Hiperoperatoro

En matematiko, hiperoperatoro estas funkcio de tri argumentoj, aŭ familio de la hiper-n funkcioj de du argumentoj:

${\textrm {hyper}}(a,n,b)={\textrm {hyper}}n(a,b)=a^{(n)}b=a\uparrow ^{n-2}b=a\to b\to (n-2)$

(Vidu supren-sagan notacion de Knuth kaj sagoĉenan notacion de Conway.)

Disvolvo de la notacio

La notacio povas vidiĝi kiel konforma al la demando "kio estas venonta en ĉi tiu vico?":

• adicio (+)
• multipliko (×)
• potencigo (^)

Notu, ke ekzistas la rikuraj rilatoj:

• $a+b=1+(a+(b-1))$
• $a\times b=a+(a\times (b-1))$
• $a^{b}=a\times (a^{(b-1)})$

Okazo de n=0 estas konforma laŭ la postanta funkcio (adicio de 1).

La rikura difino de la hiperoperatoro estas:

${\textrm {hyper}}(a,n,b)=\left\{{\begin{matrix}b+1,&{\mbox{se }}n=0\\a,&{\mbox{se }}n=1,b=0\\0,&{\mbox{se }}n=2,b=0\\1,&{\mbox{se }}n\geq 3,b=0\\a^{(n-1)}(a^{(n)}(b-1))&{\mbox{se }}n\geq 1,b\geq 1,a\geq 0\end{matrix}}\right.$

Ĉi tio donas jenon:

$\operatorname {hyper1} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,1,b)=a^{(1)}b=a+b$

$\operatorname {hyper2} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,2,b)=a^{(2)}b=ab$

$\operatorname {hyper3} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,3,b)=a^{(3)}b=a^{b}$

Por n=4 estas hyper4 aŭ supereksponento, superpotencigo aŭ potenca turo:

${\operatorname {hyper4} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,4,b)=a^{(4)}b=a\uparrow \uparrow b=a\to b\to 2= \atop {\ }}\!\!\!\!\!\!\!{{\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} } \atop {b{\mbox{ kopioj de }}a}}$

La alia notacio por supereksponento estas

$\operatorname {hyper4} (a,b)={}^{b}a$

Ekzemplo de uzo de la rikura difino:

$3^{(4)}3=3^{(3)}(3^{(4)}2)=3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}1))=3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}0))=3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(3)}1))=3^{3^{3^{1}}}=3^{27}=7625597484987$

La familio ne estas etendita de naturaj nombroj al reelaj nombroj ĝenerale por n>3, pro neasocieco en la "evidentaj" vojoj por fari ĝin.

Pritakso de maldekstro dekstren

Alternativo por ĉi tiuj operatoroj estas ricevita per pritakso de maldekstro dekstren. Estu (kun subaj indicoj anstataŭ supraj indicoj)

$a_{(n+1)}b=(a_{(n+1)}(b-1))_{(n)}a$

kun

$a_{(1)}b=a+b$

$a_{(2)}0=0$

$a_{(n)}0=1$ por n>2

Pro tio ke

$a+b=(a+(b-1))+1$

$a\times b=(a\times (b-1))+a$

$a^{b}=(a^{(b-1)})\times a$

rezultiĝas ke $a^{(n)}b=a_{(n)}b$ por n≤3.

Sed ĉi tiu formo ne donas la potencan turon tradicie atendatan de hyper4:

$a_{(4)}b=a^{(a^{(b-1)})}$

Kial povas $a^{(n)}b$ esti la sama kiel $a_{(n)}b$ por n≤3, sed malsama por n>3? Ĉi tio estas pro simetrio (asocieco) de adicio kaj multipliko, sed kiu potencigo ne estas simetria.

Vidu ankaŭ

• Akermana funkcio
• Supereksponento
• Supren-saga notacio de Knuth
• Sagoĉena notacio de Conway
• Notacio de Steinhaus-Moser

Eksteraj ligiloj

• Robert Munafo, La Vortaro de Grandaj Nombroj
• Studo de Lynz kaj Clarkkkkson (tre granda nombro) Arkivigite je 2008-09-08 per la retarkivo Wayback Machine