Nombroteorio

Nombroteorio estas branĉo de matematiko dediĉita al la studado de ecoj de entjeroj kaj ties ĝeneraligoj (ekz. algebraj entjeroj). La demandoj pri la plej granda komuna divizoro, la plej malgranda komuna oblo, malkomponado je primoj, prezento de natura nombro en iu certa formo, ĝia dividebleco kaj aliaj temoj estas studobjektoj de la nombroteorio. Ĝi inkluzivas ankaŭ teoriojn de komparoj, diofantaj ekvacioj, eble ĉenaj frakcioj, diofantaj alproksimiĝoj, transcendaj ekvacioj (vidu transcenda nombro) k.a.

Multaj problemoj en nombroteorio estas tre facile kaj koncize formuleblaj sed tre malfacile solveblaj, kaj konsiderindaj branĉoj de moderna matematiko estis evoluigitaj en provo solvi tiajn problemojn. Bonkonata ekzemplo estas la lasta teoremo de Fermat, kaj problemoj kiuj estas ankoraŭ malfermitaj kiel la Goldbach-konjekto (ĉiu para nombro pli granda ol 2, estas sumo de du primoj), la konjekto pri ĝemelaj primoj (laŭ kiu ekzistas malfinio da paroj de primoj kun la nombra diferenco de nur 2 inter ili) kaj la hipotezo de la primaj kurbaj nombroj (laŭ kiu ekzistas malfinio da primoj de Mersenne kaj rezulte estas senfineco da perfektaj nombroj).

Ekde la 1980-aj jaroj nombroteorio trovis surprizajn aplikojn en ĉifrado (kriptografio); ĝi ebligis la unuajn nesimetriajn ĉifrojn.

En speciala literaturo oni ofte trovas ankaŭ sinonimajn terminojn – Teorio de Nombroj aŭ Teorio pri Nombroj.

Historio

La naturaj nombroj akompanas la homon de la komenco de kulturo. Oni ne scias ĝuste kiam la afero naskiĝis en "abstraktaj" demandoj rilataj al nombroj, demandoj kiuj ne rekte rilatas al nombrado de precizaj objektoj.

Antikvaj argiltabuletoj de Babilonio, de la periodo inter 1900 kaj 1600 a.K., diskutas pitagorajn triopojn, uzante la pozician nombrosistemon kun bazo 60, tio estas, entjeroj kiuj kontentigas la kondiĉon $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Fama tabuleto nomita Plimpton 322, origine supozeble enhavanta registron de komercaj transakcioj, estas fakte neta kaj sufiĉe preciza listo de tiaj triopoj, kvankam estas ne certe ke tio estas kion la babilonanoj celis.

La teorio de nombroj prosperis en antikva Grekio, precipe en la verkoj de Pitagoro, Eŭklido kaj Diofanto. Famaj kontribuantoj al la evoluo de tiu branĉo en modernaj tempoj estas Fermat, Euler kaj Gauss.

Klasika Grekio kaj frua helenismo

Krom kelkaj restaĵoj, la matematiko de Klasika Grekio estas konata ĉu el informoj de tiutempaj nematematikistoj ĉu el matematikaj verkoj de la unua epoko helenisma. Por nombroteorio, tio signifas ĝenerale Platonon kaj Eŭklidon, respektive. Kvankam aziaj matematikoj certe influis super la grekaj kaj kompreneble la helenismajn sciarojn, ŝajne la greka matematiko estas ankaŭ indiĝena tradicio.

