Vikipedio

Malfermita aro: Malsamoj inter versioj

Browse history interactively
[nekontrolita versio][nekontrolita versio]
← Iru al antaŭa ŝanĝoIru al sekvanta ŝanĝo →
Enhavo forigita Enhavo aldonita
VidaVikiteksto
Broadbot (diskuto | kontribuoj)
5 922 redaktoj
e roboto aldono de: da:Åben mængde
e kor HTML (Check: 38) AWB
Linio 1:
En [[topologio]] kaj rilatantaj kampoj de [[matematiko]], [[Aro (matematiko)|aro]] <i>''U</i>'' estas nomata kiel '''malfermita''' se, oni povas movi ĉiun punkton <i>''x</i>'' el <i>''U</i>'' per malfinie malgrando movo en ĉiu direkto kaj la punkto denove estos ene de <i>''U</i>''.
En alia vortoj, se <i>''x</i>'' estas ĉirkaŭbarita nur per eroj de <i>''U</i>''; ĝi ne povas esti sur rando de <i>''U</i>''.
 
Kiel tipa ekzemplo, konsideru la malfermita [[Intervalo (matematiko)|intervalon]] (0,1) konsistantan el ĉiuj [[Reela nombro|reelaj nombroj]] <i>''x</i>'' : 0 &lt; <i>''x</i>'' &lt; 1. Ĉi tie, la topologio estas kiel la kutima topologio sur la reela linio. Se oni movos ĉi tiun punkton <i>''x</i>'' iom malmulte, tiam la movita versio estos ankoraŭ nombro inter 0 kaj 1, se la movo estas ne tro granda.
Pro tio, la intervalo (0,1) estas malfermita.
Tamen, la intervalo <nowiki>(0,1]</nowiki> konsistanta de ĉiuj nombroj <i>''x</i>'' kun 0 &lt; <i>''x</i>'' ≤ 1 estas ne malfermita; se oni prenas <i>''x</i>'' = 1 kaj movas ĝin eĉ malmulte en la pozitiva direkto, ĝi estos ekster <nowiki>(0,1]</nowiki>.
<!--
(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke) ĉu donita aro <i>''U</i>'' estas (malfermi, malfermita) dependas sur la ĉirkaŭbaranta spaco, la "_wiggle_ ĉambro".
Ekzemple, la aro de [[Racionala nombro|(racionalaj nombroj, racionoj, racionaloj)]] inter 0 kaj 1 (ekskluziva) estas (malfermi, malfermita) ''en la (racionalaj nombroj, racionoj, racionaloj)'', sed ĝi estas ne (malfermi, malfermita) ''en la reelaj nombroj''.
(Tononomo, Noto, Noti) ankaŭ (tiu, ke) "(malfermi, malfermita)" estas ne la kontraŭa de "[[Fermita aro|(fermita, fermis)]]" (fermita aro estas la [[Komplemento (aroteorio)|komplemento]] de malfermita aro).
Unua, estas aroj kiu estas ambaŭ (malfermi, malfermita) kaj (fermita, fermis) ((nomita, vokis) ''_clopen_ aroj''); en <b>'''R</b>''' kaj aliaj [[Koneksa spaco|koneksaj spacoj]], nur la [[malplena aro]] kaj la tuta spaco estas _clopen_, dum la aro de ĉiuj (racionalaj nombroj, racionoj, racionaloj) pli minuskla ol √2 estas _clopen_ en la (racionaloj, racionalas).
Ankaŭ, estas aroj kiu estas neniu (malfermi, malfermita) nek (fermita, fermis), kiel <nowiki>(0,1]</nowiki> en <b>'''R</b>'''.
 
== (Difinoj, Difinas) ==▼
 
▲== (Difinoj, Difinas) ==
La koncepto de malfermitaj aroj povas esti formaligita en diversaj (gradoj, gradas) de universaleco.
 
=== Funkcio-analitiko ===
Punkto eki '''R'''<sup>''n''</sup> estas (nomita, vokis) ''(malfermi, malfermita)'' kiam ĉiu punkto ''P'' de la aro estas ena punkto.
 
