Listo de regulaj hiperpluredroj
Ĉi tio estas listo de la regulaj hiperpluredroj en eŭklida, sfera kaj hiperbola spacoj.
La simbolo de Schläfli priskribas ĉiun regulan hiperpluredron kaj estas uzata kiel referenca nomo por ĉiu hiperpluredro.
La regulaj hiperpluredroj estas grupitaj laŭ dimensio kaj subgrupitaj je konveksaj, nekonveksaj kaj malfiniaj formoj. La nekonveksaj formoj uzas la samajn verticojn kiel la konveksaj formoj, sed havas sekcantajn facetojn. Malfiniaj formoj kahelas spacon de dimensio je 1 pli malgranda.
Malfiniaj formoj povas kaheli eŭklidan aŭ hiperbolan spacon. Hiperbola spaco similas al normala spaco je malgranda skalo, sed paraleloj diverĝas je grandaj distancoj. Ĉi tio permesas al verticaj figuroj havi negativan angulan difekton.
Ekzemple povas esti vertico kun 7 egallateraj trianguloj kiuj kuŝas en la hiperbola ebeno. Ĉi tio ne povas esti farita en regula ebeno.
Kvantoj de regulaj hiperpluredroj en diversaj dimensioj redakti
| Dimensio | Konveksaj hiperpluredroj | Nekonveksaj hiperpluredroj | Konveksaj eŭklidaj kahelaroj | Konveksaj hiperbolaj kahelaroj | Nekonveksaj hiperbolaj kahelaroj |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | ∞ konveksaj regulaj plurlateroj | ∞ regulaj stelaj plurlateroj | 1 | 1 | |
| 3 | 5 platonaj solidoj | 4 solidoj de Keplero-Poinsot | 3 kahelaroj | ∞ | ∞ |
| 4 | 6 konveksaj regulaj plurĉeloj | 10 plurĉeloj de Schläfli-Hess | 1 kahelaro | 4 | 0 |
| 5 | 3 konveksaj regulaj 5-hiperpluredroj | 0 nekonveksaj regulaj 5-hiperpluredroj | 3 kahelaroj | 5 | 4 |
| 6+ | 3 | 0 | 1 | 0 | 0 |
2-dimensiaj regulaj hiperpluredroj redakti
La du dimensiaj hiperpluredroj estas nomataj kiel plurlateroj. Regulaj plurlateroj estas egallateraj kaj ciklaj.
Estadas regulaj konveksaj plurlateroj kaj nekonveksaj stelaj plurlateroj. Stelaj plurlateroj uzas la samajn verticojn kiel la konveksaj formoj, sed trakonektas ilin en alternaj ordoj kun kelkaj pasoj ĉirkaŭ la cirklo.
3-dimensiaj regulaj hiperpluredroj redakti
En 3 dimensioj, la hiperpluredroj estas nomataj kiel pluredroj:
Regula pluredro kun simbolo de Schläfli {p,q} havas regulan edron de speco {p} kaj regulan vertican figuron {q}.
Vertica figuro de pluredro estas plurlatero, farita de verticoj konektantaj al iu donita vertico. Por regulaj pluredroj ĉi tiu vertica figuro estas ĉiam regula ebena plurlatero.
Ekzisto de regula pluredro {p,q} estas limigita de neegalaĵo, rilatanta al angula difekto de ;a vertica figuro:
- 1/p + 1/q > 1/2 : kahelaro de 2-sfero aŭ respektiva pluredro (ekzistanta en eŭklida 3-spaco)
- 1/p + 1/q = 1/2 : eŭklida ebena kahelaro
- 1/p + 1/q < 1/2 : hiperbola ebena kahelaro
Per listigo de la permutoj, oni trovas 5 konveksajn formojn, 4 nekonveksajn formojn kaj 3 ebenajn kaheladojn. La valoroj p kaj q estas limigitaj al tiuj de opo 3, 4, 5, 5/2, 6.
Ekzistas malfinia aro de regulaj hiperbolaj kahelaroj por pli grandaj p kaj q.