Eŭzebio de Cezareo, PE X, en la ĉapitro 4a mencias Pitagoron:

„ Efektive, la menciita Pitagoro, dum li fervore studis la sciaron de ĉiu nacio, vizitis Babilonon, kaj Egiptujon, kaj la tutan Persujon, estante instruita de la magiistoj kaj la pastroj: kaj aldone al tiuj oni diras, ke li studis kun la bramanoj (ĉi tiuj estas hindiaj filozofoj) kaj de unuj li kolektis astrologion, de aliaj geometrion, kaj de aliaj aritmetikon kaj muzikon, kaj malsamajn aferojn de diversaj nacioj, kaj nur de la saĝuloj de Grekujo li akiris nenion, edziĝintaj kvazaŭ al malriĉeco kaj manko de saĝo: tiel li mem fariĝis la aŭtoro de la instruado de la grekoj por la lernado, kiun li akiris el eksterlando ”

Aristotelo asertis, ke la filozofio de Platono sekvis proksime la instruojn de la pitagoranoj, kaj Cicerono ripetis tiun aserton: Platonem ferunt didicisse Pythagorea omnia ("Oni diras, ke Platono lernis ĉion pitagoran").

Kovrilpaĝo de la verko de Oliver Byrne de 1847, kolorigita eldono de la Elementoj de Eŭklido.

Platono montris grandan intereson por matematiko, kaj klare distingis inter aritmetiko kaj kalkulo. (Laŭ aritmetiko li referencis parte la teoriumadon pri la nombro, anstataŭ tio kion signifis aritmetiko aŭ teorio de nombroj). Tra unu de la dialogoj de Platono -nome la Teteto'- oni scias, ke Teodoro estis pruvinta, ke ${\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\dots ,{\sqrt {17}}$ estas neraciaj. Teteto de Ateno, estis same kiel Platono, disĉiplo de Teodoro; laboris por la distingo de la diferencaj tipoj de nekunmezureblaj nombroj, pro kio oni povus diri, ke li estis pioniro en la studado de la nombrosistemoj. La libro 10a de la Elementoj de Eŭklido estas priskribita de Papo kiel bazita grandparte sur la verko de Teteto.

Eŭklido dediĉis parton de siaj Elementoj al primoj kaj al la dividebleco, temoj kiuj certe apartenas al la nombroteorio kaj kiuj fakte estas bazaj en ĝi (libroj VII ĝis IX de la Elementoj de Eŭklido). Precize, li havigis algoritmon por kalkuli la maksimuman komunan dividanton de du nombroj (nome la Eŭklida algoritmo; Elementoj, Prop. VII.2) kaj la unuan konatan pruvon de la senfineco de la primoj (Elementoj, Prop. IX.20).

En 1773, Lessing publikigis epigramon kiun li estis trovinta en manuskripto dum sia laboro kiel bibliotekisto; ĝi intencis esti letero sendita de Arkimedo al Eratosteno. La epigramo proponis tion kion oni konas kiel "gregoproblemo" de Arkimedo; ĝia solvo, mankanta en la manuskripto, postulas solvi nedifinitan kvadratan ekvacion, kio reduktiĝas al tio kio poste estos nomita erare "ekvacio de Pell". Laŭ tio kion oni scias, tiaj ekvacioj estis traktitaj por la unua fojo sukcese fare de la hindia skolo. Oni ne scias ĉu la propra Arkimedo havis metodon por la solvo de tiu problemo.

Diofanto el Aleksandrio

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Diofanto el Aleksandrio.

Kovrilpaĝo de la eldono de 1621 de la Aritmetiko de Diofanto, tradukita al latino fare de Claude Gaspard Bachet de Méziriac.

Oni scias tre malmulte pri Diofanto el Aleksandrio; probable li vivis en la 3-a jarcento de nuntempa erao, tio estas, ĉirkaŭ kvin cent jarojn post Eŭklido. Ses de la dek tri libroj de la Aritmetiko de Diofanto estas konservitaj en la originalo greklingva kaj kvar pliaj en traduko al la araba. La Aritmetiko estas kolekto de problemoj prilaboritaj en kiuj la tasko konsistas nepre en la serĉado de reelaj solvoj por sistemo de polinomiaj ekvacioj, normale de la formoj $f(x,y)=z^{2}$ aŭ $f(x,y,z)=w^{2}$. Tial nuntempe oni parolas pri "diofantaj ekvacioj" se temas pri polinomiaj ekvacioj al kiuj oni devas trovi raciajn aŭ entjerajn solvojn.

