Logaritma integrala funkcio

la integralo de 1∕㏑(𝑥)

En matematiko, la logaritma integrala funkciointegrala logaritmo li(x) estas speciala funkcio.

Logaritma integrala funkcio

DifinoRedakti

La logaritma integralo havas integrala prezento difinita por ĉiuj pozitivaj reelaj nombroj   per la difinita integralo:

 

Ĉi tie, ln estas la natura logaritmo. La funkcio 1/ln (t) havas specialaĵon je t=1, kaj la integralo por x>1 estas interpretita kiel koŝia ĉefa valoro:

 

Kompensita logaritma integraloRedakti

La kompensita logaritma integraloeŭlera logaritma integralo estas difinita kiel

 

Avantaĝo de ĉi tiu varianto estas je evito de la specialaĵo en domajno de la integralado.

Interligo inter la du funkcioj estas

 

Seria prezentoRedakti

La funkcio li(x) estas rilatanta al la integrala eksponenta funkcio Ei(x) kiel

li(x) = Ei(ln(x))

kiu estas valida por x>1. Ĉi tiu idento provizas serian prezenton de li(x) kiel

  por u≠0

kie γ ≈ 0,577215664901532... estas la konstanto de Eŭlero-Mascheroni. Pli rapide konverĝa serio (de Srinivasa Aiyangar Ramanujan) estas

 

Specialaj valorojRedakti

La funkcio li(x) havas solan pozitivan nulon, ĝi okazas je x ≈ 1,4513692348 ..., ĉi tiu nombro estas la konstanto de Ramanujan-Soldner.

La valoro li(2) estas   kie   estas la neplena γ funkcio. Ĝi devas esti komprenita kiel la koŝia ĉefa valoro de la funkcio.

li(2) ≈ 1,045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151 ...

Asimptota elvolvaĵoRedakti

La asimptota konduto por x → ∞ estas

 

kie O estas la granda O. La plena asimptota elvolvaĵo estas

 

 

Noto ke kiel asimptota elvolvaĵo, ĉi tiu serio estas malkonverĝa serio, ĝi estas modera proksimumado nur se la serio estas sumigata je finia kvanto de eroj, kaj nur por grandaj valoroj de x. Ĉi tiu elvolvaĵo sekvas rekte de la asimptota elvolvaĵo por la integrala eksponenta funkcio.

Nombroteoria uzoRedakti

La logaritma integralo estas grava en nombroteorio, aperante en pritaksoj de kvanto de primoj malpli grandaj ol donita valoro. La primaj teoremaj statas ke:

 

kie π(x) estas la primo-kalkulanta funkcio - kvanto de primoj pli malgrandaj ol aŭ egalaj al x.

Eksteraj ligilojRedakti

  • Milton Abramowitz kaj Irene A. Stegun. Gvidlibro de matematikaj funkcioj kun formuloj, grafikaĵoj kaj matematikaj tabeloj Novjorko: Dover, 1972. (Vidu en ĉapitro 5)