Nombroteorio
| Matematikaj funkcioj |
|---|
| Argumentaro, Celaro, Bildaro, Malbildo |
| Fundamentaj funkcioj |
| algebraj funkcioj: konstanta • lineara • kvadrata • polinoma • racionala • Transformo de Möbius ceteraj funkcioj: trigonometriaj • inversa trigonometria • hiperbola • eksponenta • logaritma • potenca |
| Specialaj funkcioj |
| erara • β • Γ • ζ • η • W de Lambert • de Bessel |
| Nombroteoriaj funkcioj: |
| τ • σ • de Möbius • φ • π • λ |
| Ecoj: |
| pareco kaj malpareco • monotoneco • bariteco • periodeco • disĵeteco • surĵeteco • dissurĵeteco kontinueco • derivaĵeco • integralebleco |
Nombroteorio estas branĉo de matematiko, dediĉita al la studo de proprecoj de entjeroj kaj ĝiaj ĝeneraligoj (ekz. algebraj entjeroj). La demandoj pri la plej granda komuna divizoro, la plej malgranda komuna oblo, malkomponado je primoj, prezento de natura nombro en iu certa formo, ĝia dividebleco kaj aliaj temoj estas studobjektoj de la nombroteorio. Ĝi inkluzivas ankaŭ: teorion de komparoj, diofantaj ekvacioj, katenfrakcioj (eble ĉena frakcio), diofantaj alproksimiĝoj, transcendaj ekvacioj (vidu transcenda nombro) k.a.
Multaj problemoj en nombroteorio estas tre facile kaj koncise formuleblaj sed tre malfacile solveblaj, kaj konsiderindaj branĉoj de moderna matematiko estis evoluigitaj en provo solvi tiajn problemojn. Bonkonata ekzemplo estas la lasta teoremo de Fermat, kaj problemoj kiuj estas ankoraŭ malfermitaj kiel la Goldbach-konjekto (ĉiu para nombro pli granda ol 2, estas sumo de du primoj), la konjekto pri ĝemelaj primoj (laŭ kiu ekzistas malfinio da paroj de primoj kun la nombra diferenco de nur 2 inter ili) kaj la hipotezo de la primaj kurbaj nombroj (laŭ kiu ekzistas malfinio da primoj de Mersenne kaj rezulte estas senfineco da perfektaj nombroj).
Ekde la 1980-aj jaroj nombroteorio trovis surprizajn aplikojn en ĉifrado (kriptografio); ĝi ebligis la unuajn nesimetriajn ĉifrojn.
En speciala literaturo oni ofte trovas ankaŭ sinonimajn terminojn – Teorio de Nombroj aŭ Teorio pri Nombroj.
HistorioRedakti
La naturaj nombroj akompanas la homon de la komenco de kulturo. Oni ne scias ĝuste kiam la afero naskiĝis en "abstraktaj" demandoj rilataj al nombroj, demandoj kiuj ne rekte rilatas al nombrado de objektoj.
Antikvaj argiltabuleto de babilonio, de la periodo inter 1900 kaj 1600 a.K., diskutas pitagoraj triopoj, uzante la nombrosistemon de 60, tio estas, entjeroj kiuj kontentigas la kondiĉon . Fama tableto nomita Plimpton 322, origine opiniita enhavi rekordon de komercaj transakcioj, estas fakte neta kaj sufiĉe preciza listo de tiaj triopoj, kvankam estas ne certe ke tio estas kion la babilonanoj celis.
La teorio de nombroj prosperis en antikva Grekio, precipe en la verkoj de Pitagoro, Eŭklido kaj Diofanto.
Famaj kontribuantoj al la evoluo de tiu branĉo en modernaj tempoj estas Fermat, Euler kaj Gauss.