Oni povas diri, ke Diofanto studis reelajn punktojn, tio estas punktojn, kies koordinatoj estas reelaj, en linioj kaj algebraj variaĵoj; tamen, male al la grekoj de klasikaj tempoj, kiuj faris tion, kion oni hodiaŭ nomas baza algebro en geometriaj terminoj, Diofanto faris tion, kion oni hodiaŭ nomas baza algebra geometrio en pure algebraj terminoj. En moderna lingvaĵo, tio kion faris Diofanto estis trovi relajn parametrigojn de la variaĵoj; tio estas, konsiderinte ekvacion de la formo (ekzemple) $f(x_{1},x_{2},x_{3})=0$, ĝia celo estis trovi (esence) tri reelajn funkciojn $g_{1},g_{2},g_{3}$ tiajn ke, por ĉiuj valoroj de $r$ kaj $s$, ili establu

$x_{i}=g_{i}(r,s)$ por $i=1,2,3$ kio havigas solvon al $f(x_{1},x_{2},x_{3})=0.$

Diofanto ankaŭ studis la ekvaciojn de kelkaj nereelaj linioj, por kiuj reela parametrigo ne eblas. Li sukcesis trovi kelkajn reelajn punktojn sur tiuj linioj (elipsaj kurboj, en kio ŝajne estas ilia unua konata aspekto) per kio sumiĝas al tanĝanta konstruo: tradukite en koordinatan geometrion (kiu ne ekzistis en la tempo de Diofanto), lia metodo estus bildigita kiel desegnado de tanĝanto al linio ĉe konata reela punkto, kaj poste trovi la alian punkton de intersekco de la tanĝanto kun la linio; tiu alia punkto estas nova reela punkto. (Diofanto ankaŭ turnis sin al tio kio povus esti nomita speciala kazo de sekanta konstruo.)

Kvankam Diofanto traktis plejparte reelajn solvojn, li supozis kelkajn rezultojn pri entjeroj, aparte ke ĉiu entjero estas la sumo de kvar kvadratoj, kvankam li neniam diris tion eksplicite.

Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara

Kvankam la greka astronomio verŝajne influis hindan sciaron, ĝis la punkto de enkonduko de trigonometrio, ŝajne estas la kazo ke hinda matematiko estas krome indiĝena tradicio; aparte, ekzistas neniu indico ke la Elementoj de Eŭklido atingis Hindion antaŭ la 18-a jarcento.

Āryabhaṭa.

Āryabhaṭa (476-550 n.e.) pruvis, ke la paroj de samtempaj kongruoj $n\equiv a_{1}{\bmod {m}}_{1}$, $n\equiv a_{2}{\bmod {m}}_{2}$ povus esti solvataj pere de metodo kiun li nomis kuṭṭaka, aŭ diserigilo; temas pri proceduro proksima al (ĝeneraligo de) la Eŭklida algoritmo, kiu probable estis malkovrita sendepende en Hindio. Āryabhaṭa ŝajne estis cerbumitan pri aplikado al astronomiaj kalkuloj.

Brahmagupta (628 n.e.) iniciatis la sisteman studadon de la nedifinitaj kvadrataj ekvacioj - aparte, la malĝuste nomita Ekvacio de Pell, en kiu eble Arkimedo interesiĝis la unua, kaj kiu ne eksolviĝis en Okcidento ĝis la epoko de Fermat kaj Euler. Sekvis postaj sanskritaj fakuloj, uzante la teknikan terminaron de Brahmagupta. Ĝenerala proceduro (nome "ĉakravala metodo", aŭ "cikla metodo") por solvi la ekvacion de Pell estis finfine trovita fare de Jayadeva (citita en la 11-a jarcento; lia verkaro tamen perdiĝis); la plej antikva ekspono konservata aperas en Bīja-gaṇita de Bhāskara la 2-a (12-a jarcento).