=== Eŭklida spaco ===
Subaro <i>''U</i>'' de la [[Eŭklida spaco|Eŭklida <i>''n</i>''-spaco]] <b>'''R</b>'''<sup><i>''n</i>''</sup> estas (nomita, vokis) ''(malfermi, malfermita)'' se, donita (ĉiu, iu) punkto <i>''x</i>'' en <i>''U</i>'', tie ekzistas [[reela nombro]] ε &gt; 0 tia (tiu, ke), donita (ĉiu, iu) punkto <i>''y</i>'' en <b>'''R</b>'''<sup><i>''n</i>''</sup> kies [[Eŭklida distanco]] de <i>''x</i>'' estas pli minuskla ol ε, <i>''y</i>'' ankaŭ apartenas al <i>''U</i>''. (Ekvivalente, ''U'' estas (malfermi, malfermita) se ĉiu punkto en ''U'' havas [[Kvartalo (matematiko)|kvartalo]] enhavis en ''U'')▼
 
▲Subaro <i>U</i> de la [[Eŭklida spaco|Eŭklida <i>n</i>-spaco]] <b>R</b><sup><i>n</i></sup> estas (nomita, vokis) ''(malfermi, malfermita)'' se, donita (ĉiu, iu) punkto <i>x</i> en <i>U</i>, tie ekzistas [[reela nombro]] ε &gt; 0 tia (tiu, ke), donita (ĉiu, iu) punkto <i>y</i> en <b>R</b><sup><i>n</i></sup> kies [[Eŭklida distanco]] de <i>x</i> estas pli minuskla ol ε, <i>y</i> ankaŭ apartenas al <i>U</i>. (Ekvivalente, ''U'' estas (malfermi, malfermita) se ĉiu punkto en ''U'' havas [[Kvartalo (matematiko)|kvartalo]] enhavis en ''U'')
 
Intuicie, ε (mezuras, kriterioj, kriterias, mezuroj) la amplekso de la permesis "_wiggles_".
 
Ekzemplo de malfermita aro en <b>'''R</b>'''<sup><i>''2</i>''</sup> (sur ebeno) devus esti ĉiuj punktoj en cirkla radiuso <b><i>'''''r</i></b>''''', kiu kontentigi la ekvacio <math>r>\sqrt{x^2+y^2}</math>.
 
Ĉar la distanco de (ĉiu, iu) punkto <i>''p</i>'' en ĉi tiu aro de la rando de la aro estas pli granda ol nulo: <math>r-\sqrt{x^2+y^2}>0</math>, ni povas aro ε al duono de ĉi tiu distanco, kiu (meznombroj, meznombras, signifas) ε estas ankaŭ pli granda ol nulo, kaj ĉiuj punktoj (tiu, ke) estas en distanco de ε al <i>''p</i>'' estas ankaŭ en la aro, tial (veriganta, kontentiganta) la kondiĉoj por malfermita aro.
 
=== Metrikaj spacoj ===
Subaro <i>''U</i>'' de [[metrika spaco]] (<i>''M</i>'',<i>''d</i>'') estas (nomita, vokis) ''(malfermi, malfermita)'' se, donita (ĉiu, iu) punkto <i>''x</i>'' en <i>''U</i>'', tie ekzistas reela nombro ε &gt; 0 tia (tiu, ke), donita (ĉiu, iu) punkto <i>''y</i>'' en <i>''M</i>'' kun <i>''d</i>''(<i>''x</i>'',<i>''y</i>'') &lt; ε, <i>''y</i>'' ankaŭ apartenas al <i>''U</i>''. (Ekvivalente, ''U'' estas (malfermi, malfermita) se ĉiu punkto en ''U'' havas kvartalo enhavis en ''U'')▼
 
▲Subaro <i>U</i> de [[metrika spaco]] (<i>M</i>,<i>d</i>) estas (nomita, vokis) ''(malfermi, malfermita)'' se, donita (ĉiu, iu) punkto <i>x</i> en <i>U</i>, tie ekzistas reela nombro ε &gt; 0 tia (tiu, ke), donita (ĉiu, iu) punkto <i>y</i> en <i>M</i> kun <i>d</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) &lt; ε, <i>y</i> ankaŭ apartenas al <i>U</i>. (Ekvivalente, ''U'' estas (malfermi, malfermita) se ĉiu punkto en ''U'' havas kvartalo enhavis en ''U'')
 
Ĉi tiu ĝeneraligas la Eŭklida spaca ekzemplo, ekde Eŭklida spaco kun la Eŭklida distanco estas metrika spaco.
 
