Integralebla funkcio: Malsamoj inter versioj
| [kontrolita revizio] | [kontrolita revizio] |
Enhavo forigita Enhavo aldonita
rimarkoj |
→Rimarkoj: Fundamentaj ecoj |
||
Linio 38:
* Kondiĉo (b) en supera difino, signifas ke vico <math>(f_n)_{n\in{\mathbb N}}</math> estas [[konverĝeco|konverĝa]] en seco de mezuro de funkcio ''f''.
== Fundamentaj ecoj ==
Kiel supren, estu <math>(X,{\mathcal F},\mu)</math> [[mezurebla spaco]] kun mezuro.
*Se <math>f,g:X\longrightarrow {\mathbb R}</math> estas integraleblecaj, tiam [[lineara kombinaĵo]] de ili <math>\alpha f+\beta g</math> (por <math>\alpha,\beta\in {\mathbb R}</math>) kaj <math>|f|</math> estas ankaŭ integralebleca.
*Se <math>f,g:X\longrightarrow {\mathbb R}</math>, ''f'' estas mezurebla, ''g'' estas integralebla kaj <math>\mu(\{x\in X:g(x)<|f(x)|\})=0</math>, tiam, ''f'' estas integralebla (an. mezurebla funkcio, de kiu [[absoluta valoro]] estas preskaŭ ĉie pli granda ol integralebla funkcio estas integralebla). Ankaŭ pli:
: <math>-\int g\ d\mu\leqslant \int f\ d\mu\leqslant \int g\ d\mu</math>.
* Mezurebla funkcio ''f'' estas integralebla tiam kaj nur tiam, kiam absoluta valoro de ĝi <math>|f|</math> estas integralebla.
* '''[[Teoremo de Lebesgue pri barita konverĝeco]]''': Konsideru, ke:
:: (a) <math>(f_n)_{n\in{\mathbb N}}</math> estas vico de integraleblaj funkcioj, kiu konverĝas [[aro kun mezuro nulo|preskaŭ ĉie]] al funkcio ''f''
:: (b) ''g'' estas integralebla funkcio, tiel ke <math>(\forall n\in {\mathbb N})(\forall x\in X)(|f_n(x)|\leqslant |g(x)|)</math>.
: Tiam ''f'' estas integralebla funkcio. Kaj ankaŭ pli <math> \lim_n \int f_n d\mu = \int f d\mu </math>.
* '''[[Lemato de Fatou]]''': Se <math>(f_n)_{n\in{\mathbb N}}</math> estas ne malpozitiva vico de integraleblaj funkcioj, tiel ke <math>\liminf_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu<\infty</math>, tiam funkcio <math>f:X\longrightarrow {\mathbb R}\cup\{\infty\}</math> difinita per
:: <math>f(x)=\liminf_{n \to \infty} f_n(x)</math> por <math>x\in X</math>
: estas integralebla. Kaj pli <math>\int f\ d\mu\leqslant \liminf\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu</math>.
[[Kategorio:Reela analitiko]]
| |||