La hindiaj matematikoj restis grandparte nekonataj en Eŭropo ĝis fino de la 18-a jarcento. La verkaro de Brahmagupta kaj Bhāskara ekzemple estis tradukita al la angla en 1817 fare de Henry Thomas Colebrooke.

La aritmetiko de la islama orepoko

Alhazen vidita de Okcidento: en marko de Selenografio Alhasen (tiel) reprezentas la sciaron tra la racio kaj Galileo la konon tra la sensoj.

Komence de la 9-a jarcento, la kalifo Al-Ma'mun ordonis traduki multajn grekajn matematikajn verkojn kaj almenaŭ unu sanskritan verkon (nome la Sindhind, kiu eble aŭ eble ne estis la Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta). La ĉefa verko de Diofanto, nome la Aritmetiko, estis tradukita al la araba fare de Qusta ibn Luqa (820-912). Parto de la traktato al-Faĥri (de al-Karaji, 953 - ĉirkaŭ 1029) baziĝas surtio iel. Laŭ Raŝed Roŝdi, la samtempulo de Al-Karajī Ibn al-Haytham konis tion kio poste estos nomita "teoremo de Wilson".

Okcidenta Eŭropo en la Mezepoko

Krom traktaton pri la kvadratoj en la aritmetika sinsekva serio de Fibonacci - kiu veturis kaj studis en Nordafriko kaj en Konstantinopolo -, dum la Mezepoko oni ne faris teorion pri nombroj en Okcidenta Eŭropo. La afero ekŝanĝiĝis en Eŭropo fine de la Renesanco, pere de plinovigita studado de la verkoj de Antikva Grekio. Katalizilo estis teksta polurado kaj la traduko al la latino de la Aritmetiko de Diofanto.

Kampoj kaj fakoj

Elementa nombroterio

Elementa nombroterio esploras entjerojn sen la teknikoj el aliaj matematikaj fakoj. Demandoj pri dividebleco, uzo de la Eŭklida algoritmo por komputi la plej grandan komunan divizoron, faktorado de entjeroj al primoj kaj esplorado de perfektaj nombroj estas ekzemploj de elementa nombroterio.

Kelkaj gravaj malkovroj de tiu ĉi fako estas la malgranda teoremo de Fermat, la teoremo de Eŭler, la ĉina restaĵa teoremo kaj la leĝo de kvadrata reciprokeco. Elementa nombroterio ankaŭ inkluzivas la ecojn de multiplikaj funkcioj kiel la funkcio de Möbius kaj la Eŭlera φ-funkcio, entjeraj vicoj, faktorialoj kaj Fibonaĉi-nombroj.

Diversaj demandoj ene de elementa nombroteorio ŝajnas simplaj, sed postulas tre profundajn konsiderojn kaj novajn alirojn, inkluzive de la jenaj:

• Konjekto de Goldbach pri la fakto ke ĉiuj paraj nombroj (el 4) estas sumo de du primoj.
• Konjekto pri ĝemelaj primoj pri la senfineco de la nomitaj ĝemelaj primoj.
• Lasta teoremo de Fermat (pruvita en 1995 fare de Andrew Wiles).
• Rimana hipotezo pri la distribuado de nuloj de la Rimana funkcio, intime konektita kun la problemo de la distribuado de la primoj inter aliaj nombroj.

Analitika nombroteorio

Analitika nombroteorio uzas ilojn de infinitezima kalkulo kaj kompleksajn funkciojn (vidu Kompleksa analitiko) por trakti problemojn implikantajn la ecojn de entjeroj. Ĉi tiuj iloj estas plej utilaj por studi la ecojn de primoj: La prima teoremo, ŝlosila teoremo priskribanta la densecon de tiuj nombroj, estis pruvita uzante analitikajn metodojn, same kiel multaj aliaj rezultoj ligitaj al primoj. Nur en 1949 Paŭlo Erdős kaj Atela Salberg trovis "elementan" pruvon de la prima teoremo, kiu ne uzas analitikajn metodojn, sed ĝi estas konsiderata pli komplika kaj malfacila ol la analitika pruvo. La hipotezo de Riemann estas grava ankoraŭ nesolvita problemo, kiu fontas el analitika nombroteorio, kaj ankaŭ aliaj dume ne solvitaj problemoj kiel la Goldbach-hipotezo estas esplorataj per similaj rimedoj.

