Harmona serio – nombra serio kiu havas aspekton:
∑
n
=
1
∞
1
n
=
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
…
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\dots }
Nomo devenas de sekvaj duontonoj de oscilanta kordo, kiuj estas proporcia al 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... . Ĉiuj elemento de serio estas harmona meznombro de du antaŭaj nombroj.
Malkonverĝo de harmona serio
redakti
Harmona serio estas malkonverĝa - suba pruvo de tiu fakto devenas de Nikolao de Oresme kaj estas unu el gravaj sukcesoj de mezepoka matematiko.
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
+
⋯
=
1
+
1
2
+
(
1
3
+
1
4
)
+
(
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
)
+
⋯
>
{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+\dots =1+{\frac {1}{2}}+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right)+\dots >}
>
1
+
1
2
+
(
1
4
+
1
4
)
+
(
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
)
+
⋯
=
1
+
1
2
+
(
1
2
)
+
(
1
2
)
+
…
{\displaystyle >1+{\frac {1}{2}}+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+\dots =1+{\frac {1}{2}}+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}\right)+\dots }
Ĉar sumo de nombroj en ĉiu krampo de la lasta formulado estas = 1/2, vico de partaj sumoj de la serio ne havas limeson.
Tiel nomata ĝenerala harmona serio
∑
n
=
1
∞
1
a
n
+
b
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{an+b}}}
estas malkonverĝa kiam
a
≠
0
,
b
∈
R
{\displaystyle a\neq 0,b\in \mathbb {R} }
Oni povas pruvi[noto 1] primoj .
Harmonaj nombroj
redakti
Sekvaj partaj sumoj de harmona serio
H
n
=
∑
k
=
1
n
1
k
,
{\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}
tiel nomataj harmonaj nombroj , kreskas malrapide, ĉar ekzistas ekvacio:
lim
n
→
∞
H
n
−
ln
(
n
)
=
γ
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{n}-\ln(n)=\gamma }
kaj γ estas tiel nomata konstanto de Euler . Tio signifas, ke harmona serio kreskas same rapide kiel natura logaritmo .
Harmona serio kun pli altaj gradoj
redakti
Harmona serio kun grado α havas aspekton:
∑
n
=
1
∞
1
n
α
=
1
+
1
2
α
+
1
3
α
+
1
4
α
+
…
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}=1+{\frac {1}{2^{\alpha }}}+{\frac {1}{3^{\alpha }}}+{\frac {1}{4^{\alpha }}}+\dots }
La serio estas konverĝa por α>1 kaj malkonverĝa alikaze. Se α povus esti kompleksa nombro kaj por ĉiu α kiam serio estas korverĝa kunigos ĝia sumo, tiel verkata funkcio estas funkcio ς de Riemann :
ζ
(
α
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
α
{\displaystyle \zeta (\alpha )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}}
Tiu funkcio estas grava en teorio de nombroj . Kaj kunigas kun ĝi fama hipotezo de Riemann .
Ankaŭ Alterna harmona serio estas ankaŭ konverĝa, sed nur kondiĉe
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
=
ln
2.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2.}
Tiu rezultas ekzemple el disvolvo de funkcio natura logaritmo en serio de Taylor .