4-dimensiaj regulaj hiperpluredroj redakti
En 4 dimensioj, la hiperpluredroj estas nomataj kiel plurĉeloj:
Regulaj plurĉeloj kun simbolo de Schläfli simbolo {p,q,r} havas ĉelojn de speco {p,q}, edrojn de speco {p}, laterajn figurojn {r} kaj verticajn figurojn {q,r}.
- Vertica figuro de plurĉelo estas pluredro, farita de verticoj konektantaj al iu donita vertico. Por regulaj plurĉeloj, ĉi tiu vertica figuro estas regula pluredro.
- Latera figuro de plurĉelo estas plurlatero, donanta la ordigon de edroj ĉirkaŭ latero. Por regulaj plurĉeloj, ĉi tiu latera figuro estas regula plurlatero.
Ekzisto de regula plurĉelo {p,q,r} estas limigita per ekzisto de regulaj pluredroj {p,q} kaj {q,r}.
Speco de plurĉelo dependas de ĉi tiu valoro:
-
- > 0 : kahelaro de 3-sfero aŭ respektiva plurĉelo en 4-spaco
- = 0 : eŭklida 3-spaca kahelaro
- < 0 : hiperbola 3-spaca kahelaro
Ĉi tiuj limigoj donas 21 formojn: 6 estas konveksa, 10 estas nekonveksa, 1 estas eŭklida 3-spaca kahelaro, 4 estas hiperbolaj 3-spacaj kahelaroj.
La eŭlera karakterizo χ por plurĉeloj estas
- χ = V+E-L-C
- kie V estas kvanto de verticoj
- E estas kvanto de edroj
- L estas kvanto de lateroj
- C estas kvanto de ĉeloj
kaj estas nulo por ĉiuj formoj
5-dimensiaj regulaj hiperpluredroj redakti
En 5 dimensioj, regula hiperpluredro povas esti priskribata kiel {p,q,r,s} kie {p,q,r} estas speco de la hiperĉeloj, {p,q} estas speco de la ĉeloj, {p} estas speco de la edroj, {s} estas la edra figuro, {r,s} estas la randa figuro, {q,r,s} estas la vertica figuro.
- Vertica figuro de 5-hiperpluredro estas plurĉelo, farita de verticoj konektantaj al iu donita vertico.
- Latera figuro de 5-hiperpluredro estas pluredro, donanta la ordigon de edroj ĉirkaŭ latero.
- Edra figuro de 5-hiperpluredro estas plurlatero, donanta la ordigon de ĉeloj ĉirkaŭ edro.
Regula hiperpluredro {p,q,r,s} ekzistas nur se {p,q,r} kaj {q,r,s} estas regulaj plurĉeloj.
Speco de 5-hiperpluredro dependas de ĉi tiu valoro:
-
- < 1 : kahelaro de 4-sfero aŭ respektiva 5-hiperpluredro
- = 1 : eŭklida 4-spaca kahelaro
- > 1 : hiperbola 4-spaca kahelaro
Do ekzistas 3 konveksaj 5-hiperpluredroj, 0 nekonveksaj hiperpluredroj, 3 eŭklidaj 4-spacaj kahelaroj, 5 hiperbolaj 4-spacaj kahelaroj.
Konveksaj regulaj hiperpluredroj redakti
2 dimensioj redakti
Ekzistas malfinia aro de konveksaj regulaj plurlateroj estas. Simbolo de Schläfli {p} prezentas regulan p-plurlateron.
| Nomo | Simbolo de Schläfli {p} |
|---|---|
| Dulatero | {2} |
| Egallatera triangulo | {3} |
| Kvadrato | {4} |
| Kvinlatero | {5} |
| Seslatero | {6} |
| Seplatero | {7} |
| Oklatero | {8} |
| Naŭlatero | {9} |
| Deklatero | {10} |
| Dekunulatero | {11} |
| Dekdulatero | {12} |
| ...n-plurlatero | {n} |
| Malfiniolatero | {∞} |
 {2}
|
 {3}
|
 {4}
|
 {5}
|
 {6}
|
 {7}
|
 {8}
|
 {9}
|
 {10}
|
 {11}
|
 {12}
|
Dulatero {2} povas esti konsiderata kiel degenera regula plurlatero.