Alia grava branĉo de analitika nombroteorio estas Diopent-aproksima teorio, kiu traktas racionalajn proksimumadojn al neracionalaj nombroj kaj ebligas studi la kompletajn solvojn de ekvacioj kiel ekzemple $17+x^{3}=y^{2}$

Algebra nombroteorio

Algebra nombroteorio traktas algebrajn entjerojn, kiuj estas ĝeneraligo de ordinaraj entjeroj: nombroj kiel $2+3{\sqrt {5}}$ aŭ ${\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}$ estas algebraj entjeroj. Tiuj nombroj havas, sub certaj supozoj, trajtojn similajn al ordinaraj entjeroj, kaj povas esti uzataj por pli facile ataki problemojn en nombroteorio.

Aritmetika algebra geometrio

Aritmetika algebra geometrio esploras problemojn en nombroteorio per iloj kiuj kombinas geometrion kaj algebron.

La ĉefaj objektoj studitaj en la kampo estas aritmetikaj skemoj. En ĉi tiu kampo speciale grava estas la studado de elipsaj kurboj kaj la kompletaj kaj raciaj punktoj sur ili; la pruvo de Wiles de la hipotezo konata kiel "la lasta teoremo de Fermat" apartenas al tiu sfero. La nomo geometria nombroteorio (aŭ geometrio de nombroj) rilatas al la pli klasika kampo, aparte la teorio de Minkowski kiu diskutas la geometrion de kradoj.

Komputebla nombroteorio

Komputebla nombroteorio traktas la studon de algoritmoj kiuj estas signifaj al nombroteorio. Algoritmoj por rapida testado de ĉu antaŭfiksita nombro estas primo aŭ malkomponita en faktoroj estas de granda graveco en kriptografio, kampo kiu faris nombroteorion de teoria branĉo al tre utila branĉo.

Probablisma nombroteorio

Probablisma nombroteorio aplikas metodojn de probableco al nombroteorio, precipe koncerne la nombron de la primaj faktoroj de nombro. Unu el la fondintoj de ĉi tiu teoria korpuso estis Paŭlo Erdős.

Konjektoj kaj hipotezoj

Multaj demandoj en nombroteorio estas formuleblaj pere de nur bazaj nombroteoriaj terminoj, sed por solvi ilin povas necesi tre profunda konsiderado kaj novaj aliroj ekster la fako de baza nombroteorio. Ekzemploj estas:

• La konjekto de Goldbach pri la esprimo de paraj nombroj kiel sumoj de du primoj.
• La konjekto de Catalan pri sekvaj entjeraj potencoj.
• La konjekto pri ĝemelaj primoj pri la nefinieco de la aro de t.n. "ĝemelaj primoj"
• La konjekto de Collatz pri simplega ripeta kalkulado
• La lasta teoremo de Fermat (asertita en 1637, sed pruvita nur en 1995) pri la neebleco trovi nenulajn entjerojn x, y, kaj z tiaj, ke $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ kie n estas entjero pli granda ol 2.

Estas pruvite, ke ne ekzistas ĝenerala solvo de diofantaj ekvacioj. (Vidu artikolon "La deka problemo de Hilbert".)

