Kvadrato-libera entjero

En matematiko, kvadrato-libera entjero estas entjero, kiu ne estas dividebla per kvadrato de primo. Ekzemple, 10 estas kvadrato-libera sed 18 ne estas, ĉar ĝi estas dividebla per 9 = 3². La plej malgrandaj kvadrato-liberaj nombroj estas

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ...

Ekvivalentaj karakterizadoj de kvadrato-liberaj nombroj

La pozitiva entjero n estas kvadrato-libera se kaj nur se en la faktorado de n, neniu primo aperas pli ol unu foje. Alivorte por ĉiu primo p kiu dividas na n, p ne dividas na n/p. Ankoraŭ alia formulaĵo: n estas kvadrato-libera se kaj nur se en ĉiu faktorado n=ab, la faktoroj a kaj b estas reciproke primaj.

La pozitiva entjero n estas kvadrato-libera se kaj nur se μ(n) ≠ 0, kie μ estas la funkcio de Möbius.

La pozitiva entjero n estas kvadrato-libera se kaj nur se ĉiuj komutaj grupoj de ordo n estas izomorfaj, kio validas, se kaj nur se ĉiuj el ili estas ciklaj grupoj. Ĉi tio sekvas el la klasifiko de finie generitaj komutaj grupoj.

La entjero n estas kvadrato-libera se kaj nur se la faktora ringo Z / nZ (vidu en modula aritmetiko) estas produto de ringoj de korpoj. Ĉi tio sekvas de la ĉinia resta teoremo kaj la fakto ke ringo de formo Z / kZ estas kampo se kaj nur se k estas primo.

Por ĉiu pozitiva entjero n, la aro de ĉiuj pozitivaj divizoroj de n iĝas parta ordo se oni uzas divideblecon kiel la ordo-rilato. Ĉi tiu parta ordo estas ĉiam distribueca krado. Ĝi estas bulea algebro se kaj nur se n estas kvadrato-libera.

La radikalo de entjero estas ĉiam kvadrato-libera.

Distribuo de kvadrato-liberaj nombroj

Se Q(x) estas la kvanto de kvadrato-libera entjeroj inter 1 kaj x, tiam

Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O({\sqrt {x}})

(vidu en pi kaj granda O skribmaniero). La asimptota aŭ natura denseco de kvadrato-liberaj nombroj estas pro tio

\lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}

kie ζ estas la rimana ζ funkcio.

Ankaŭ, se Q(x,n) estas la kvanto de n-povo-liberaj entjeroj inter 1 kaj x, do

\lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x,n)}{x}}={\frac {1}{\zeta (n)}}.

Kodigo kiel duumaj nombroj

Se oni prezentas kvadrato-liberan nombron kiel la malfinia produto:

\prod _{n=0}^{\infty }{p_{n+1}}^{a_{n}},a_{n}\in \lbrace 0,1\rbrace

, kaj

p_{n}

estas la n(th, -a) primo.

tiam oni povas preni tiuj a_n kaj uzi ilin kiel bitoj en duuma nombro, kio estas la kodigo:

\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}\cdot 2^{n}

Ekzemple, la kvadrato-libera nombro 42 havas faktoradon 2 × 3 × 7, aŭ kiel malfinia produto: 2¹ · 3¹ · 5⁰ · 7¹ · 11⁰ · 13⁰ ·...;

Tial ekzemple nombro 42 povas esti kodita kiel la duuma vico ...001011 aŭ 11 dekuma. Notu, ke la duumaj ciferoj estas ordigitaj en la mala direkto ol en la malfinia produto.

Pro tio ke la prima faktorado de ĉiu nombro estas unika, la duuma kodanta estas unika. Kaj male? pro tio ke ĉiu pozitiva entjero havas unikan duuman prezenton ĝi povas esti ree kodigita al unika kvadrato-libera entjero.

Kvadrato-libera konjekto de Erdős

La centra simbolo de Newton

${2n \choose n}$

estas neniam kvadratolibera por n > 4. Ĉi tio estis pruvita en 1996 de Olivier Ramaré kaj Andrew Granville.

Eksteraj ligiloj

A005117 en OEIS - vico de kvadrato-liberaj entjeroj