3 dimensioj redakti
La konveksaj regulaj pluredroj estas nomataj kiel platonaj solidoj, ili estas 5.
| Nomo | Simbolo de Schläfli {p,q} | Edroj {p} | Lateroj | Verticoj {q} | χ | Simetrio | Duala pluredro |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Kvaredro | {3,3} | 4 {3} | 6 | 4 {3} | 2 | Td | Mem-duala |
| Kubo (sesedro) | {4,3} | 6 {4} | 12 | 8 {3} | 2 | Oh | Okedro |
| Okedro | {3,4} | 8 {3} | 12 | 6 {4} | 2 | Oh | Kubo |
| Dekduedro | {5,3} | 12 {5} | 30 | 20 {3} | 2 | Ih | Dudekedro |
| Dudekedro | {3,5} | 20 {3} | 30 | 12 {5} | 2 | Ih | Dekduedro |
| {3,3} | {4,3} | {3,4} | {5,3} | {3,5} |
|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
En sfera geometrio, duvertica pluredro {2,n} kaj duedro {n,2} estas kahelaroj de la 2-sfero kaj povas esti konsiderataj kiel degeneraj regulaj pluredroj .
4 dimensioj redakti
Ekzistas 6 konveksaj regulaj plurĉeloj.
| Nomo | Simbolo de Schläfli {p,q,r} | Ĉeloj {p,q} | Edroj {p} | Latera figuro {r} | Vertica figuro {q,r} | χ | Duala {r,q,p} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5-ĉelo | {3,3,3} | 5 {3,3} | 10 {3} | 10 {3} | 5 {3,3} | 0 | Mem-duala |
| 8-ĉelo (4-hiperkubo) | {4,3,3} | 8 {4,3} | 24 {4} | 32 {3} | 16 {3,3} | 0 | 16-ĉelo |
| 16-ĉelo | {3,3,4} | 16 {3,3} | 32 {3} | 24 {4} | 8 {3,4} | 0 | 8-ĉelo |
| 24-ĉelo | {3,4,3} | 24 {3,4} | 96 {3} | 96 {3} | 24 {4,3} | 0 | Mem-duala |
| 120-ĉelo | {5,3,3} | 120 {5,3} | 720 {5} | 1200 {3} | 600 {3,3} | 0 | 600-ĉelo |
| 600-ĉelo | {3,3,5} | 600 {3,3} | 1200 {3} | 720 {5} | 120 {3,5} | 0 | 120-ĉelo |
| 5-ĉelo | 8-ĉelo | 16-ĉelo | 24-ĉelo | 120-ĉelo | 600-ĉelo |
|---|---|---|---|---|---|
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
| Latera framo en orta projekcio | |||||
|
|
|
|
Dosiero:Cell120-4dpolytope.gif | 
|
| Solido en orta projekcio (ĉelo-centrita) | |||||
| kvaredra koverto |
kuba koverto |
okedra koverto |
 kubokedra koverto |
 senpintigita romba tridekedra koverto |
 kvinpiramidigita dekduedra koverto |
| Latera framo de figuro de Schlegel (perspektiva projekcio) | |||||
 (Ĉelo-centrita) |
 (Ĉelo-centrita) |
 (Ĉelo-centrita) |
 (Ĉelo-centrita) |
 (Ĉelo-centrita) |
 (Vertico-centrita) |
| Latera framo (hipersfera) | |||||
|
|
|
|
|
|
5 dimensioj redakti
Estas nur tri specoj de konveksaj regulaj hiperpluredroj en 5 aŭ pli multaj dimensioj.
