Holomorfa funkcio

ĉie komplekse derivebla funkcio

En kompleksa analitiko, holomorfa funkcioholomorfio estas kompleksvalora funkcio sur subaro de kompleksa ebeno (aŭ pli ĝenerale kompleksa sternaĵo), kiu estas derivebla kaj analitika en la kompleksa senco. Pri reelaj funkcioj, la koncepto de deriveblo kaj analitikeco estas tre malsamaj; tamen, Pri kompleksaj funkcioj, la du konceptoj estas samaj.

DifinoRedakti

Pri kontinua funkcio

 

sur malfermita subaro   de la kompleksa ebeno  , la jenaj aksiomoj estas ekvivalentaj, kaj funkcio plenumanta ilin nomiĝas holomorfa:

  • (Ĉiea kompleksa deriveblo) Ĉe ĉiu punkto  , la ĉi-suba kompleksa derivo ekzistas:
     .
  • (Reeldiferenciala kriterio) La reela kaj imaginara partoj   estas kontinue deriveblaj (t.e.  ), kaj plenumas la ekvaciojn de Cauchy-Riemann:
     
     .
  • (Kompleksa analitikeco) Ĉe ĉiu punkto  , ekzistas ĉirkaŭaĵo   de   kaj vico de kompleksaj nombroj  , tia ke la jena serio konverĝas al   ĉie en  :
     .

Pli ĝenerale, oni povas difini holomorfajn funkciojn sur kompleksa sternaĵo. Holomorfa funkcio sur kompleksa sternaĵo estas funkcio, kiu estas ĉie loke holomorfa (en la senco pri subaroj de kompleksa ebeno) laŭ kompleksa atlaso.

EkzemplojRedakti

Ĉiu polinomo estas holomorfa funkcio sur  .

La eksponenta funkcio  , kaj ĝiaj reela kaj imaginara partoj sinuso kaj kosinuso, estas holomorfaj sur  .

Eksteraj ligilojRedakti