Rando (topologio)

pri subaro de topologia spaco, la diferenco inter la fermaĵo kaj la eno
Disambig.svg Por samtitola artikolo vidu la paĝon Sudafrika rando.

En topologio, rando de subaro S de topologia spaco X estas aro de punktoj kiuj kuŝas inter la “ekstero” (komplemento de fermaĵo) kaj la “interno” (malfermaĵo) de S. Pli formale, rando estas aro de punktoj en la fermaĵo de S, ne apartenanta al la malfermaĵo de S. Ĉiu punkto en la rando de S estas randa punkto de S. Skribmanieroj uzata por rando de aro S estas bd(S), fr(S), ∂S.

Aro en Eŭklida ebeno : rando (malhele blua) kaj malfermaĵo (hele verdblua)

DifinoRedakti

Supozu topologian spacon   kaj ĝian subaron  . Jen kelkaj ekvivalentaj difinoj de la rando de  :

  • La aro de punktoj p de X tiaj, ke ĉiu ĉirkaŭaĵo de p enhavas almenaŭ unu punkto de S kaj almenaŭ unu punkton ne de S.
  • La fermaĵo   de S minus la mafermaĵo   de S:
  •  .
  • La komunaĵo de la fermaĵo de S kun la fermaĵo de ĝia komplemento:
     .

PropraĵojRedakti

Rando de randoRedakti

Por ĉiu aro S,

∂S ⊇ ∂∂S,

kun egaleco se kaj nur se la rando de S ne havas internajn punktojn; ĉi tio estas ĉiam vera se S estas fermita aŭ malfermita.

Pro tio ke la rando de ĉiu aro estas fermita,

∂∂S = ∂∂∂S

por ĉiu aro S.

EkzemplojRedakti

Konsideru la reelan linion   kun la kutima topologio (t.e. la topologio kies bazaj aroj estas malfermitaj intervaloj). Do:

  •  
  •  
  •   (  estas la subaro de la racionalaj nombroj)
  •  

La lastaj du ekzemploj ilustras tion, ke la rando de densa aro kun malplena mafermaĵo estas ĝia fermaĵo.

Netriviala subaro, kies rando estas malplenaRedakti

En la spaco   de racionalaj nombroj kun la kutima topologio (la subspaca topologio de  ), la rando de la aro de nombroj, kies la kvadrato estas malpli ol 2 estas malplena, ĉar la √2 ne apartenas al la spaco.

Dependeco de la rando laŭ la topologioRedakti

La rando de aro estas topologia nocio kaj povas ŝanĝiĝi se ŝanĝiĝas la topologio. Ekzemple, por la kutima topologio sur  , la rando de fermita disko

Ω={(x, y): x2+y2 ≤ 1}

estas la cirklo ĉirkaŭ la disko:

∂Ω = {(x, y) | x2+y2 = 1}.

Se la sama disko estas vidata kiel aro en   kun ĝia kutima topologio, kiel

Ω={(x, y, 0): x2+y2 ≤ 1},

do la rando de la disko estas la tuta disko mem:

∂Ω = Ω.

Se la disko estas vidata kiel la tuta topologia spaco, tiam la rando de la disko estas malplena:

∂Ω = ∅.

Vidu ankaŭRedakti