\colon U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}$ estas kontinua bildigo kaj bijekcio kun kontinua inverso (t.e. homeomorfio al ĝia bildo).
• Pri ĉiu paro $i,j\in I$, la kompono $\phi _{j}\circ \phi _{i}^{-1}\colon \phi _{i}(U_{i}\cap U_{j})\to \phi _{j}(U_{i}\cap U_{j})$ estas glata funkcio (inter Eŭklidaj spacoj).

Atlasoj sur $M$ havas naturan partordon laŭ inkluzivo kiel subaroj, t.e. $\{(U_{i},\phi _{i})\colon i\in I\}\subseteq \{(U_{j},\phi _{j})\colon j\in J\}$. Maksimuma atlaso aŭ glata strukturo sur $M$ estas atlaso, kiu estas maksimuma laŭ tiu partordo.

Glata sternaĵo estas paro de sternaĵo kaj glata strukturo sur ĝi.

Propraĵoj

Ĉiu sternaĵo de dimensio ne pli ol 3 havas unikan glatan strukturon.

Pri dimensioj pli ol 3:

• Pluraj malsamaj glataj strukturoj povas ekzisti sur la sama sternaĵo.
• Eblas, ke neniu glata strukturo ekzistas sur iu sternaĵo.

Ekzemploj

Eŭklida spaco estas nature glata sternaĵo; simile, sfero de ajna dimensio estas nature glata sternaĵo.

Referencoj

• Eric W. Weisstein, Smooth manifold en MathWorld.