Kampoj kaj fakaĵojRedakti
Elementa nombroterioRedakti
Elementa nombroterio esploras entjerojn sen la teknikoj el aliaj matematikaj fakoj. Demandoj pri dividebleco, uzo de la Eŭklida algoritmo por komputi la plej grandan komunan divizoron, faktorigo de entjeroj al primoj kaj esplorado de perfektaj nombroj estas ekzemploj de elementa nombroterio.
Kelkaj gravaj malkovroj de tiu ĉi fako estas la malgranda teoremo de Fermat, la teoremo de Eŭler, la ĉina restaĵa teoremo kaj la leĝo de kvadrata reciprokeco. Elementa nombroterio ankaŭ inkluzivas la ecojn de multiplikaj funkcioj kiel la funkcio de Möbius kaj la Eŭlera φ-funkcio, entjeraj vicoj, faktorialoj kaj Fibonaĉi-nombroj.
Analiza nombroteorioRedakti
Analiza nombroteorio uzas ilojn de infinitezima kalkulo kaj kompleksajn funkciojn (vidu Kompleksa analitiko) por trakti problemojn implikantajn la ecojn de entjeroj. Ĉi tiuj iloj estas plej utilaj por studi la ecojn de primoj: La prima teoremo, ŝlosila teoremo kiu priskribas la densecon de tiuj nombroj, estis pruvita uzante analizajn ilojn, kiel havas multajn aliajn rezultojn ligitajn al primoj (en 1949 Paŭlo Erdős kaj Atela Salberg trovis "elementan" pruvon de la prima teoremo (Tiu ĉi pruvo ne uzas analizajn ilojn, sed ĝi estas konsiderata pli komplika kaj malfacila ol la analiza pruvo). La Riemana hipotezo estas grava ankoraŭ nesolvita problemo kiu eliris el analiza nombroteorio, kaj nefermitaj problemoj kiel la Goldbach-hipotezo estas esploritaj per similaj rimedoj.
Alia grava branĉo de analiza nombroteorio estas Diopent-aproksima teorio, kiu traktas racionalajn proksimumadojn al neracionalaj nombroj kaj ebligas studi la kompletajn solvojn de ekvacioj kiel ekzemple
Algebra nombroteorioRedakti
Algebra nombroteorio traktas algebrajn entjerojn kiuj estas ĝeneraligo de ordinaraj entjeroj: nombroj kiel aŭ estas algebraj entjeroj. Tiuj nombroj havas, sub certaj supozoj, trajtojn similajn al ordinaraj entjeroj, kaj povas esti uzitaj por pli facile ataki problemojn en nombroteorio.
Aritmetika algebra geometrioRedakti
Aritmetika algebra geometrio esploras problemojn en nombroteorio per iloj kiuj kombinas geometrion kaj algebron.
La ĉefaj objektoj studitaj en la kampo estas aritmetikaj skemoj. En ĉi tiu kampo speciala graveco estas konata por la studo de elipsaj kurboj kaj la kompletaj kaj raciaj punktoj sur ili; la pruvo de Wiles de la Lasta teoremo de Fermat apartenas al tiu sfero. La nomo geometria nombroteorio (aŭ geometrio de nombroj) rilatas al la pli klasika kampo, aparte la teorio de Minkowski kiu diskutas la geometrion de kradoj.
Komputebla nombroteorioRedakti
Komputebla nombroteorio traktas la studon de algoritmoj kiuj estas signifaj al nombroteorio. Algoritmoj por rapida testado de ĉu antaŭfiksita nombro estas primo aŭ malkomponita en faktoroj estas de granda graveco en kriptografio, kampo kiu faris nombroteorion de teoria branĉo al tre utila branĉo.
Probablisma nombroteorioRedakti
Probablisma nombroteorio aplikas metodojn de probableco al nombroteorio, precipe koncerne la nombron de la primaj faktoroj de nombro. Unu el la fondintoj de ĉi tiu Torao estis Paŭlo Erdős.
FakulojRedakti
Vidu ankaŭRedakti
