Hiperreela nombro: Malsamoj inter versioj
| [kontrolita revizio] | [kontrolita revizio] |
Enhavo forigita Enhavo aldonita
Goren (diskuto | kontribuoj) |
Goren (diskuto | kontribuoj) |
||
Linio 73:
===Konstruo per ultrapotencoj===
Ni konstruos korpon de hiperreeloj per [[vico]]j de reeloj. Ni povas fakte adicii kaj multipliki la vicojn pokomponente, kiel, ekzemple:
:<math> (a_0, a_1, a_2, \ldots) + (b_0, b_1, b_2, \ldots) = (a_0 +b_0, a_1+b_1, a_2+b_2, \ldots) </math>
kaj analoge por multipliko.
Tiu ĉi operacio ebligas rigardi aron de tiaj vicoj kiel [[komuta ringo|komutan ringon]], kaj do kiel [[algebro]]n '''A'''. Ni nature enhavas na '''R''' en '''A''' per identigo de reelo ''r'' kun vico (''r'', ''r'', ''r'', ...), kaj tiu identigo konservas algebrajn ecojn de reeloj. Do, intuicia maniero reprezenti infinetizimon per vico, kiu venas al nulo. Inverto de tiu sekvenco, do, reprezentos infiniton. Kiel mi vidos ĉi-sube, tia alveno produktas malfacilecon, ĉar ni bezonas difini regulojn de komparo tiel, ke, malgraŭ ioma neevitebla arbitreco, ili estu mem-kosistaj kaj nekontraŭdiraj. Ekzemple, ni povas trovi du vicojn, kiuj malsamas je unuaj ''n'' elementoj, sed ĉiuj postaj estas egalaj. Klare, tiaj vicoj estu rigardataj kiel reprezentaĵoj de la sama hiperreelo. Krome, plimulto de tiaj vicoj estas senfine oscilaciaj, kaj ni bezonas manieron intrepreti tiujn kiel <math>''r''+\epsilon</math>, kie ''r'' estas iu reelo kaj <math>\epsilon</math> estas iu aparta infinetizimo.
Do, komparo de la vicoj estas delikata afero. Ni povas, ekzemple, kompari la vicojn pokomponente:
:<math> (a_0, a_1, a_2, \ldots) \leq (b_0, b_1, b_2, \ldots) \iff a_0 \leq b_0 \wedge a_1 \leq b_1 \wedge a_2 \leq b_2 \ldots </math>
sed tie ĉi ni renkontas problemon, ĉar eĉ se iuj elementoj de la unua vico estas malpli grandaj ol respondaj elementoj de la dua, estas neniu garantio, ke aliaj ne estos pli grandaj. Do, tia rilato estas nur [[partordo|partorda]]. Por ĉirkaŭiri tiun problemon, ni devas difini precize kiuj pozicioj gravas por komparo. Ĉar la vicoj estas nefiniaj, ni ne volas ke nur finia aro de elementoj estu grava. Plej logika elekto de indica aro estas difinebla per libera [[ultrafiltro]] ''U'' sur [[naturalo]]j. Tiuj estas la ultrafiltriloj kiuj ne enhavas iujn finiajn arojn. (La [[aksiomo de elekto]] garantias ekziston de multaj tiaj ''U'' kaj fakte ne gravas, kiun ni prenu. Malavantaĝo estas, tamen, ke ultrafiltroj ne estas eksplike konstrueblaj.) Ni pensas pri ''U'' kiel pri unu el eblaj aroj de "gravaj" elementoj por komparo: ni skribas (''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ...) ≤ (''b''<sub>0</sub>, ''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, ...) se kaj nur se la aro de naturaloj { ''n'' : ''a''<sub>''n''</sub> ≤ ''b''<sub>''n''</sub> } estas en ''U''.
Tio ĉi estas [[Severa malforta ordo#Tuteca antaŭordigo|tuteca antaŭordigo]] kaj ĝi iĝas [[tuteca ordo]] se ni konsentas ne distingi inter vicoj ''a'' kaj ''b'' se ''a''≤''b'' kaj ''b''≤''a''. Per tiu difinaro, la ordigita korpo de hiperreeloj '''*R''' estas konstruita. De algebra vidpunkto, ''U'' ebligas difini respondan [[idealo (matematiko)|maksimuman idealon]] '''I''' de komuta ringo '''A''' kaj poste difini na '''*R''' kiel '''A'''/'''I'''. Kiel kvantoro de komuta ringo per maksimuma idealo, '''*R''' estas korpo. Oni ankaŭ povas skribi tion ĉi kiel '''A'''/''U'', rekte per ultrafiltro ''U''; ambaŭ variantoj estas ekvivalentaj.
La korpo '''A'''/''U'' estas [[ultraproduto|ultrapotenco]] de '''R'''. Ĉar la korpo enhavas na '''R''', ĝia [[povo de aro|povo]] estas almenaŭ ne malpli granda ol la kontinuo. Ĉar '''A''' havas povon
:<math>(2^{\aleph_0})^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0^2} =2^{\aleph_0},\,</math>
ĝi ankaŭ ne povas esti pli granda ol <math>2^{\aleph_0}</math>, kaj do havas la saman povon kiel '''R'''.
Ni havu dubon, ĉu, se ni elektus alian ultrafiltrilon ''V'', la korpo '''A'''/''V'' estus izomorfa al ordigita korpo '''A'''/''U''. Tiu ĉi demando estas fakte ekvivalenta al la [[hipotezo de kontinuo]]. En [[aroteorio de Zermelo–Fraenkel]] kun la hipoteza de kontinuo pruvita vera, ni povas pruvi, ke tiu ĉi korpo estas unika ĝis [[orda izomorfismo]], kaj se la hipotezo estus pruvita malvera ni povas pruvi ekziston de ne orde izomorfaj paroj de korpoj, kiuj estas kvanteble indicitaj ultrapotencoj de reeloj.
===Intuicia alveno al ultrapoteca konstruo===
==Referencoj==
| |||