| Nomo | Grafeo]] | Simbolo de Schläfli {p,q,r,s} | Facetoj {p,q,r} | Ĉeloj {p,q} | Edroj {p} | Lateroj | Verticoj | Edra figuro {s} | Latera figuro {r,s} | Vertica figuro {q,r,s} | Duala hiperpluredro |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5-simplaĵo | 
|
{3,3,3,3} | 6{3,3,3} | 15{3,3} | 20{3} | 15 | 6 | {3} | {3,3} | {3,3,3} | Mem-duala |
| 5-hiperkubo | 
|
{4,3,3,3} | 10 {4,3,3} | 40 {4,3} | 80 {4} | 80 | 32 | {3} | {3,3} | {3,3,3} | 5-kruco-hiperpluredro |
| 5-kruco-hiperpluredro | 
|
{3,3,3,4} | 32 {3,3,3} | 80 {3,3} | 80 {3} | 40 | 10 | {4} | {3,4} | {3,3,4} | 5-hiperkubo |
Pli multaj dimensioj redakti
Estas nur tri specoj de konveksaj regulaj hiperpluredroj en 5 aŭ pli multaj dimensioj.
| Nomo | Simbolo de Schläfli {p1,p2,...,pn-1} | Faceta speco | Vertica figuro | Duala hiperpluredro |
|---|---|---|---|---|
| n-simplaĵo | {3,3,3,...,3} | {3,3,...,3} | {3,3,...,3} | Mem-duala |
| n-hiperkubo | {4,3,3,...,3} | {4,3,...,3} | {3,3,...,3} | n-kruco-hiperpluredro |
| n-kruco-hiperpluredro | {3,...,3,3,4} | {3,...,3,3} | {3,...,3,4} | n-hiperkubo |
Finiaj ne konveksaj hiperpluredroj - stelaj hiperpluredroj redakti
2 dimensioj redakti
Ekzistas malfinie multaj ne-konveksaj regulaj hiperpluredroj en du dimensioj, kies simboloj de Schläfli estas racionalaj nombroj {m/n}. Ili estas nomataj kiel stelaj plurlateroj.
Ĝenerale, por ĉiu natura nombro n, estas n-punktitaj ne-konveksaj regulaj poligonaj steloj kun simboloj de Schläfli {n/m} por ĉiuj m tiaj ke m < n/2 (aŭ pli precize plurlatero {n/m} estas la sama kiel {n/(n-m)} kun verticoj listigitaj en la mala ordo) kaj m kaj n estas reciproke primaj.
| Nomo | Simbolo de Schläfli {n/m} (eblaj variantoj) |
|---|---|
| Stelokvinlatero | {5/2} |
| Steloseplatero | {7/2}, {7/3} |
| Stelooklatero | {8/3} |
| Stelonaŭlatero | {9/2}, {9/4} |
| Stelodeklatero | {10/3} |
| Stelodekunulatero | {11/2} {11/3}, {11/4}, {11/5} |
| Stelodekdulatero | {12/5} |
| Stelo-n-latero | {n/m} |
 {5/2}
|
 {7/2}
|
 {7/3}
|
 {8/3}
|
 {9/2}
|
 {9/4}
|
3 dimensioj redakti
La regulaj stelaj pluredroj estas nomataj kiel solidoj de Keplero-Poinsot kaj ili estas 4, faritaj surbaze de verticoj de la dekduedro {5,3} kaj dudekedro {3,5}.
| Nomo | Simbolo de Schläfli {p,q} | Edroj {p} | Lateroj | Verticoj {q} | χ | Geometria simetria grupo | Duala pluredro |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Malgranda steligita dekduedro | {5/2,5} | 12 {5/2} | 30 | 12 {5} | -6 | Ih | Granda dekduedro |
| Granda dekduedro | {5,5/2} | 12 {5} | 30 | 12 {5/2} | -6 | Ih | Malgranda steligita dekduedro |
| Granda steligita dekduedro | {5/2,3} | 12 {5/2} | 30 | 20 {3} | 2 | Ih | Granda dudekedro |
| Granda dudekedro | {3,5/2} | 20 {3} | 30 | 12 {5/2} | 2 | Ih | Granda steligita dekduedro |
|
|
|
|
| {5/2,5} | {5,5/2} | {5/2,3} | {3,5/2} |
4 dimensioj redakti
Estas dek regulaj stelaj plurĉeloj nomataj kiel plurĉeloj de Schläfli-Hess kaj iliaj verticoj estas bazitaj je konveksaj 120-ĉelo {5,3,3} kaj 600-ĉelo {3,3,5}:
Estas 4 mankitaj potencialaj nekonveksaj regulaj plurĉeloj: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}. Iliaj ĉelaj kaj verticaj figuroj ekzistas, sed ili ne kovras la 3-sferon finian kvanton de ripetadoj.