=== Topologiaj spacoj ===
 
En [[Topologia spaco|topologiaj spacoj]], la koncepto de aperteco estas prenita al esti fundamenta.
Unu startas kun ajna aro <i>''X</i>'' kaj familio de (subaroj, subaras) de <i>''X</i>'' (veriganta, kontentiganta) certaj propraĵoj (tiu, ke) ĉiu "modera" nocio de aperteco estas supozita al havi.
(Aparte: la [[Kunaĵo|unio]] de malfermitaj aroj estas (malfermi, malfermita), la finia [[komunaĵo]] de malfermitaj aroj estas (malfermi, malfermita), kaj en aparta la [[malplena aro]] kaj <i>''X</i>'' sin estas (malfermi, malfermita).)
Tia familio <b>'''T</b>''' de (subaroj, subaras) estas (nomita, vokis) ''topologio'' sur <i>''X</i>'', kaj la (membroj, membras) de la familio estas (nomita, vokis) la ''malfermitaj aroj'' de la topologia spaco (<i>''X</i>'',<b>'''T</b>'''). (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke) malfinio (komunaĵoj, komunaĵas, intersekcoj, intersekcas) de malfermitaj aroj (bezoni, bezono, necesa) ne esti (malfermi, malfermita). Aroj (tiu, ke) povas esti konstruita kiel la komunaĵo de kalkuleble multaj malfermitaj aroj estas signifita '''[[G-delta aro|G<sub>δ</sub>]]''' aroj.
 
La topologia difino de malfermitaj aroj ĝeneraligas la metrika spaca difino:
Linio 47 ⟶ 43:
(Estas tamen topologiaj spacoj kiu estas ne metrikaj spacoj.)
 
== Uzas ==
Ĉiu [[subaro]] <i>''A</i>'' de topologia spaco <i>''X</i>'' enhavas (eble malplena) malfermita aro; la plej granda tia malfermita aro estas (nomita, vokis) la eno de <i>''A</i>''.▼
Ĝi povas esti konstruita per prenante la unio de ĉiuj malfermitaj aroj enhavis en <i>''A</i>''.▼
 
Donitaj topologiaj spacoj <i>''X</i>'' kaj <i>''Y</i>'', [[funkcio]] <i>''f</i>'' de <i>''X</i>'' al <i>''Y</i>'' estas ''[[Kontinua funkcio (topologio)|kontinua]]'' se la antaŭbildo de ĉiu malfermita aro en <i>''Y</i>'' estas (malfermi, malfermita) en <i>''X</i>''.▼
▲Ĉiu [[subaro]] <i>A</i> de topologia spaco <i>X</i> enhavas (eble malplena) malfermita aro; la plej granda tia malfermita aro estas (nomita, vokis) la eno de <i>A</i>.
La mapo <i>''f</i>'' estas (nomita, vokis) ''[[Malfermita mapo|(malfermi, malfermita)]]'' se la bildo de ĉiu malfermita aro en <i>''X</i>'' estas (malfermi, malfermita) en <i>''Y</i>''.▼
▲Ĝi povas esti konstruita per prenante la unio de ĉiuj malfermitaj aroj enhavis en <i>A</i>.
 
▲Donitaj topologiaj spacoj <i>X</i> kaj <i>Y</i>, [[funkcio]] <i>f</i> de <i>X</i> al <i>Y</i> estas ''[[Kontinua funkcio (topologio)|kontinua]]'' se la antaŭbildo de ĉiu malfermita aro en <i>Y</i> estas (malfermi, malfermita) en <i>X</i>.
▲La mapo <i>f</i> estas (nomita, vokis) ''[[Malfermita mapo|(malfermi, malfermita)]]'' se la bildo de ĉiu malfermita aro en <i>X</i> estas (malfermi, malfermita) en <i>Y</i>.
 
Malfermita aro sur la [[reala linio]] havas la karakteriza propraĵo (tiu, ke) ĝi estas numerebla unio de disa (malfermi, malfermita) (intervaloj, intervalas).
 
== (Duktoj, Duktas) ==
 
[[Dukto]] estas (nomita, vokis) '''(malfermi, malfermita)''' se ĝi estas dukto sen rando kaj se ĝi estas ne [[Kompakta spaco|kompakta]].
Ĉi tiu nocio diferencas io de la aperteco diskutis pli supre.
-->
== Vidu ankaŭ ==
*[[Fermita aro]]
 
* [[FermitaFermito-malfermita aro]]
*[[Fermaĵo]]
* [[Fermito-malfermita aro]]
* [[FermaĵoRando (topologio)]]
* [[RandoLimiga (topologio)punkto]]
* [[LimigaTopologia punktospaco]]
* [[Komplemento (matematiko)|Komplemento]]▼
* [[Topologia spaco]]
* [[Malfermita dukto]]▼
▲* [[Komplemento (matematiko)|Komplemento]]
▲* [[Malfermita dukto]]
 
{{komentitaj partoj}}
Elŝutita el "https://eo.wikipedia.org/wiki/Malfermita_aro"