Gaŭsa entjero: Malsamoj inter versioj
| [nekontrolita versio] | [nekontrolita versio] |
Enhavo forigita Enhavo aldonita
Maksim (diskuto | kontribuoj) Neniu resumo de redakto |
Maksim (diskuto | kontribuoj) Neniu resumo de redakto |
||
Linio 19:
:1, −1, ''i'' kaj −''i''.
[[Dosiero:Gauss-primes-768x768.png|thumb|300px|Gaŭsaj primoj sur kompleksa ebeno]]
La primaj eroj de '''Z'''[''i''] estas ankaŭ nomataj '''gaŭsa primoj'''. Iuj [[primo]]j (kiuj, kontraste, estas iam nomataj kiel "racionalaj primoj") estas ne gaŭsaj primoj; ekzemple 2 = (1 + ''i'')(1 − ''i'') kaj 5 = (2 + ''i'')(2 − ''i'').
Tiuj racionalaj primoj kiuj estas kongruaj al 3 ([[modula aritmetiko|mod]] 4) estas gaŭsaj primoj; tiuj kiuj estas kongruaj al 1 (mod 4) ne estas. Tio estas pro tio, ke primoj de la formo 4''k'' + 1 ĉiam povas esti skribitaj kiel la sumo de du kvadratoj ([[teoremo de Fermat]]), do, ni havas
Linio 33 ⟶ 34:
La ringo de gaŭsaj entjeroj estas la [[integrala fermaĵo]] de '''Z''' en la [[korpo (algebro)|kampo]] de [[gaŭsa racionala|gaŭsaj racionaloj]] '''Q'''(''i'') konsistanta el la kompleksaj nombroj kies reela kaj imaginara partoj estas ambaŭ [[racionala nombro|racionalaj]].
Estas facile vidi grafike, ke ĉiu [[kompleksa nombro]] estas en <math>\frac{\sqrt 2}{2}</math> unuoj de gaŭsa entjero. Alivorte, ĉiu kompleksa nombro (kaj tial ĉiu Gaŭsa entjero) estas en <math>\frac{\sqrt 2}{2}N(z)</math> unuoj de iu oblo de z, kie z estas kiu ajn
== Historia fono ==
La ringon de gaŭsaj entjeroj prezentis [[Carl Friedrich Gauss]] en [[1829]] - [[1831]] dum kiam li studis leĝojn de reciprokeco kiuj estas ĝeneraligoj de la teoremo de [[kvadrata reciproko]] kiun li sukcesis pruvi por la unua fojo en [[1796]]. Aparte, li serĉis rilatojn inter ''p'' kaj ''q'' tiajn, ke ''q'' estu kuba restaĵo de ''p'' (t.e. ''x''<sup>3</sup> = ''q''(mod ''p'')) aŭ tia, ke ''q'' estu dukvadrata restaĵo de ''p'' (t.e. ''x''<sup>4</sup> = ''q''(mod ''p'')). Dum tiu esplorado li malkovris, ke iuj rezultoj pli facile pruveblas per traktado en la ringo de
Li ellaboris la propraĵojn de faktorigado kaj pruvis la unikecon de faktorado en primojn en '''Z'''[i], kaj malgraŭ tio, ke li malmulte eldonigis, li faris iujn komentojn indikantajn, ke li konscias la gravecon de [[entjeroj de Eisenstein]] al la dirado kaj pruvado de la rezultoj pri kuba reciprokeco.
==
* [[Entjero de Eisenstein]]
| |||