Koŝia vico: Malsamoj inter versioj
| [nekontrolita versio] | [nekontrolita versio] |
Enhavo forigita Enhavo aldonita
Maksim (diskuto | kontribuoj) e Alidirektigis al Kompleta |
Maksim (diskuto | kontribuoj) Neniu resumo de redakto |
||
Linio 1:
{{polurinda}}
En [[analitiko]], '''koŝia vico''', nomis post [[Augustin Koŝio]], estas [[vico]] kies eroj iĝas ''proksimajn'' kiam la plu kaj plu sekvaj eroj de la vico estas konsidferataj. Ali vorte, per preno de finia numero de eroj de la starto de la vico oni povas fari la [[metriko (matematiko)|distanco]] inter ĉiu du ceteraj eroj ajne malgrandan.
Koŝiaj vicoj postulas la nocio de distanco tiel ili povas nur esti difinitaj en [[metrika spaco]]. Ĝeneraligoj al pli abstraktaj uniformaj spacoj ekzisti en la formo de [[koŝia filtrilo]] kaj [[koŝia reto]].
Ili estas de intereso ĉar en [[plena spaco]], ĉiuj tia vicoj [[konverĝo|konverĝas]] al [[limigo de vico|limigo]], kaj oni povas provi la koŝiecon sen scio de la valoro de la limigo (se ĝi ekzistas), en kontrasto al la difino de konverĝo.
== Koŝia vico de reelaj nombroj==
Vico
:<math>x_1, x_2, x_3, \ldots </math>
de [[reela nombro|reelaj nombroj]] estas '''koŝio''', se por ĉiu pozitiva reela nombro ''r > 0'' estas pozitiva [[entjero]] ''N'' tia ke por ĉiuj entjeroj ''m'',''n'' tiaj ke ''m > N'', ''n > N'':
:<math>|x_m - x_n| < r, </math>
kie la vertikalaj strekoj estas la [[absoluta valoro]].
== (Koŝia vico, Koŝi-vico) en metrika spaco ==
En la sama vojo unu povas difini (Koŝiaj vicoj, Koŝi-vicoj) de racionalaj nombroj kaj kompleksaj nombroj. Pli ĝenerale, unu (majo, povas) difini (Koŝiaj vicoj, Koŝi-vicoj) en (ĉiu, iu) metrika spaco; tiam <math>|x_m - x_n| </math> estas (anstataŭigita, anstataŭigis) per la ''distanco'' <math>d(x_m, x_n) </math> inter <math>x_m</math> kaj <math>x_n</math>.
Formale, donita [[metrika spaco]] (''M'', ''d''), vico
:<math>x_1, x_2, x_3, \ldots </math>
estas Koŝio, se por ĉiu pozitiva [[reela nombro]] ''r'' > 0 estas [[entjero]] ''N'' tia (tiu, ke, kiu) por ĉiuj (entjeroj, entjeras) ''m'',''n'' > ''N'', la distanco
:<math>d(x_m, x_n)</math>
estas malpli ol ''r''. Malglate parolanta, la (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la vico estas prenanta pli proksima kaj pli proksima kune kvazaŭ (tiu, ke, kiu) (pensigas, sugestas) (tiu, ke, kiu) la vico devi havi [[Limeso|limigo]] en ''M''. _Nonetheless_, ĉi tiu (majo, povas) ne esti la (kesto, okazo).
== Pleneco ==
Metrika spaco ''X'' en kiu ĉiu (Koŝia vico, Koŝi-vico) havas limigo (en ''X'') estas (nomita, vokis) [[Plena spaco|plenumi]].
=== Ekzemplo: reelaj nombroj ===
La [[Reela nombro|reelaj nombroj]] estas plenumi, kaj la norma konstruado de la reelaj nombroj engaĝas (Koŝiaj vicoj, Koŝi-vicoj) de [[Racionala nombro|racionalaj nombroj]].
=== Kontraŭekzemplo: racionalaj nombroj ===
La [[Racionala nombro|racionalaj nombroj]] '''Q''' estas ne plenumi (por la kutima distanco):
Estas (vicoj, vicas) de (racionaloj, racionalas) (tiu, ke, kiu) konverĝi (en '''R''') al [[Neracionala nombro|(neracionalaj nombroj, neracionaloj)]]; ĉi tiuj estas (Koŝiaj vicoj, Koŝi-vicoj) havanta ne limigo en '''Q'''.
Ekzemple:
* La vico difinis per ''x<sub>0</sub> = 1'', ''x<sub>n+1</sub>'' = (''x<sub>n</sub>'' + 2/''x<sub>n</sub>'')/2 konsistas de racionalaj nombroj (1, 3/2, 17/12,...), kiu estas klara de la difino; ĝi konverĝas al la [[Neracionala nombro|(malracia, malracionala)]] kvadrata radiko de du, vidi Babilona maniero de komputanta kvadrata radiko.
