Vikipedio

Homogenaj koordinatoj: Malsamoj inter versioj

Browse history interactively
[nekontrolita versio][nekontrolita versio]
← Iru al antaŭa ŝanĝoIru al sekvanta ŝanĝo →
Enhavo forigita Enhavo aldonita
VidaVikiteksto
Oryanw (diskuto | kontribuoj)
3 864 redaktoj
Neniu resumo de redakto
Linio 1:
{{polurinda movu|Homogenaj koordinatoj}}
En [[matematiko]], '''homogenaj koordinatoj''', prezentitapermesas far Aŭgusto Ferdinand Möbius, permesial [[Afinaafina transformo|afinaj transformoj]] esti facile prezentitaj per matrico. Ankaŭ ili faras kalkulojn eblaj en [[projekcia spaco]] samkiel [[Karteziakartezia koordinato|Karteziajkarteziaj koordinatoj]] faras en [[Eŭklida spaco]]. La homogenaj koordinatoj de punkto de projekcia spaco de dimensio ''n'' estas kutime skribita kiel (''x'' : ''y'' : ''z'' : ... : ''w''), (linio, vico) vektoro de longo ''n'' + 1, escepte (0 : 0 : 0 : ... : 0). Du aroj de koordinatoj, kiuj estas proporciaj signifas la saman punkton de projekcia spaco: por (ĉiu, iu) ne-nula skalaro ''c'' de la suba kampo ''K'', (''cX'' : ''cy'' : ''cz'' : ... : ''cw'') signifas la saman punkton. Pro tio, ĉi tiu sistemo de koordinatoj povas esti eksplikita kiel sekvas: se la projekcia spaco estas konstruita el vektora spaco ''V'' de dimensio ''n'' + 1, prezenti koordinatojn en ''V'' per elektanta bazo, kaj uzi ĉi tiuj en ''P''(''V''), la ekvivalento-klasoj de proporcia ne-nulaj vektoroj en ''V''.
 
Prenante la ekzemplon de projekcia spaco de dimensio tri, tie estos esti homogenaj koordinatoj (''x'' : ''y'' : ''z'' : ''w''). La '''[[ebeno je malfinio]]''' estas kutime identigita kun la aro de punktoj kun ''w'' = 0. For de ĉi tiu ebeno ni povas uzi (''x/w'', ''y/w'', ''z/w'') kiel ordinaran Kartezian sistemon; pro tio la afina spaco komplementa al la ebeno je malfinio estas koordinatizita laŭ familiara maniero, kun bazo koresponda (1 : 0 : 0 : 1), (0 : 1 : 0 : 1), (0 : 0 : 1 : 1).
Linio 11:
 
Konsideri projekcia 2-spaco: punktoj en la projekcia ebeno estas projekcioj de punktoj en 3-spaco ("3-D punktoj"). Lasu ke la notacio (skribmaniero)
 
:<math> (x:y:z) </math>
 
temu pri unu de ĉi tiuj 3-D punktoj. Lasu ke
 
:<math> (u:v:w) </math>
 
temu pri alia 3-D punkto. Tiam
 
:<math> (x:y:z) = (u:v:w) \leftrightarrow x=u \wedge y=v \wedge z=w. </math>
 
Aliflanke, lasu ke al la notacio (skribmaniero)
 
:<math> [x:y:z] </math>
 
signifi la projekcion de 3-D punkto (''x''&nbsp;:&nbsp;''y''&nbsp;:&nbsp;''z'') sur la projekcia ebeno. La punkto [''x''&nbsp;:&nbsp;''y''&nbsp;:&nbsp;''z''] povas esti konsiderata esti egala al ekvivalento-klaso de 3-D punktoj kiu apartenas la 3-D linio (trairanta, pasanta) tra la punktoj (''x''&nbsp;:&nbsp;''y''&nbsp;:&nbsp;''z'') kaj (0&nbsp;:&nbsp;0&nbsp;:&nbsp;0). Se
 
Linio 35 ⟶ 42:
:<math> (x:y:z) \equiv (u:v:w) \leftrightarrow [x:y:z] = [u:v:w]. </math>
 
== Aldono de homogenaj koordinatoj ==
 
Ĉi tiu distingo inter krampoj kaj parantezoj signifas, ke aldono de punktoj en homogenaj koordinatoj estos difinita en du malsamaj manieroj, depende de tio, ĉu la koordinatoj estas enmetitaj kun krampoj aŭ parantezoj.
 
Konsideri iamKonsideru denove la kazookazon de la projekcia ebeno. AldonoAdicio de paro dedu 3-D punktoj estas la sama kiel por ordinaraj koordinatoj:
 
:<math> (a:b:c) + (x:y:z) = (a+x:b+y:c+z). </math>
 
Aliflanke, aldonoadicio de paro de projekciitaj punktoj povas esti difinita tialtiel:
 
:<math> [a:b:c] + [x:y:z] = [z a + x c : z b + y c : c z]. </math>
Linio 51 ⟶ 58:
:<math> (a:b:c:d) + (x:y:z:w) = (a+x:b+y:c+z:d+w) </math>
 
(dum, ĉar) aldonoadicio de paro de projekciitaj punktoj estas
 
:<math> [a:b:c:d] + [x:y:z:w] = [w a + d x : w b + d y : w c + d z : d w]. </math>
 
== Skalara multipliko de homogenaj koordinatoj ==
 
Estas du specoj de skalara multipliko: unu por neprojekciitaj punktoj kaj alia unu por projekciitaj punktoj.
 