| Nomo |
Simbolo de Schläfli {p,q,r} | Ĉeloj {p,q} | Edroj {p} | Latera figuro {r} | Vertica figuro {q,r} | χ | Duala {r,q,p} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ebenograndigita spacograndigita steligita 120-ĉelo | {5/2,3,3} | 120 {5/2,3} | 720 {5/2} | 1200 {3} | 600 {3,3} | 0 | Spacograndigita 600-ĉelo |
| Spacograndigita 600-ĉelo | {3,3,5/2} | 600 {3,3} | 1200 {3} | 720 {5/2} | 120 {3,5/2} | 0 | Ebenograndigita spacograndigita steligita 120-ĉelo |
| Ebenograndigita steligita 120-ĉelo | {5/2,3,5} | 120 {5/2,3} | 720 {5/2} | 720 {5} | 120 {3,5} | 0 | Spacograndigita 120-ĉelo |
| Spacograndigita 120-ĉelo | {5,3,5/2} | 120 {5,3} | 720 {5} | 720 {5/2} | 120 {3,5/2} | 0 | Ebenograndigita steligita 120-ĉelo |
| Spacograndigita steligita 120-ĉelo | {5/2,5,5/2} | 120 {5/2,5} | 720 {5/2} | 720 {5/2} | 120 {5,5/2} | 0 | Mem-duala |
| Malgranda steligita 120-ĉelo | {5/2,5,3} | 120 {5/2,5} | 720 {5/2} | 1200 {3} | 120 {5,3} | -480 | Dudekedra 120-ĉelo |
| Dudekedra 120-ĉelo | {3,5,5/2} | 120 {3,5} | 1200 {3} | 720 {5/2} | 120 {5,5/2} | 480 | Malgranda steligita 120-ĉelo |
| Ebenograndigita dudekedra 120-ĉelo | {3,5/2,5} | 120 {3,5/2} | 1200 {3} | 720 {5} | 120 {5/2,5} | 480 | Ebenograndigita spacograndigita 120-ĉelo |
| Ebenograndigita spacograndigita 120-ĉelo | {5,5/2,3} | 120 {5,5/2} | 720 {5} | 1200 {3} | 120 {5/2,3} | -480 | Ebenograndigita dudekedra 120-ĉelo |
| Ebenograndigita 120-ĉelo | {5,5/2,5} | 120 {5,5/2} | 720 {5} | 720 {5} | 120 {5/2,5} | 0 | Mem-duala |
Estas 7 unikaj situoj de edroj de ĉi tiuj 10 nekonveksaj plurĉeloj, montritaj kiel ortaj projekcioj:
 {3,5,5/2} |
 {5,5/2,5} kaj {5,3,5/2} |
 {5/2,5,3} |
 {5,5/2,3} |
 {5/2,3,5} kaj {5/2,5,5/2} |
 {3,5/2,5} kaj {3,3,5/2} |
 {5/2,3,3} |
Pli multaj dimensioj redakti
Ne ekzistas ne konveksaj regulaj hiperpluredroj en 5 kaj pli multaj dimensioj.
Kahelaroj redakti
La klasikaj konveksaj hiperpluredroj povas esti konsiderataj kiel kahelaroj de hipersferoj. Kahelaroj de eŭklida kaj hiperbola spaco povas ankaŭ esti konsiderataj (malfiniaj) regulaj hiperpluredroj. n-dimensia hiperpluredro kahelas spacon de dimensio n-1. Ekzemple, la tri dimensiaj pluredroj kahelas 2-dimensian surfacon de 2-sfero.
2 dimensioj redakti
Estas unu kahelaro de la linio, donanta unu hiperpluredron, la 2-dimensian malfiniolateron. Ĝi havas malfinie multajn verticojn kaj laterojn. Ĝia simbolo de Schläfli estas {∞}.