Analitika Nombroteorio

Analitika nombroteorio uzas infiniteziman kalkulon kaj kompleksan analitikon por solvi demandojn pri entjeroj. La prima teoremo (PT) kaj la parenca hipotezo de Riemann estas ekzemploj. Oni provas solvi ankaŭ la problemon de Waring (reprezenti entjeron kiel sumo de potencigitoj), la ĝemelan priman konjekton (pri la trovado de nefinie multaj primaj paroj kun diferenco de 2), kaj la konjekton de Goldbach (pri la skribado de paraj entjeroj kiel sumoj de du primoj), per analitikaj metodoj. Oni klasas ankaŭ pruvojn pri la transcendeco de matematikaj konstantoj, kiel π kaj e, en analitika nombroteorio. Kvankam deklaroj pri transcendaj nombroj eble ŝajnas ne esti parto de la studado de entjeroj, ili vere temas pri la eblaj valoroj de polinomoj kiuj havas entjerajn koeficientojn de, ekzemple, e; ili ankaŭ proksime ligas al la fako de Diofantaj ekvacioj, kie oni esploras "kiel bone" reelo povas esti proksimume kalkulata de racionalo.

Algebra Nombroteorio

En algebra nombroteorio, la koncepto pri nombro estas pligrandigita al la algebraj nombroj kiuj estas radikoj de polinomoj kun racionalaj koeficientoj. Ĉi tiuj kampoj enhavas partojn anagolajn al la entjeroj, la tiel-nomatajn algebrajn entjerojn. En tiu ĉi kadro, la familiaraj trajtoj de la entjeroj (ekz. unika disfaktorado) ne necese veras. La bonaĵo de la iloj uzitaj - Teorio de Galois, grupa kohomologio, klaskampa teorio, grupa prezento, kaj L-funkcioj - estas ke ili ebligas al ni iom rehavi tiun ordon por ĉi tiu nova speco de nombroj.

Multajn nombroteoriajn demandojn oni plej bone alproksimiĝas per la studado kiel modulo p, kie ĉiuj primoj estas p (vidu artikolon finiaj fakoj).

Nombroteorio estas la formala studado de nombroj.

Fakuloj

• Alhazen
• Arkimedo
• Aryabhata
• Brahmagupta
• Eugène Charles Catalan
• Diofanto el Aleksandrio
• Paŭlo Erdős
• Eŭklido
• Leonhard Euler
• Pierre de Fermat
• Carl Friedrich Gauss
• Hermann Minkowski
• Pitagoro
• Bernhard Riemann
• Hermann Weyl
• Andrew Wiles