KonsideriKonsideru skalaroskalaron ''a'' kaj neprojekciitaneprojekciitan 3-D punkto (''x''&nbsp;:&nbsp;''y''&nbsp;:&nbsp;''z''). Tiam
 
:<math> a (x:y:z) = (a x : a y : a z). </math>
 
Rimarku ke
(Rimarki, Avizo), ke
 
:<math> (x:y:z) \equiv a (x:y:z) </math>
Linio 71 ⟶ 78:
:<math> (x:y:z) \ne a (x:y:z). </math>
 
Nun konsiderikonsideru la skalaroskalaron ''a'' kaj projekciita)projekciitan punkto [''x'' : ''y'' : ''z'']. Tiam
 
:<math> a [x:y:z] = [a x : a y : z] </math>
Linio 79 ⟶ 86:
:<math> [x:y:z] \ne a [x:y:z]. </math>
 
(Rimarki, Avizo)Rimarku tamen specialaspecialan okazookazon - se <math> a = z = 0 </math>, la pli supre formulo donas [0:0:0] kiel rezulto, kiu kiel ni scii ne prezenti (ĉiu,prezentas iu)iun punkto. Ja <math> 0 \cdot \infty </math> estas nedefinita, (do, tiel) ĉi tiu estastio ne krevaĵoestas en la difino.
 
== Linearaj kombinaĵoj de punktoj priskribis kun homogenaj koordinatoj ==
 
Estu tie esti paro de punktoj '''A''' kaj '''B''' en projekcia 3-spaco, kies homogenaj koordinatoj estas
Linio 95 ⟶ 102:
La koordinatoj ''X'', ''Y'', kaj ''Z'' povas esti konsiderataj kiel [[Numeratoro|numeratoroj]], (dum, ĉar) la ''W'' koordinato povas esti konsiderata kiel denominatoro. Por adicii homogena koordinata estas necese, ke la denominatoro esti komuna. Alie ĝi estas necese reskaligi la koordinatojn ĝis ĉiuj denominatoroj estas komunaj. Homogenaj koordinatoj estas ekvivalento [[supren al]] (ĉiu, iu) uniformo reskaligo.
 
=== Ambaŭ punktoj estas afina ===
 
Se ambaŭ punktoj estas en afina 3-spaco, tiam <math> W_A \ne 0 </math> kaj <math> W_B \ne 0 </math>. Ilia lineara kombinaĵo estas
Linio 107 ⟶ 114:
:: <math> = \left[ a {X_A \over W_A} + b {X_B \over W_B} : a {Y_A \over W_A} + b {Y_B \over W_B} : a {Z_A \over W_A} + b {Z_B \over W_B} : 1 \right] . </math>
 
=== Ambaŭ punktoj estas je malfinio ===
 
Se ambaŭ punktoj estas sur la ebeno je malfinio, tiam ''W''<sub>''A''</sub> = 0 kaj ''W''<sub>''B''</sub> = 0. Ilia lineara kombinaĵo estas
Linio 115 ⟶ 122:
:::::: <math> = [a X_A + b X_B : a Y_A + b Y_B : a Z_A + b Z_B : 0]. </math>
 
=== Unu punkto estas afina kaj la alia je malfinio ===
Estu la unua punkto esti afina, tiel ke <math> W_A \ne 0 </math>. Tiam
 
Linio 126 ⟶ 133:
kio signifas, ke la punkto je malfinio estas "domina".
 
=== Ĝenerala kazookazo ===
 
La kalkulo povas ankaŭ esti portita super sen distingi inter kazojokazoj simile al la aldono de du punktoj:
 
:<math> a [X_A:Y_A:Z_A:W_A] + b [X_B:Y_B:Z_B:W_B] </math>
Linio 134 ⟶ 141:
:: <math> = [a W_B X_A + b W_A X_B:a W_B Y_A + b W_A Y_B:a W_B Z_A + b W_A Z_B:W_A W_B] </math>
 
Startanta de ĉi tiutio, oni povas raore-ricevi la formulojformulojn por okazoj pli supre kazoj.
 
En apartaAaparte, aplikanta ĉi tiu formulon en la degeneraj kazoj donas ni (tiu, ke, kiu) sumanta <math> [0:0:0:0] </math> kun io alia produktas rezulton <math> [0:0:0:0] </math> denove.▼
 
== Vidu ankaŭ ==
▲En aparta, aplikanta ĉi tiu formulon en la degeneraj kazoj donas ni (tiu, ke, kiu) sumanta <math> [0:0:0:0] </math> kun io alia produktas <math> [0:0:0:0] </math> denove.
 
'''Vidu ankaŭ jenon::'''* [[pezocentrajPezocentraj koordinatoj]].
 
[[Kategorio:Lineara algebro]]
[[Kategorio:Projekcia geometrio]]
 
[[de:Homogene Koordinaten]]
[[en:Homogeneous coordinates]]
[[fr:Coordonnées homogènes]]
Elŝutita el "https://eo.wikipedia.org/wiki/Homogenaj_koordinatoj"