|
La vorto havas plurajn signifojn:
''Pri la aliaj signifoj de ARO rigardu en [[ARO]].''
----
En la [[matematiko]], la nocio de '''aro''' estas unu el la plej fundamentaj nocioj. Aro estas kolekto de [[elemento (matematiko)|elementoj]] konsiderataj kiel unu tutaĵo. Aro povas esti [[malplena aro|malplena]], sed ne povas enhavi plurajn ekzemplerojn de unu elemento.
*La vorto '''[[aro]]''' estas [[substantivo|substantivigo]] de la [[sufikso]] [[-ar-]] en [[Esperanto]]. Aro do estas grupo aŭ kolekto. En la matematiko ĝi havas tre precizan signifon, kiu estas la bazo de la [[aroteorio]].
La nocio de la '''aro''' estas tiel fundamenta, ke kutime oni ne difinas ĝin matematike, sed uzas ĝin kiel bazon por difini aliajn matematikajn konceptojn.
*'''[[Aro (mezurunuo)]]''' estas [[mezurunuo]].
*'''ARo''' estas la kutima elparolo de [[listo de 2-literaj kombinaĵoj|literkombino]] '''[[AR]]'''.
*'''[[ISO 639-3 a#aro|aro]]''' estas la kodo de la [[araona lingvo]] ([[minoritata lingvo]] en [[Bolivio]]) laŭ la normo [[ISO 639-3]].
*'''[[Aro (rivero)]]''' estas la plej longa rivero sur sivsa teritorio.
Oni signas arojn per latinaj majuskloj: '''A, B, C, D, ..''' kaj ĝiajn elementojn per minuskloj: '''a, b, c, d, ...''' La fakton ke '''a''' prezentas elementon de '''A''', simbole oni skribas kiel <math>\{a \in A \}</math>. (legu: '''a''' apartenas al '''A''').
La aro kies elementoj estas '''a, b, c, ...''' oni skribas jene: '''A={a; b; c; ...}''', kaj la aro de tiuj elementoj, kiuj kontentigas ian '''P''' kondiĉon, oni skribas kiel '''{x ∈ A | P}''' aŭ '''{x ∈ A : P}'''. Ekzemple la aro de ĉiuj naturalaj nombroj kiuj estas malpli ol 100, signatas: <math>\{x \in N: x < 100\}</math>, kie '''N''' estas aro de naturalaj nombroj.
{{Apartigilo}}
* La aro, kiu enhavas neniajn elementojn, nomiĝas '''malplena''' aro kaj estas signata per la simbolo '''ø'''. Ekzemple, la aro de homoj loĝantaj en la suno estas malplena.
{{3LK}}
[[de:ARO]]
* La aro '''A''' nomiĝas '''subaro''' de '''B''', se ĉiuj elementoj de '''A''' apartenas al '''B''' kaj skribas: '''A''' ⊂ '''B'''. Ekzemple, se la '''A''' prezentas la aron de paralelogramoj, kaj '''B''' - la aron de ortanguloj, tiam '''A''' ⊂ '''B'''.
[[en:Aro]]
[[es:Aro]]
* Se '''A''' ⊂ '''B''' kaj '''B''' ⊂ '''A''', tiam la aroj '''A''' kaj '''B''' estas '''egalaj''' kaj oni skribas: '''A=B'''.
[[gl:Aro]]
[[it:ARO]]
* La aro de ĉiuj elementoj de la aroj '''A''' kaj '''B''', kiuj apartenas almenaŭ al unu el du nomitaj aroj, nomiĝas '''[[kunaĵo]]''' de du aroj kaj signatas kiel '''A''' ∪ '''B'''.
[[nl:Aro]]
[[pl:Aro]]
* La aro de ĉiuj tiuj elementoj de '''A''' kaj '''B''', kiuj apartenas samtempe al ambaŭ aroj, estas nomata '''[[komunaĵo]]''' de la aroj kaj signatas kiel '''A''' ∩ '''B'''.