Literaturo

• Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-0-387-90163-3. Konsultita la 28an de februaro 2016.
• Apostol, Tom M. (n.d.). An Introduction to the Theory of Numbers. (Review of Hardy & Wright.) Mathematical Reviews (MathSciNet). American Mathematical Society. MR 0568909. Konsultita la 28an de februaro 2016.
• Becker, Oskar (1936). "Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente". Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. Abteilung B:Studien. 3: 533–553.
• Boyer, Carl Benjamin; Merzbach, Uta C. (1991) [1968]. A History of Mathematics (dua eldono). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8. 1968 edition at archive.org
• Clark, Walter Eugene (trad.) (1930). The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: An ancient Indian work on Mathematics and Astronomy. University of Chicago Press. Alirita en 2016-02-28.
• Colebrooke, Henry Thomas (1817). Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara. London: J. Murray. Konsultita la 28an de februaro 2016.
• Davenport, Harold; Montgomery, Hugh L. (2000). Multiplicative Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 74 (reviziita 3a eld.). Springer. ISBN 978-0-387-95097-6.
• Edwards, Harold M. (Novembro 1983). "Euler and Quadratic Reciprocity". Mathematics Magazine. 56 (5): 285–291. doi:10.2307/2690368. JSTOR 2690368.
• Edwards, Harold M. (2000). Fermat's Last Theorem: a Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 50 (represaĵo de 1977). Springer Verlag. ISBN 978-0-387-95002-0.
• Fermat, Pierre de (1679). Varia Opera Mathematica. Toulouse: Joannis Pech. Alirita en 2016-02-28.
• Friberg, Jöran (Aŭgusto 1981). «Methods and Traditions of Babylonian Mathematics: Plimpton 322, Pythagorean Triples and the Babylonian Triangle Parameter Equations». Historia Mathematica 8 (3): 277-318. doi:10.1016/0315-0860(81)90069-0.
• von Fritz, Kurt (2004). «The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum». En Christianidis, J., eld. Classics in the History of Greek Mathematics. Berlin: Kluwer (Springer). ISBN 978-1-4020-0081-2.
• Gauss, Carl Friedrich; Waterhouse, William C. (trad.) (1966) [1801]. Disquisitiones Arithmeticae. Springer. ISBN 978-0-387-96254-2.
• Goldfeld, Dorian M. (2003). [www.math.columbia.edu/~goldfeld/ErdosSelbergDispute.pdf «Elementary Proof of the Prime Number Theorem: a Historical Perspective».] Konsultita la 28an de februaro 2016.
• Goldstein, Catherine; Schappacher, Norbert (2007). «A book in search of a discipline». En Goldstein, C.; Schappacher, N.; Schwermer, Joachim, eld. The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss's "Disquisitiones Arithmeticae". Berlin & Heidelberg: Springer. pp. 3-66. ISBN 978-3-540-20441-1. Konsultita la 28an de februaro 2016.
• Granville, Andrew (2008). «Analytic number theory». En Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre, eld. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11880-2. Konsultita la 28an de februaro 2016.
• Guthrie, K.S. (trad.) (1920). Porphyry, Life of Pythagoras. Alpine, New Jersey: Platonist Press.
• Guthrie, Kenneth Sylvan (1987). The Pythagorean Sourcebook and Library. Grand Rapids, Michigan: Phanes Press. ISBN 978-0-933999-51-0.
• Hardy, Godfrey Harold; Wright, E.M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers (6a eld.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. MR 2445243.
• Heath, Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics, Volume 1: From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press. Konsultita la 28an de februaro 2016.
• Hopkins, J.F.P. (1990). «Geographical and Navigational Literature». En Young, M.J.L.; Latham, J.D.; Serjeant, R.B., eld. Religion, Learning and Science in the 'Abbasid Period. The Cambridge history of Arabic literature. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-32763-3.
• Huffman, Carl A. (8a de aŭgusto 2011). «Pythagoras». En Zalta, Edward N., eld. Stanford Encyclopaedia of Philosophy (Fall 2011). Konsultita la 7an de februaro 2012.
• Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004). Analytic Number Theory. American Mathematical Society Colloquium Publications. Vol. 53. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3633-0.
• Platono; Jowett, Benjamin (trad.) (1871). Theaetetus.
• Lam, Lay Yong; Ang, Tian Se (2004). Fleeting Footsteps: Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China (reviziita eldono). Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-238-696-0. Konsultita la 28an de februaro 2016.
• Long, Calvin T. (1972). Elementary Introduction to Number Theory (dua eldono). Lexington, VA: D.C. Heath and Company. LCCN 77171950.