3 dimensioj redakti
Eŭklidaj ebenaj kahelaroj redakti
Estas tri regulaj kahelaroj de la ebeno.
| Nomo | Simbolo de Schläfli {p,q} | Edro {p} | Vertica figuro {q} | χ | Simetrio | Duala |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Kvadrata kahelaro | {4,4} | {4} | {4} | 0 | p4m | Mem-duala |
| Triangula kahelaro | {3,6} | {3} | {6} | 0 | p6m | Seslatera kahelaro |
| Seslatera kahelaro | {6,3} | {6} | {3} | 0 | p6m | Triangula kahelaro |
 {4,4}
|
 {3,6}
|
 {6,3}
|
Estas unu degenera regula kahelaro {∞,2}, farita de du malfiniolateroj, ĉiu enspacanta duonon la ebeno. Ĉi tiu kahelaro estas rilatanta al 2-edra duedro {p,2} sur 2-sfero.
Eŭklidaj stelo-kahelaroj redakti
Ne ekzistas regulaj ebenaj kahelaroj de stelaj plurlateroj. Estas multaj kombinaĵoj kiuj konformas la kondiĉon (1/p + 1/q = 1/2), ekzemple {8/3,8}, {10/3,5}, {5/2,10}, {12/5,12}, sed neniu el ili povas ripetiĝi periode.
Hiperbolaj kahelaroj redakti
Estas malfinie multaj regulaj kahelaroj de hiperbola 2-spaco H2. Ĉiu pozitiva duo de entjeroj {p,q} tia ke 1/p + 1/q < 1/2 donas hiperbolan kahelaron.
| Nomo | Simbolo de Schläfli {p,q} | Edro {p} | Vertica figuro {q} | χ | Simetrio | Duala |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Ordo-5 kvadrata kahelaro | {4,5} | {4} | {5} | 0 | *542 | {5,4} |
| Ordo-4 kvinlatera kahelaro | {5,4} | {5} | {4} | 0 | *542 | {4,5} |
| Ordo-7 triangula kahelaro | {3,7} | {3} | {7} | 0 | *732 | {7,3} |
| Ordo-3 seplatera kahelaro | {7,3} | {7} | {3} | 0 | *732 | {3,7} |
| Ordo-6 kvadrata kahelaro | {4,6} | {4} | {6} | 0 | *642 | {6,4} |
| Ordo-4 seslatera kahelaro | {6,4} | {6} | {4} | 0 | *642 | {4,6} |
| Ordo-5 kvinlatera kahelaro | {5,5} | {5} | {5} | 0 | *552 | Mem-duala |
| Ordo-8 triangula kahelaro | {3,8} | {3} | {8} | 0 | *832 | {8,3} |
| Ordo-3 oklatera kahelaro | {8,3} | {8} | {3} | 0 | *832 | {3,8} |
| Ordo-7 kvadrata kahelaro | {4,7} | {4} | {7} | 0 | *742 | {7,4} |
| Ordo-4 seplatera kahelaro | {7,4} | {7} | {4} | 0 | *742 | {4,7} |
| Ordo-6 kvinlatera kahelaro | {5,6} | {5} | {6} | 0 | *652 | {6,5} |
| Ordo-5 seslatera kahelaro | {6,5} | {6} | {5} | 0 | *652 | {5,6} |
| Ordo-9 triangula kahelaro | {3,9} | {3} | {9} | 0 | *932 | {9,3} |
| Ordo-3 naŭlatera kahelaro | {9,3} | {9} | {3} | 0 | *932 | {3,9} |
| Ordo-8 kvadrata kahelaro | {4,8} | {4} | {8} | 0 | *842 | {8,4} |
| Ordo-4 oklatera kahelaro | {8,4} | {8} | {4} | 0 | *842 | {4,8} |
| Ordo-7 kvinlatera kahelaro | {5,7} | {5} | {7} | 0 | *752 | {7,5} |
| Ordo-5 seplatera kahelaro | {7,5} | {7} | {5} | 0 | *752 | {5,7} |
| Ordo-6 seslatera kahelaro | {6,6} | {6} | {6} | 0 | *662 | Mem-duala |
Estas 2 malfiniaj formoj de hiperbolaj kahelaroj de stelaj plurlateroj, {m/2, m} kaj ilia dualaj {m,m/2} kun m=7,9,11,...
