Beta-funkcio: Malsamoj inter versioj
| [kontrolita revizio] | [kontrolita revizio] |
Enhavo forigita Enhavo aldonita
e roboto aldono de: pl:Funkcja Β |
Neniu resumo de redakto |
||
Linio 18:
:<math>
\mathrm B(x,y)=\frac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(y)_{n+1}}{n!(x+n)}\quad\mathrm{
</math>
:<math>
\Beta(x,y) = \frac{x+y}{x y} \prod_{n=1}^\infty \left( 1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1},
\!</math>
==Ecoj==
* Funkcio β estas simetria:
*:<math>\mathrm B(x,y) = \mathrm B(y,x)\;</math>
*aliaj ecoj:
*:<math>
\Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) =
\dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)},
\!</math>
==Derivaĵo==
:<math>{\partial \over \partial x} \mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{B}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y))</math>
kaj <math>\ \psi(x)</math> estas [[funkcio digamma]].
==Pliproksimigoj==
[[Formulo de Stirling]] donas aproksiman formulon:
:<math>\Beta(x,y) \sim \sqrt {2\pi } \frac{{x^{x - \frac{1}{2}} y^{y - \frac{1}{2}} }}{{\left( {x + y} \right)^{x + y - \frac{1}{2}} }}</math>
por grandaj: ''x'' kaj ''y''. Sed se ''x'' estas granda kaj ''y'' estas konstanta, tiam
:<math>\Beta(x,y) \sim \Gamma(y)\,x^{-y}.</math>
==Senkopleta funkcio β==
La '''Senkopleta funkcio β''', estas pli ĝenerala formulo, kaj difinita kiel:
:<math> \Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt. \!</math>
Por ''x'' = 1, la senkomleta funkcio iĝas ''kompleta'' funkcio.
'''Regulara senkompleta funkcio β''' estas difinita kiel:
:<math> I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}. \!</math>
La '''regulara senkompleta funkcio β''' povas esprimi kiel:
:<math> I_x(a,b) = \sum_{j=a}^{a+b-1} {(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!} x^j (1-x)^{a+b-1-j}. </math>
===Ecoj===
:<math> I_0(a,b) = 0 \, </math>
:<math> I_1(a,b) = 1 \, </math>
:<math> I_x(a,b) = 1 - I_{1-x}(b,a) \, </math>
[[Kategorio:Specialaj funkcioj]]
| |||