Sistemo de linearaj ekvacioj estas sistemo de ekvacioj , en kiu estas laŭvola nombro da linearaj ekvacioj kaj samtempe ne estas nelinearaj ekvacioj.
Se estas m ekvacioj, en kiujn estas n variantoj, tiam oni povas prezenti en formo:
{
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
+
…
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
a
23
x
3
+
…
+
a
2
n
x
n
=
b
2
a
31
x
1
+
a
32
x
2
+
a
33
x
3
+
…
+
a
3
n
x
n
=
b
3
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
a
m
3
x
3
+
…
+
a
m
n
x
n
=
b
m
{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+&a_{12}x_{2}&+&a_{13}x_{3}&+&\dots &+&a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+&a_{22}x_{2}&+&a_{23}x_{3}&+&\dots &+&a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\a_{31}x_{1}&+&a_{32}x_{2}&+&a_{33}x_{3}&+&\dots &+&a_{3n}x_{n}&=b_{3}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\ddots &&\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}&+&a_{m2}x_{2}&+&a_{m3}x_{3}&+&\dots &+&a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{matrix}}\end{cases}}}
Skalaroj
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
koeficientoj de la sistemo,
skalaroj
b
i
{\displaystyle b_{i}}
liberaj elementoj .
Solvo de sistemo de ekvacioj estas n-opo de elementojn
(
r
1
,
r
2
,
…
,
r
n
)
{\displaystyle (r_{1},r_{2},\dots ,r_{n})}
kampo
K
{\displaystyle K}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
Ĉefa matrico estas matrico , kiujn elementojn estas koeficiento de sistemo
A
=
[
a
11
a
12
a
13
⋯
a
1
n
a
21
a
22
a
23
⋯
a
2
n
a
31
a
32
a
33
⋯
a
3
n
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
a
m
3
⋯
a
m
n
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}}
Dilata matrico estas ĉefa matrico , kiu estas dilatata pri vertikala vektoro
(
b
1
,
b
2
,
…
,
b
m
)
{\displaystyle (b_{1},b_{2},\dots ,b_{m})}
U
=
[
a
11
a
12
a
13
⋯
a
1
n
a
21
a
22
a
23
⋯
a
2
n
a
31
a
32
a
33
⋯
a
3
n
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
a
m
3
⋯
a
m
n
|
b
1
b
2
b
3
⋮
b
m
]
=
[
A
|
B
]
{\displaystyle U=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mn}\\\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\vdots \\b_{m}\end{matrix}}\right]=[A|B]}
Priskribo de matricoj de sistemo de linearaj ekvacioj
redakti
Tipoj de sistemoj de linearaj ekvacioj
redakti
Sistemo de Kramero estas sistemo n de linearaj ekvacioj (kun n variantoj), kiuj havas sekvan atributon:
det
A
≠
0
{\displaystyle \det A\not =0}
Sistemo de Kramero havas nur strikte unu solvon, kiu estas difinata per formuloj de Kramero .
Sistemo de ekvacioj estas homogena se ĉiuj liberaj elementoj de sistemo estas nuloj. Ekzemplo de homogena sistemo:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
.
.
.
+
a
1
n
x
n
=
0
{\displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=0\,}
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
.
.
.
+
a
2
n
x
n
=
0
{\displaystyle a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=0\,}
⋮
{\displaystyle \vdots \,}
a
n
1
x
1
+
a
n
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
n
x
n
=
0
{\displaystyle a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}=0\,}
Atributoj de homogena sistemo:
Se
n
=
m
{\displaystyle n=m}
Se determinanto de ĉefa matrico ne estas nulo, tiam oni povas uzi formuloj de Kramero por solvi.
Se determinanto de ĉefa matrico estas nulo, tiam sistemo ne havas solvon aŭ havas infinite multe solvojn.
Signifas per
A
i
{\displaystyle A_{i}}
A
i
=
[
a
11
a
12
…
a
1
i
−
1
b
1
a
1
i
+
1
…
a
1
n
a
21
a
22
…
a
2
i
−
1
b
2
a
2
i
+
1
…
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
…
a
n
i
−
1
b
n
a
n
i
+
1
…
a
n
n
]
{\displaystyle A_{i}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1\ i-1}&b_{1}&a_{1\ i+1}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2\ i-1}&b_{2}&a_{2\ i+1}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{n\ i-1}&b_{n}&a_{n\ i+1}&\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}}
Se determinanto de ĉiuj matricoj
A
i
{\displaystyle A_{i}}
det
A
=
0
{\displaystyle \det A=0}
Se almenaŭ unu el matricoj
A
i
{\displaystyle A_{i}}
determinanton nenula, tiam sistemo ne havas solvojn. Laŭvola sistemo:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
.
.
.
+
a
1
n
x
n
=
b
1
{\displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\,}
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
.
.
.
+
a
2
n
x
n
=
b
2
{\displaystyle a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\,}
⋮
{\displaystyle \vdots \,}
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
.
.
.
+
a
m
n
x
n
=
b
m
{\displaystyle a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}=b_{m}\,}
nomas ortagulan sistemon, kiam
m
≠
n
{\displaystyle m\not =n}
x
+
3
y
=
2
−
2
x
+
−
6
y
=
−
4
{\displaystyle x+3y=2 \atop -2x+-6y=-4}
{
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
+
…
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
a
23
x
3
+
…
+
a
2
n
x
n
=
b
2
a
31
x
1
+
a
32
x
2
+
a
33
x
3
+
…
+
a
3
n
x
n
=
b
3
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
a
m
3
x
3
+
…
+
a
m
n
x
n
=
b
m
{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+&a_{12}x_{2}&+&a_{13}x_{3}&+&\dots &+&a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+&a_{22}x_{2}&+&a_{23}x_{3}&+&\dots &+&a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\a_{31}x_{1}&+&a_{32}x_{2}&+&a_{33}x_{3}&+&\dots &+&a_{3n}x_{n}&=b_{3}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\ddots &&\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}&+&a_{m2}x_{2}&+&a_{m3}x_{3}&+&\dots &+&a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{matrix}}\end{cases}}}
![{\displaystyle U=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mn}\\\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\vdots \\b_{m}\end{matrix}}\right]=[A|B]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d9b954003b10039f81d2ede38aa359648c5b4ef)
