Logaritma spiralo

Logaritma spiralo estas kurbo, kies la ĝenerala ekvacio en polusa koordinatsistemo estas:

Logaritma spiralo kun ekvacio
$r=1,19^{\theta }$
(a = 1, b = 1,19, $\alpha$=80 gradoj)

Porcio de aro de Mandelbrot sekvanta logaritman spiralon

$$r=ab^{\theta }$$

kie a kaj b estas reelaj numbroj strikte pozitivaj (b malsama ol 1) kaj $b^{\theta }$ la eksponenta funkcio kun bazo b.

Aŭ alie skribite:

$$\theta ={\frac {1}{k}}\ln {\frac {r}{a}},$$

t.e ke la logaritmo de la radiuso $r$ estas proporcia al la angulo $\theta$ en ĉiu punkto de la kurbo

Tia kurbo studita en la 17-a jarcento vekis la admiron de Jakob Bernoulli pro siaj senvariaj proprecoj, pro tio lo nomis ĝin ‘’Spira mirabilis’’ (“Mirinda”, “Mirakla” spiralo). Ĝi troviĝas en la naturo, ekzemple en la kresko de konkoj (e.g. Naŭtilo) por la aranĝo de sunfloraj semoj.

Matematikaj proprecoj

Ekvacioj

Logaritma spiralo intersekcas ĉiujn radiusojn laŭ sama angulo $\alpha$.

La formoj de la polusa ekvacio pri logaritma spiralo estas:

$r=ae^{m\theta }$ kun a pozitiva reela nombro, e konstanto de Eŭlero kaj m reela kaj ne nula nombro,

aŭ alimaniere antaŭmetante $m=\ln b$:

$r=ab^{\theta }$ kun a , b du pozitivaj reelaj nombroj (‘’b’’ malsama ol 1).

Tio estas en kartezia koordinatsistemo: ${\begin{cases}x=ab^{\theta }\cos \theta \\y=ab^{\theta }\sin \theta .\end{cases}}$

En kompleksa ebeno $(z=x+iy,\,e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta )$ estas:

$z=ae^{(m+i)\theta }.$

Tiele aperas, ke la distancoj inter ĉiuj turnoj kreskas laŭ geometria vico kun multiplika faktoro $ae^{m\cdot 2\pi }$, dum pri la arkimeda spiralo la distancoj kreskas laŭ aritmetika vico.

Egalangula spiralo

Logaritma spiralo rulas sur sia tanĝanto

La tanĝanto al la kurbo ĉe la punkto M difinas kun la rekto (OM) konstantan angulon $\alpha$ laŭ la sekvanta propreco:

$\tan \alpha ={\frac {1}{\ln b}}$

kie $\mathrm {ln} b$ estas la natura logaritmo de la konstanto b, kiu difinas la spiralon.

Tiu propreco karakterizas la logaritmajn spiralojn, kiuj pro tio ofte nomatas “egalangulaj spiraloj”.

De tiu propreco sekvas, ke se oni ruligas logaritman spiralon sur ĝia tanĝanto, la centro de la spiralo moviĝas sur rekto (Vd la apudan bidon).

Longo de arko

La longo de la arko inter la origino O kaj la punkto M de la spiralo estas proporcia al OM. La proporcickoeficiento estas egala al la kvadrata radiko de $1+{\frac {1}{\ln ^{2}b}}$; se α estas la angulo je kiu la spiralo intersekcas la radiusojn, ĉi tiu proporcieckoeficiento estas do egala al ${\frac {1}{\cos \alpha }}$, pro la valoro de :$\tan \alpha$.

Kurboradiuso

La kurboradiuso R estas rekte proporcia al r laŭ la sekvanta formulo:

$R={\frac {r}{\sin \alpha }}$.

Rotacio, memsimileco

Rotaciante la spiralon per iu angulo $\theta _{0}$ kondukas al la spiralon $r=ab^{-\theta _{0}}b^{\theta }$, kiu estas la antaŭa spiralo transformita per homotetio laŭ la origino kun koeficiento $b^{-\theta _{0}}$.

Referencoj kaj ligiloj

En tiu ĉi artikolo estas uzita traduko de teksto el la artikolo Spirale logarithmique en la franca Vikipedio.