Devas esti agnoskita ke ĉiuj lateroj kaj anguloj en la bildoj de kahelaroj pli sube estas egalaj kaj nur pro la projekcio ili aspektas diverse.
 {4,5}
|
 {5,4}
|
 {3,7}
|
 {7,3}
|
4 dimensioj redakti
Kahelaroj de eŭklida 3-spaco redakti
Estas nur unu regula kahelaro de eŭklida 3-spaco.
| Nomo | Simbolo de Schläfli {p,q,r} | Ĉeloj {p,q} | Edroj {p} | Latera figuro {r} | Vertica figuro {q,r} | χ | Duala |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Kuba kahelaro | {4,3,4} | {4,3} | {4} | {4} | {3,4} | 0 | Mem-duala |
Kahelaroj de hiperbola 3-spaco redakti
Estas 4 regulaj kahelaroj de hiperbola 3-spaco H3.
| Nomo | Simbolo de Schläfli {p,q,r} | Ĉeloj {p,q} | Edroj {p} | Latera figuro {r} | Vertica figuro {q,r} | χ | Duala |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ordo-3 dudekedra kahelaro | {3,5,3} | {3,5} | {3} | {3} | {5,3} | 0 | Mem-duala |
| Ordo-5 kuba kahelaro | {4,3,5} | {4,3} | {4} | {5} | {3,5} | 0 | {5,3,4} |
| Ordo-4 dekduedra kahelaro | {5,3,4} | {5,3} | {5} | {4} | {3,4} | 0 | {4,3,5} |
| Ordo-5 dekduedra kahelaro | {5,3,5} | {5,3} | {5} | {5} | {3,5} | 0 | Mem-duala |
La unua bildo montras la perspektivon de la centro de la disko en modelo de Beltrami-Klein, kaj la dua kaj tria de ekstere per diska modelo de Poincaré.
 {5,3,4} (8 dekduedroj je vertico) |
 {4,3,5} (20 kuboj je vertico) |
 {3,5,3} (12 dudekedroj je vertico) |
Estas ankaŭ 11 kahelaroj de H3 kiuj havas malfiniajn (eŭklidajn) ĉeloj aŭ verticajn figurojn: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5}, {6,3,6}.
5 dimensioj redakti
Kahelaroj de eŭklida 4-spaco redakti
Estas tri specoj de malfiniaj regulaj kahelaroj de eŭklida 4-spaco.
| Nomo | Simbolo de Schläfli {p,q,r,s} | Facetoj {p,q,r} | Ĉeloj {p,q} | Edroj {p} | Edra figuro {s} | Latera figuro {r,s} | Vertica figuro {q,r,s} | Duala |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Hiperkuba 4-kahelaro | {4,3,3,4} | {4,3,3} | {4,3} | {4} | {4} | {3,4} | {3,3,4} | Mem-duala |
| 16-ĉela 4-kahelaro | {3,3,4,3} | {3,3,4} | {3,3} | {3} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,4,3,3} |
| 24-ĉela 4-kahelaro | {3,4,3,3} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {3} | {3,3} | {4,3,3} | {3,3,4,3} |
 Hiperkuba 4-kahelaro {4,3,3,4} |
 16-ĉela 4-kahelaro {3,3,4,3} |
 24-ĉela 4-kahelaro {3,4,3,3} |
Kahelaroj de hiperbola 4-spaco redakti
Estas 5 konveksaj regulaj kahelaroj kaj 4 stelaj regulaj kahelaroj de hiperbola 4-spaco H4.
