Ebeno (matematiko): Malsamoj inter versioj

'''Ebeno''', en [[matematiko]], estas [[du-dimensia]] surfaco perfekte plata, kiu povas esti komprenita kiel infinite vasta kaj infinitezime maldika aĵo orientita en ia spaco.

 

Kiel la [[eŭklida spaco]], ebeno estas tia spaco, kiu, estante du malsamaj punktoj, enhavas la unikan rekton, kiu trapasas tiujn punktojn.

 

En eŭklida ebeno povas esti difinita [[koordinatosistemo]] el du koordinatoj, kiu povas difini ĉiun punkton en la ebeno. [[Karteziaj koordinatoj]] estas plej kutime uzataj, ili tie havas [[absciso]]n kaj [[ordinato]]n.

 

Tiu ĉi sekcio speciale traktas ebenojn lokitaj en tridimensia spaco, precipe en [[Kartezia produto|ℝ³]].

 

Unu eŭklida ebeno povas esti unike difinita per iu ajn maniero sube:

 

En [[dimensio|tridimensia]] [[eŭklida spaco]] oni povas uzi jenajn ecojn de ebeno, kiuj ne ĉiam validas en spacoj kun pli granda dimensieco:

 

* Du ebenoj, [[perpendikularo|perpendikularaj]] al la sama linio estas paralelaj unu al la alia.

 

En [[tridimensia spaco]] plia grava metodo difini ebenon estas indiki [[punkto]]n kaj la [[vektoro]]n, kiu estas perpendikulara al la ebeno.

 

Alternative, oni povas parametre priskribi ebenon kiel aron de ĉiuj punktoj de la formo <math>\vec{u} + s\vec{v} + t\vec{w},</math> kie ''s'' kaj ''t'' varias tra ĉiuj reelaj nombroj, kaj <math>\vec{u}</math>, <math>\vec{v}</math> kaj <math>\vec{w}</math> estas donitaj vektoroj, kiuj difinias la ebenon. <math>\vec{u}</math> projekcias de la origino de arbitra punkto sur la ebeno, kaj <math>\vec{v}</math> kaj <math>\vec{w}</math> povas esti videbligitaj kiel komencentaj en <math>\vec{u}</math> kaj indikantaj al diversaj direktoj laŭlonge de la ebeno. <math>\vec{v}</math> kaj <math>\vec{w}</math> povas, sed ne nepre devas esti perpendikularaj.

 

* Ebeno, kiu trairas tra tri punktojn <math>\bold p_1 = (x_1,y_1,z_1) </math>, <math>\bold p_2 = (x_2,y_2,z_2) </math> kaj <math>\bold p_3 = (x_3,y_3,z_3) </math>, povas esti difinita kiel aro de ĉiuj punktoj (x,y,z), kiuj koheras al jena [[determinanto|determinanta]] ekvacio:

 

kaj kiel la punkto <math>\bold p</math> povas esti prenita ajna de la punktoj <math>\bold p_1, \bold p_2</math> aŭ <math>\bold p_3</math>.

 

Inter la ebeno <math>\Pi : ax + by + cz + d = 0\,</math> kaj la punkto <math>\bold p_1 = (x_1,y_1,z_1) </math>, kiu ne nepre kuŝas sur la ebeno, la plej mallonga distanco inter <math>\bold p_1</math> ĝis la ebeno estas

 

:<math> D = \ | a x_1 + b y_1 + c z_1+d | .</math>

 

 

 

Oni konsideru du kruciĝantajn ebenojn, priskribitajn kiel <math>\Pi_1 : a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0\,</math> kaj <math>\Pi_2 : a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0\,</math>, la [[duedra angulo]] inter ili estas difinita kiel la [[angulo]] <math>\alpha</math> inter ties normalaj direktoj:

:<math>\cos\alpha = \hat n_1\cdot \hat n_2 = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}. </math>

 

 

{{el}} [http://mathworld.wolfram.com/Plane.html Ebeno], ĉe Mathworld ([[angle]])

 

[[Kategorio:Eŭklida geometrio]]

 

[[af:Vlak]]

[[ar:مستوي]]

[[ast:Planu (xeometría)]]