Matrico de Hilbert

En lineara algebro, hilberta matrico estas matrico kun la onaj eroj

$H_{ij}={\frac {1}{i+j-1}}$

Ekzemple, ĉi tiu estas la 5 × 5 hilberta matrico:

$H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\[4pt]{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}$

La hilberta matrico povas esti estimita kiel derivita de la integralo

$H_{ij}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}dx$

kio estas, kiel matrico de Gramian por potencoj de x. Ĝi estas matrico de Hankel.

La hilbertaj matricoj estas kanonaj ekzemploj de miskondiĉaj matricoj, farante ilin konate malfacila al uzi en cifereca kalkulado. Ekzemple, la 2-norma kondiĉnombro de la matrico pli supre estas proksimume 4,8·10⁵.

Propraĵoj

La hilberta matrico estas simetria kaj pozitive difinita.

La determinanto povas esti esprimita en fermita formo, kiel speciala okazo de la koŝia determinanto. La hilberta matrico estas ankaŭ tutece pozitiva (signumo de determinanto de ĉiu submatrico estas pozitiva). La inverso povas ankaŭ esti esprimita en fermita formo, ĝiaj elementoj estas

$(H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){n+i-1 \choose n-j}{n+j-1 \choose n-i}{i+j-2 \choose i-1}^{2}$

kie n estas la ordo de la matrico. Ĉiuj elementoj de la inversa matrico estas entjeroj.

La kondiĉnombro kreskas kiel:

O((1+√2)⁴ⁿ/√n) ≈ O(e^3,5255n/√n)

Historio

La matrico aperas en artikolo de David Hilbert Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms, publikigita en la ĵurnalo Acta Mathematica, volumo 18, 155-159, 1894). Li derivas la akuratan formulon

$\det(H)={{c_{n}^{\;4}} \over {c_{2n}}}$

por determinanto de la n×n hilberta matrico. Ĉi tie c_n estas

$\prod _{i=1}^{n-1}i^{n-i}=\prod _{i=1}^{n-1}i!$

Hilberto ankaŭ mencias la kuriozan fakton ke la determinanto de la hilberta matrico estas la inverso de entjeroj kiujn li ekspresas kiel la diskriminanto de certa supergeometria polinomo rilatanta al la polinomo de Legendre. Ĉi tiu fakto ankaŭ sekvas de idento

${1 \over \det(H)}={{c_{2n}} \over {c_{n}^{\;4}}}=n!\cdot \prod _{i=1}^{2n-1}{i \choose [i/2]}$

Per sumado de Eŭlero-MacLaurin de logaritmoj de c_n li ricevas la krudan asimptotan rezulton

$\det(H)=4^{-n^{2}+r_{n}}$

kie la erara termo r_n = o(n²). Pli preciza asimptota rezulto (kiu povas esti trovita per proksimuma kalkulado de Stirling de la faktorialo) estas

$\det(H)=a_{n}\,n^{-1/4}(2\pi )^{n}\,4^{-n^{2}}$

kie a_n konverĝas al iu konstanto $a_{\infty }=0.6450...$ kiam $n\rightarrow \infty$.