Gradiento (matematiko): Malsamoj inter versioj

Rapideco de pligrandiĝo de la skalara kampo en iu direkto povas esti kalkulita kiel [[skalara produto]] de la gradiento kaj [[unuobla vektoro]] en la direkto.

 

Konsideru ĉambron en kiu la temperaturo estas donita per skalara kampo <math>\phi</math>, do je ĉiu punkto <math>(x,y,z)</math> la temperaturo estas <math>\phi(x,y,z)</math>. Alprenu ke la temperaturo ne ŝanĝiĝas kun tempo. Tiam, je ĉiu punkto en la ĉambro, la gradiento je la punkto estos montras la direkton en kiun iĝas pli varme plej rapide. La grandeco de la gradiento montras kiel rapide iĝas pli varme en ĉi tiu direkto.

 

Konsideri monteto kies alto je punkto ''(x, y)'' estas ''H(x, y)''. La gradiento de ''H'' je punkto estas direkte al la plej kruta [[inklino]] je la punkto. La grandeco de la gradiento montras kiel kruta la inklino estas.

 

La gradiento de skalara funkcio ''f(x)'' estas skribata kiel

: <math>\nabla</math>f

La rezulto estas invarianta sub ĉiuj turnoj de la koordinatosistemo, do sub transformoj per ĉiuj [[perpendikulara matrico|perpendikularaj matricoj]]. Ĉi tiel devas esti ĉar laŭ la senco gradiento ne dependas de koordinatosistemo uzata.

 

Gradiento de [[funkcio (matematiko)|funkcio]] ''f'' kun argumento en [[eŭklida spaco]] <math>\mathbb{R}^n</math> kaj la rezulto en <math>\mathbb{R}</math> en iu punkto ''x''₀ in <math>\mathbb{R}^n</math> donas la plej bonan [[lineara proksimumigo|linearan proksimumigon]] de ''f'' ĉirkaŭ ''x''₀:

: <math> f(x) \approx f(x_0) + (\nabla f)_{x_0}\cdot(x-x_0) </math>

kie <math>(\nabla f)_{x_0}</math> estas gradiento de ''f'' en <math>x_0</math>, kaj la punkto signifas [[skalara produto|skalaran produton]] en <math>\mathbb{R}^n</math>. Ĉi tio estas du la unuaj eroj de [[vico de Taylor]] de ''f'' je ''x''₀.

 

En [[cilindraj koordinatoj]]:

 

:''φ'' estas la [[zenita angulo]].

 

Estu ''c'' skalara konstanto, estu ''u'' kaj ''v'' skalaraj kampoj.

:''grad c = '''0'''''

:''grad (u v) = u (grad v) + v (grad u)''

 

La gradiento de la funkcio ''''<math>=2x+3y^2-\sin(z)</math> estas:

 

\end{pmatrix}.</math>

 

*[[Nabla operatoro]]

*[[Diverĝenco]]