Malfermi la ĉefan menuon

Harmona serio – nombra serio kiu havas aspekton:

Nomo devenas de sekvaj duontonoj de oscilanta kordo, kiuj estas proporcia al 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... . Ĉiuj elemento de serio estas harmona meznombro de du antaŭaj nombroj.

Malkonverĝo de harmona serioRedakti

Harmona serio estas malkonverĝa - suba pruvo de tiu fakto devenas de Nikolao de Oresme kaj estas unu el gravaj sukcesoj de mezepoka matematiko.

 
 

Ĉar sumo de nombroj en ĉiu krampo estas 1/2, vico de partaj sumoj de serio ne havas limeson.

ĜeneralojRedakti

Tiel nomata ĝenerala harmona serio

 

estas malkonverĝa kiam  

Oni povas pruvi[noto 1], ke makkonverĝa estas ankaŭ serio de inversoj de primoj.

Harmonaj nombrojRedakti

Sekvaj partaj sumoj de harmona serio

 

tiel nomataj harmonaj nombroj, kreskas malrapide, ĉar ekzistas ekvacio:

 

kaj γ estas tiel nomata konstanto de Euler. Tio signifas, ke harmona serio kreskas same rapide kiel natura logaritmo.

Harmona serio kun pli altaj gradojRedakti

Harmona serio kun grado α havas aspekton:

 

La serio estas konverĝa por α>1 kaj malkorverĝa alikaze. Se α povus esti kompleksa nombro kaj por ĉiu α kiam serio estas korverĝa kunigos ĝia sumo, tiel verkata funkcio estas funkcio ς de Riemann:

 

Tiu funkcio estas grava en teorio de nombroj. Kaj kunigas kun ĝi fama hipotezo de Riemann.

Ankaŭ Alterna harmona serio estas ankaŭ konverĝa, sed nur kondiĉe

 

Tiu rezultas ekzemple el disvolvo de funkcio natura logaritmo en serio de Taylor.

NotojRedakti

  1. pruvis Euler