Kurba integralo: Malsamoj inter versioj

18 bitokojn forigis ,  antaŭ 13 jaroj
e
roboto aldono de: ar:تكامل خطي; cosmetic changes
[kontrolita revizio][kontrolita revizio]
e (roboto modifo de: zh:曲线积分)
e (roboto aldono de: ar:تكامل خطي; cosmetic changes)
== Kompleksa analitiko ==
 
La voja integralo estas fundamenta ilo en [[kompleksa analitiko]]. Supozu, ke ''U'' estas malfermita subaro de [[Kompleksa nombro|'''C''']], γγ : [''a'', ''b''] → ''U'' estas [[rektifebla kurbo]] kaj ''f'' : ''U'' → '''C''' estas funkcio. Tiam la voja integralo
 
:<math>\int_\gamma f(z)\,dz</math>
La integralo estas tiam la [[Limeso|limigo]] de tiu sumo, ĉar la longoj de la subdividaj intervaloj proksimiĝas al nulo.
 
Se &gamma;γ estas kontinue diferencialebla kurbo, la voja integralo povas esti komputita kiel integralo de funkcio de reela variablo:
 
:<math>\int_\gamma f(z)\,dz
=\int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma\,'(t)\,dt.</math>
 
Kiam &gamma;γ estas fermita kurbo, tio estas, ĝia komenca kaj fina punktoj koincidas, la notacio
 
:<math>\oint_\gamma f(z)\,dz</math>
 
estas ofte uzita por la voja integralo de ''f'' laŭ &gamma;γ.
 
Gravaj propozicioj pri vojaj integraloj estas la [[koŝia integrala teoremo]] kaj [[koŝia integrala formulo]].
=== Ekzemplo ===
 
Konsideri la funkcio ''f''(''z'')=1/''z'', kaj lasu, ke la konturo ''C'' estu la unuobla cirklo pri 0, kiu povas esti parametrigita per ''e''<sup>mi''t''</sup>, kun ''t'' en [0, 2&pi;]. Anstataŭigante, ni trovas
:<math>\oint_C f(z)\,dz = \int_0^{2\pi} {1\over e^{it}} ie^{it}\,dt = i\int_0^{2\pi} e^{-it}e^{it}\,dt</math>
:<math>=i\int_0^{2\pi}\,dt = i(2\pi-0)=2\pi i</math>
=== Difino ===
 
Por iu [[skalara kampo]] ''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''R''', la vojo (aŭ linio) integralo sur kurbo ''C'', parametrigita kiel '''''r'''''(''t'') kun ''t'' &isin; [a, b], estas difinita per
 
:<math>\int_C f\ ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)|\, dt.</math>
 
Simile, por [[vektora kampo]] '''F''' : '''R'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''R'''<sup>''n''</sup>, la voja integralo sur kurbo ''C'', parametrigita kiel '''''r'''''(''t'') kun ''t'' &isin; [a, b], estas difinita per
 
:<math>\int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,d\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.</math>
La voja integralo havas multajn aplikon en fiziko. Ekzemple, la laboro farita sur partiklo vojaĝanta sur kurbo ''C'' ene forta kampo prezentita kiel vektora kampo '''F''' estas la voja integralo de '''F''' sur ''C''.
 
=== Interrilato kun la voja integralo en kompleksa analitiko ===
 
Vidantaj kompleksaj nombroj kiel 2D-vektoroj, la voja integralo en 2D de vektora kampo korespondas al la reela parto de la voja integralo de la [[kompleksa konjugito]] de la respektiva kompleksa funkcio de kompleksa variablo.
== Kvantummekaniko ==
 
La "voja integrala formulaĵo" de [[kvantummekaniko]] reale signifas ne vojajn integralojn en ĉi tiu senco, sed [[Funkcionala integralado|(funkcionala, funkcia)jn integralojn]], tio estas, integraloj super spaco de vojoj, de funkcio <em>''de</em>'' ebla vojo. Tamen, vojaj integraloj en la senco de ĉi tiu artikolo estas grava en kvantummekaniko; ekzemple, kompleksa kontura integralado estas ofte uzata dum kiam oni komputas amplitudojn de [[probablo]]a en kvantuma verŝada teorio.
 
== Vidu ankaŭ ==
[[Kategorio:Kurboj]]
 
[[ar:تكامل خطي]]
[[ca:Integral curvilínia]]
[[cs:Křivkový integrál]]
150 227

redaktoj