* La (valoroj, valoras) de la eksponenta funkcio, sinuso kaj kosinusaj funkcioj, (eksp, exp)(''x''), (peko, peki)(''x''), cos(''x''), estas (malracia, malracionala) por (ĉiu, iu) (racionala, racionalo) valoro de ''x''≠0, sed estas difinita kiel limigo de (racionala, racionalo) vico kiu estas ilia _Maclaurin_ serio.
=== Aliaj propraĵoj ===
Ĉiu konverĝa vico estas (Koŝia vico, Koŝi-vico), kaj ĉiu (Koŝia vico, Koŝi-vico) estas [[Barita funkcio|barita]]. Se <math>f \colon M \rightarrow N</math> estas [[unuforme kontinua]] mapo inter la metrikaj spacoj ''M'' kaj ''N'' kaj (''x''<sub>''n''</sub>) estas (Koŝia vico, Koŝi-vico) en ''M'', tiam <math>(f(x_n))</math> estas (Koŝia vico, Koŝi-vico) en ''N''. Se <math>(x_n)</math> kaj <math>(y_n)</math> estas du (Koŝiaj vicoj, Koŝi-vicoj) en la (racionala, racionalo), (reala, reela) aŭ kompleksaj nombroj, tiam la (sumo, sumi) <math>(x_n + y_n)</math> kaj la (produkto, produto) <math>(x_n y_n)</math> estas ankaŭ (Koŝiaj vicoj, Koŝi-vicoj).
==(Ĝeneraligoj, Ĝeneraligas)==
=== (Koŝiaj vicoj, Koŝi-vicoj) en topologiaj vektoraj spacoj ===
Estas ankaŭ koncepto de (Koŝia vico, Koŝi-vico) por [[topologia vektora spaco]] ''X'': (Preno, Preni) loka bazo ''B'' por ''X'' pri 0; tiam (''x''<sub>''k''</sub>) estas (Koŝia vico, Koŝi-vico) se por ĉiuj (membroj, membras) ''V'' de ''B'', estas iu nombro ''N'' tia (tiu, ke, kiu) ĉiam
''n'',''m'' > ''N'',
''x''<sub>''n''</sub> - ''x''<sub>''m''</sub> estas ero de ''V''. Se la topologio de ''X'' estas kongrua kun traduko-invarianta metriko ''d'', la du (difinoj, difinas) (kongrui, konsenti).
=== (Koŝiaj vicoj, Koŝi-vicoj) en (grupoj, grupas) ===
Estas ankaŭ koncepto de (Koŝia vico, Koŝi-vico) en grupo ''G'':
Estu ''H''=(''H<sub>r</sub>'') esti malkreskanta vico de normalaj subgrupoj de ''G'' de finia indekso.
Tiam vico (''x<sub>n</sub>'') en ''G'' estas dirita al esti Koŝio (w.r.t. ''H'') [[se kaj nur se]] por (ĉiu, iu) ''r'' estas ''N'' tia (tiu, ke, kiu) ''∀m,n > N, x<sub>n</sub> x<sub>m</sub><sup>-1</sup> ∈ H<sub>r</sub>''.
La aro ''C'' de tia (Koŝiaj vicoj, Koŝi-vicoj) (formoj, formas) grupo (por la _componentwise_ (produkto, produto)), kaj la aro ''C<sub>0</sub>'' de nula (vicoj, vicas) (s.th. ''∀r, ∃N, ∀n > N, x<sub>n</sub>∈H<sub>r</sub>'') estas normala subgrupo de ''C''. La [[kvocienta grupo]] ''C/C<sub>0</sub>'' estas (nomita, vokis) la (kompletigo, plenigo) de ''G'' w.r.t. ''H''.
Unu povas tiam montri (tiu, ke, kiu) ĉi tiu (kompletigo, plenigo) estas izomorfia al la [[inversa limigo]] de la vico ''(G/H<sub>r</sub>)''.
Se ''H'' estas _cofinal_ vico (kio estas, (ĉiu, iu) normala subgrupo de finia indekso enhavas iu ''H<sub>r</sub>''), tiam ĉi tiu (kompletigo, plenigo) estas kanona en la (senso, senco) (tiu, ke, kiu) ĝi estas izomorfia al la inversa limigo de ''(G/H)<sub>H</sub>'', kie ''H'' (varias, ŝanĝiĝas) super ''ĉiuj'' normalaj subgrupoj de finia indekso.
Por plui (detaloj, detalas), vidi _ch_. Mi.10 en _Lang_'s "Algebro".
[[Kategorio:Metrika geometrio]]
[[Kategorio:Analitiko]]
[[Kategorio:Topologio]]
[[Kategorio:Vicoj]]
[[ru:Фундаментальная последовательность]]
| |||