• Mahoney, M.S. (1994). The Mathematical Career of Pierre de Fermat, 1601–1665 (Represaĵo, dua eldono). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-03666-3. Konsultita la 28an de februaro 2016.
• Milne, J. S. (18a de marto 2017). «Algebraic Number Theory» (3.07). Konsultita la 7a de aprilo 2020.
• Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007). Multiplicative Number Theory: I, Classical Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84903-6. Konsultita la 28an de februaro 2016.
• Morrow, Glenn Raymond (trad., eld.); Proclus (1992). A Commentary on Book 1 of Euclid's Elements. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02090-7.
• Mumford, David (Marto 2010). «Mathematics in India: reviewed by David Mumford». Notices of the American Mathematical Society 57 (3): 387. ISSN 1088-9477.
• Neugebauer, Otto E. (1969). «The Exact Sciences in Antiquity». Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium 9 (korektita represaĵo de la eldono de 1957) (New York: Dover Publications). pp. 1-191. ISBN 978-0-486-22332-2. PMID 14884919 Konsultita la 2an de marto 2016.
• Neugebauer, Otto E.; Sachs, Abraham Joseph; Götze, Albrecht (1945). Mathematical Cuneiform Texts. American Oriental Series 29. American Oriental Society etc.
• O'Grady, Patricia (Septembro 2004). «Thales of Miletus». The Internet Encyclopaedia of Philosophy. Konsultita la 7an de februaro 2012.
• Pingree, David; Ya'qub, ibn Tariq (1968). «The Fragments of the Works of Ya'qub ibn Tariq». Journal of Near Eastern Studies 26.
• Pingree, D.; al-Fazari (1970). «The Fragments of the Works of al-Fazari». Journal of Near Eastern Studies 28.
• Plofker, Kim (2008). Mathematics in India. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12067-6.
• Qian, Baocong, eld. (1963). Suanjing ŝi ŝu (Dek Matematikaj Klasikaĵoj) (en ĉina). Beijing: Zhonghua shuju. Konsultita la 28an de februaro 2016.
• Rashed, Roshdi (1980). «Ibn al-Haytham et le théorème de Wilson». Archive for History of Exact Sciences 22 (4): 305-21. S2CID 120885025. doi:10.1007/BF00717654.
• Robson, Eleanor (2001). «Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a Reassessment of Plimpton 322». Historia Mathematica 28 (3): 167-206. doi:10.1006/hmat.2001.2317. Arkivita el la originalo la 21an de oktobro 2014.
• Sachau, Eduard; Bīrūni, ̄Muḥammad ibn Aḥmad (1888). Alberuni's India: An Account of the Religion, Philosophy, Literature, Geography, Chronology, Astronomy and Astrology of India, Vol. 1. London: Kegan, Paul, Trench, Trübner & Co. Konsultita la 28an de februaro 2016.
• Serre, Jean-Pierre (1996). A Course in Arithmetic. Graduate texts in mathematics 7. Springer. ISBN 978-0-387-90040-7.
• Smith, D.E. (1958). History of Mathematics, Vol I. New York: Dover Publications.
• Tannery, Paul; Henry, Charles (eld.); Fermat, Pierre de (1891). Oeuvres de Fermat. (4 Vol.) (en fr, la). Paris: Imprimerie Gauthier-Villars et Fils. Volume 1 Volume 2 Volume 3 Volume 4 (1912)
• Iamblichus; Taylor, Thomas (trad.) (1818). Life of Pythagoras or, Pythagoric Life. London: J.M. Watkins. Arkivita el la originalo la 21an de julio 2011. Por aliaj eldonoj vidu Iamblichus#List of editions and translations
• Truesdell, C.A. (1984). «Leonard Euler, Supreme Geometer». En Hewlett, John (trad.), eld. Leonard Euler, Elements of Algebra (represaĵo de la kvina eldono de 1840). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96014-2.
• Truesdell, C.A. (2007). «Leonard Euler, Supreme Geometer». En Dunham, William, eld. The Genius of Euler: reflections on his life and work. Volume 2 of MAA tercentenary Euler celebration. New York: Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-558-4. Konsultita la 28an de februaro 2016.
• Varadarajan, V.S. (2006). Euler Through Time: A New Look at Old Themes. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3580-7. Konsultita la 28an de februaro 2016.
• Vardi, Ilan (Aprilo 1998). «Archimedes' Cattle Problem». American Mathematical Monthly 105 (4): 305-19. JSTOR 2589706. doi:10.2307/2589706.
• van der Waerden, Bartel L.; Dresden, Arnold (trans) (1961). Science Awakening. Vol. 1 or Vol 2. New York: Oxford University Press.
• Weil, André (1984). Number Theory: an Approach Through History – from Hammurapi to Legendre. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3141-3. Konsultita la 28an de februaro 2016.

Vidu ankaŭ

• Diofanta ekvacio
• Konjekto de Goldbach
• Kribrilo de Eratosteno

Eksteraj ligiloj

• Nombroteorio en la Encyclopedia of Mathematics.
• Retejo pri Nombroteorio