[[ro:ARO (dezambiguizare)]]
Ekzemple, se '''A={1;2;3;4;5}''' kaj '''B={1;3;5;7}''', tiam '''A''' ∪ '''B''' = {1;2;3;4;5;7} kaj '''A''' ∩ '''B''' ={1;3;5}
* La aro de ĉiuj elementoj de la aro '''A''', kiuj ne apartenas samtempe al la aro '''B''', estas nomata '''diferenco''' aŭ '''diferencaro''' kaj signatas kiel <math>A \setminus B</math>
<gallery>
Dosiero:Venn A subset B.svg|<!-- thumb|left|180px| -->'''A''' ⊂ '''B'''
Dosiero:Venn A union B.png|<!-- thumb|left|180px|-->'''A''' ∪ '''B'''
Dosiero:Venn A intersect B.svg|<!-- thumb|left|180px|-->'''A''' ∩ '''B'''
Dosiero:Venn B minus A.png|<!-- thumb|left|180px| -->B minus A
</gallery>
<br clear=all>
Se estas donita la aroj '''A''' kaj '''B''', kaj la regulo, per kiu ni povas kunigi iajn parojn '''(a; b)''', kie '''a''' ∈ '''A''' kaj '''b''' ∈ '''B''', oni diras ke estas donita '''konformeco''' inter '''A''' kaj '''B''', kaj '''b''' estas nomata konforma al '''a'''.
Ekz. inter '''A={1,5,10,14,20}''' kaj '''B={2,3,7}''' oni povas establi konformon per tia regulo: "al elemento de '''A''' konformas ĝia divizoro el '''B'''". Ĉi tiu konformo donas sekvajn parojn: '''(10;2)''', '''(14;2)''', '''(14;7)''', '''(20;2)'''. Inter la du donitaj aroj povas ekzisti ankaŭ inversa konformo.
La konformeco inter '''A''' kaj '''B''' estas '''unu-al-unua''' konformeco, se plenumiĝas sekvaj du kondiĉoj:
:1. al ĉiu '''a''' (a ∈ A) konformas la sola elemento el '''B''';
:2. ĉiu elemento el '''B''' estas konforma por la sola elemento el '''A'''.
Du aroj estas '''ekvivalentaj''', se inter ili povas establi unu-al-unuan konformecon. Ekz. la aro de naturalaj nombroj {1;2;3;...} kaj la aro de paraj nombroj {2;4;6;...} estas ekvivalentaj, ĉar inter ili oni povas establi unu-al-unuan konformon laŭ regulo: "al ĉiu naturala nombro '''n''' konformu la paran nombron '''2n'''".
La aroj povas esti ankaŭ '''finiaj''' (kun difinita nombro de elementoj) kaj '''nefiniaj''' (kun senfina nombro de elementoj).
'''[[Arteorio]]''' estas la bazo de moderna matematiko.
----
La aron de ĉiuj [[subaro]]j de aro A oni nomas la partaĵa aro de A.
La [[Reta Vortaro|reta vortaro]] ( [http://www.uni-leipzig.de/esperanto/voko/revo/art/ar.html#ar.sub0o subaro] ) diras ke la aro de ĉiuj subaroj ne havas specialan nomon.
[[Kategorio:Aroteorio]]
[[ar:مجموعة (رياضيات)]]
[[be-x-old:Мноства]]
[[bg:Множество]]
[[bn:সেট]]
[[bs:Skup]]
[[ca:Conjunt]]
[[cs:Množina]]
[[da:Mængde]]
[[de:Menge (Mathematik)]]
[[el:Σύνολο]]
[[en:Set]]
[[es:Conjunto]]
[[et:Hulk]]
[[eu:Multzo]]
[[fa:مجموعه (ریاضی)]]
[[fiu-vro:Hulk]]
[[fr:Ensemble]]
[[gd:Àlach]]
[[gl:Conxunto]]
[[he:קבוצה (מתמטיקה)]]
[[hr:Skup]]
[[hu:Halmaz]]
[[ia:Ensemble]]
[[id:Himpunan]]
[[io:Ensemblo]]
[[is:Mengi]]
[[it:Insieme]]
[[ja:集合]]
[[ka:სიმრავლე]]
[[kn:ಗಣ]]
[[ko:집합]]
[[lmo:Cungjuunt]]
[[lt:Aibė]]
[[lv:Kopa]]
[[mk:Множество]]
[[nl:Verzameling (wiskunde)]]
[[nn:Mengd]]
[[no:Mengde]]
[[nov:Ensemble]]
[[oc:Ensemble]]
[[pl:Zbiór]]
[[pt:Conjunto]]
[[ro:Mulţime]]
[[ru:Множество]]
[[sh:Skup]]
[[simple:Set]]
[[sk:Množina]]
[[sl:Množica]]
[[sq:Bashkësitë]]
[[sr:Скуп]]
[[sv:Mängd]]
[[ta:கணம் (கணிதம்)]]
[[th:เซต]]
[[tr:Küme]]
[[uk:Множина]]
[[ur:مجموعہ]]
[[vi:Tập hợp]]
[[yi:סכום (מאטעמאטיק)]]
[[zh:集合]]
[[zh-classical:集]]
| 