Transformo de Mellin

Transformo de Mellin, aŭ Mellin-a transformo, estas integrala transformo, bindata kun serio de Dirichlet (ruse: Ряд Дирихле), kun nombroteorio, kun Γ-funkcio, kun speciala funkcio kaj kun asimptota elvolvaĵo (ruse: Асимптотическое разложение), ankaŭ bindata kun laplaca transformo kaj furiera transformo.

Integro

La rekta transformo donas la formulon:

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)dx\,,$

kaj la inversa transformo formuliĝas:

$\left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds\,.$

Ni konjektas, ke la integralo integras en kompleksan ebenon.

Rilato kun ceteraj transformoj

• La transformo de Fourier esprimiĝas tiel:

$\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(-is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)\,.$

kaj reen:

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(is)\,.$

Ekzemplo

Integralo de Cahen-Mellin

Se

• $c>0,$
• $\Re (y)>0,$
• $y^{-s}$ на ĉefe branĉo (angle: Principal branch),

do

$e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)y^{-s}\;ds$,

kie

$\Gamma (s)$ — Γ-funkcio.

Transformo de Mellin en spaco de Lebesgue

Por $L^{2}(0,\infty )$ ajna fundamenta branĉo inkluzivas ${\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R} .$

Donas lineara bildigo ${\tilde {\mathcal {M}}}$ :

${\tilde {\mathcal {M}}}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+is}f(x)\,dx.$

Tio estas

$\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f\}({\tfrac {1}{2}}-is).$

Inversa teoremo de Mellin (angle: Mellin inversion theorem) demonstras, ke

${\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds.$

Krome, tiu bildigo estas izometria, tio estas

$\|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|_{L^{2}(0,\infty )}$ kie $\forall f\in L^{2}(0,\infty )$.

Por probablokalkulo la transformo de Mellin prezentas gravan ilon.

Se

• $D={s:a\leqslant \Re (s)\leqslant b},$
• $a\leqslant 0\leqslant b,$
• $X$ — hazarda variablo,
• $X^{+}=max{X,0},$
• $X^{-}=max{-X,0},$,

do transformo de Mellin stimas kiel

${\mathcal {M}}_{X}(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{+}}(x)+i\int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{-}}(x)\,,$

kie

$i$ — imaginara unuo.

Literaturo

• Galambos, Janos. (2004) Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions. Marcel Dekker, Inc.. ISBN 0-8247-5402-6.

• Paris, R. B.. (2001) 'Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals "(Asimptotaj funkcioj kaj integraloj de Mellin-Barnes)". Cambridge University Press.

• Polyanin, A. D.. (1998) 'Handbook of Integral Equations "(Manlibro pri integralaj ekvacioj)". Boca Raton: CRC Press. ISBN 0-8493-2876-4.

(angle)

• Flajolet, P.. (1995) Mellin transforms and asymptotics, Harmonic sums 144, p. 3–58.

(angle)

• Tables of Integral Transforms "(Tabeloj pri integralaj transformoj)" al EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Transformo de Mellin en Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, red. Michiel Hazewinkel, ISBN 978-1556080104.
• Eric W. Weisstein, Mellin-transformo en MathWorld.

Eksteraj ligiloj

• Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums.
• Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico, newsgroup es.ciencia.matematicas (hispane)
• Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas Arkivigite je 2007-01-29 per la retarkivo Wayback Machine (hispane).
• Mellin Transform Methods, Digital Library of Mathematical Functions, 2011-08-29, National Institute of Standards and Technology angle
• Antonio De Sena and Davide Rocchesso, Rapida Mellin-a transformo kun aplikoj en DAFX (itale)