| Nomo | Simbolo de Schläfli {p,q,r,s} | Faceto {p,q,r} | Ĉelo {p,q} | Edro {p} | Edra figuro {s} | Latera figuro {r,s} | Vertica figuro {q,r,s} | Duala |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {3,3,3,5} | {3,3,3} | {3,3} | {3} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | {5,3,3,3} | |
| {5,3,3,3} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {3} | {3,3} | {3,3,3} | {3,3,3,5} | |
| {4,3,3,5} | {4,3,3} | {4,3} | {4} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | {5,3,3,4} | |
| {5,3,3,4} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {4} | {3,4} | {3,3,4} | {4,3,3,5} | |
| {5,3,3,5} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | Mem-duala | |
| {5/2,5,3,3} | {5/2,5,3} | {5/2,5} | {5} | {5} | {3,3} | {5,3,3} | {3,3,5,5/2} | |
| {3,3,5,5/2} | {3,3,5} | {3,3} | {3} | {5/2} | {5,5/2} | {3,5,5/2} | {5/2,5,3,3} | |
| {3,5,5/2,5} | {3,5,5/2} | {3,5} | {3} | {5} | {5/2,5} | {5,5/2,5} | {5,5/2,5,3} | |
| {5,5/2,5,3} | {5,5/2,5} | {5,5/2} | {5} | {3} | {5,3} | {5/2,5,3} | {3,5,5/2,5} |
Estas ankaŭ 2 H4 kahelaroj kun malfiniaj (eŭklidaj) facetoj aŭ verticaj figuroj: {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.
Pli altaj dimensioj redakti
Kahelaroj de eŭklida spaco redakti
Hiperkuba kahelaro estas la sola malfinia regula kahelaro kiu povas kaheli eŭklidan spacon de kvin aŭ pli multaj dimensioj, formante hiperkubaj facetoj, kvar ĉirkaŭ ĉiu kresto.
| Nomo | Simbolo de Schläfli {p1, p2, ..., pn−1} | Faceto | Vertica figuro | Duala |
|---|---|---|---|---|
| Kvadrata kahelaro | {4,4} | {4} | {4} | Mem-duala |
| Kuba kahelaro | {4,3,4} | {4,3} | {3,4} | Mem-duala |
| 4-hiperkuba kahelaro | {4,3,3,4} | {4,3,3} | {3,3,4} | Mem-duala |
| 5-hiperkuba kahelaro | {4,3,3,3,4} | {4,3,3,3} | {3,3,3,4} | Mem-duala |
| 6-hiperkuba kahelaro | {4,3,3,3,3,4} | {4,3,3,3,3} | {3,3,3,3,4} | Mem-duala |
| Ordo-4 n-hiperkuba kahelaro | {4,3,...,3,4} | {4,3,...,3} | {3,...,3,4} | Mem-duala |
Kahelaroj de hiperbola spaco redakti
Ne ekzistas finio-facetitaj regulaj kahelaroj de hiperbola spaco de dimensio 5 aŭ pli alta.
Estas 5 regulaj kahelaroj en H5 kun malfiniaj (eŭklidaj) facetoj aŭ verticaj figuroj: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,4}, {4,3,3,4,3}.
Ne ekzistas regulaj kahelaroj de hiperbola spaco de dimensio 6 aŭ pli alta.
Vidu ankaŭ redakti
- Plurlatero
- Pluredro
- Regula pluredro
- Platona solido (5 aĵoj)
- Solido de Keplero-Poinsot (4 aĵoj)
- Unuforma pluredro
- Regula pluredro
- Plurĉelo
- Konveksa regula plurĉelo (6 regulaj plurĉeloj)
- Plurĉelo de Schläfli-Hess (10 regulaj stelaj plurĉeloj)
- Uniforma plurĉelo
- Kahelaro
- Regula hiperpluredro
- Uniforma hiperpluredro
- Malfiniolatero
- Malfinioedro
Referencoj redakti
- H.S.M. Coxeter, Regulaj Hiperpluredroj, 3-a. red., Doveraj Eldonoj, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Tabeloj I kaj II: Regulaj hiperpluredroj kaj kahelaroj, pp. 294-296)
- H.S.M. Coxeter, La Belo de Geometrio: Dek du Eseoj, Doveraj Eldonoj, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Ĉapitro 10: Regulaj kahelaroj en hiperbola spaco, enkondukaj tabeloj II,III,Iv,V, p212-213)