Vikipedio

Hiperreela nombro: Malsamoj inter versioj

Browse history interactively
[nekontrolita versio][nekontrolita versio]
← Iru al antaŭa ŝanĝoIru al sekvanta ŝanĝo →
Enhavo forigita Enhavo aldonita
VidaVikiteksto
Linio 102:
En ni ringo oni ne povas atingi na ''ab''&nbsp;=&nbsp;0 en kiu nek ''a''&nbsp;=&nbsp;0 nek ''b''&nbsp;=&nbsp;0. Do, se por du vicoj <math>a, b\quad</math> oni havas ''ab''&nbsp;=&nbsp;0, almenaŭ unu el ili estu proklamita nula. Mirinde, ekzistas konsista maniero fari tion. Rezulte, la vicoj kiuj malsamas je vico deklarita nula formas hiperreelan [[korpo (matematiko)|korpon]]. Ĝi enhavos infinetizimojn aldone al normaj reeloj, kaj samkiel la infinite grandajn nombrojn, kiuj estas multiplikaj [[inverso]]j de infinetizimoj (ilin reprezentas vicoj, kiuj konverĝas al senfineco). Ĉiu hiperreelo, kiu ne estas nefinie granda, estos nefinie proksima al iu reelo, t.e. estos reelo + infinitezimo.
 
Tiu ĉi konstruo estas paralela al konstruo de rreloj el [[racionalo]]j far [[Georg Cantor]]. Li komencis kun ringo de [[fundamenta vico|fundamentaj vicoj]] de racionaloj kaj deklaris ĉiujn vicojn, konverĝantajn al nulo, nulo. La rezulta aro estas aro de reeloj. Por daŭrigi la konstruon al hiperreeloj, ni kosideru la nulajn arojn de tiaj vicoj, t.e. <math>z(a)=\{i: a_i=0\}\quad</math>, kie <math>z(a)\quad</math> estas aro de indicoj <math>i\quad</math> por kiuj <math>a_i=0\quad</math>. Evidente, se <math>ab=0\quad</math>, do la kunigo de <math>z(a)\quad</math> kaj <math>z(b)\quad</math> estas ''N'' (aro de [[naturalo]]j). Do:<!--
#Unu el la vicoj, kiuj malaperas en 2 aroj de la kunigo, estu proklamita nulo
#One of the sequences that vanish on 2 complementary sets should be declared zero
#IfSe <math>a\quad</math> isestas declaredproklamita zeronulo, <math>ab\quad</math> shouldankaŭ beestas declarednulo, zerosendepende too,de nokio matterajn whatestas <math>b\quad</math> is.
#IfSe bothambaŭ <math>a\quad</math> andkaj <math>b\quad</math> areestas declaredproklamitaj zeronulaj, thendo ankaŭ <math>a^2+b^2\quad</math> should also be declaredestu zeronulo.
Now the idea is to single out a bunch ''U'' of subsets ''X'' of ''N'' and to declare that <math>a=0\quad</math> if and only if <math>z(a)\quad</math> belongs to ''U''. From the above conditions one can see that:▼
#From 2 complementary sets one belongs to ''U''
#Any set containing a set that belongs to ''U'', also belongs to ''U''.
#An intersection of any 2 sets belonging to ''U'' belongs to ''U''.
#Finally, we do not want an empty set to belong to ''U'' because then everything becomes zero, as every set contains an empty set.
 
▲NowNun theni ideabezonas isapartigi tona singleunu outel amulto de buncheblaj ''U'' ofda subsetssubaroj ''X'' ofde ''N'' and to declare thatkaj proklami <math>a=0\quad</math> ifse andkaj onlynur ifse <math>z(a)\quad</math> belongsapartenas toal ''U''. From theEl abovetiuj conditionskondiĉoj oneoni canpovas seevidi, thatke:
Any family of sets that satisfies (2)-(4) is called a [[filter (mathematics)|filter]] (an example: the complements to the finite sets, it is called the [[Fréchet filter]] and it is used in the usual limit theory). If (1) also holds, U is called an [[ultrafilter]] (because you can add no more sets to it without breaking it). The only explicitly known example of an ultrafilter is the family of sets containing a given element (in our case, say, the number 10). Such ultrafilters are called trivial, and if we use it in our construction, we come back to the ordinary real numbers. Any ultrafilter containing a finite set is trivial. It is known that any filter can be extended to an ultrafilter, but the proof uses the [[axiom of choice]]. The existence of a nontrivial ultrafilter (the [[ultrafilter lemma]]) can be added as an extra axiom, as it is weaker than the axiom of choice.
#El du kunigitaj aroj almenaŭ unu apartenu al ''U''
#Iu aro, kiu enhavas subaron apartenantan al ''U'', ankaŭ mem apartenas al ''U''.
#[[Komunaĵo]] de aroj, apartenantaj al ''U'', apartenas al ''U''.
#La [[malplena aro]] ne apartenu al ''U'', ĉar se ĝi apartenus, iu ajn aro ankaŭ apartenus, ĉar ĉiu aro enhavas malplenan aron, kaj do ĉio iĝus nulo.
 
Ĉiu familio de aroj, kiuj akordas kun kondiĉoj (2)-(4), nomiĝas [[filtro (matematiko)|filtro]]. Ekzemple, aro de vastigaĵoj de finiaj aroj nomiĝas [[filtro de Fréchet]] (ĝi uziĝas en teorio de [[limeso]]j.). Se (1) estas ankaŭ vera, la filtro nomiĝas [[ultrafiltro]] (ĉar oni ne povas aldoni pliajn arojn al ĝi sen rompi ĝian "filtrecon"). Oni nur povas eksplike diri pli konata ultrafiltro kiel pri ultrafiltro, kiu enhavas iun antaŭdifinitan elementon (ekzemple, nombron 10). Tiaj ultrafiltroj nomiĝas triviaj. Oni asertas, ke iu ajn filtro povas esti vastigata ĝis ultrafiltro, sed la pruvo vezonas [[aksiomo de elekto|aksiomon de elekto]]. Ekzisto de ne-triviaj ultrafiltroj ([[ultrafiltra lemo]]) estas pli "malforta" ol aksiomo de elekto, kaj do estas pli oportune enkonduki ĝin kiel apartan aksiomon.
Now if we take a nontrivial ultrafilter (which is an extension of the Fréchet filter) and do our construction, we get the hyperreal numbers as a result. The infinitesimals can be represented by the non-vanishing sequences converging to zero in the usual sense, that is with respect to the Fréchet filter.
 
Se ni uzos ne-trivian ultrafiltron (kiu estas vastigaĵo de la Fréchet-filtro) en nia konstruo, rezulto estas aro de hiperreeloj. La infinetizimoj povas esti reprezentitaj per ne-malaperantaj vicoj, kiuj konverĝas al nulo relative al Fréchet-filtro.
If <math>f\quad</math> is a real function of a real variable <math>x\quad</math> then <math>f\quad</math> naturally extends to a hyperreal function of a hyperreal variable by composition:
 
Se <math>f\quad</math> estas reela funkcio de reela varieblo <math>x\quad</math>, do <math>f\quad</math> nature vastiĝas al hiperreela funkcio de hiperreela varieblo per komponado:
:<math>f(\{x_n\})=\{f(x_n)\}\,</math>
wherekie <math>\{ \dots\}</math> meanssignifas "theklaso equivalencede classelvivalenteco of the sequencede <math>\dots</math> relativerilate toal ournia ultrafilterultrafiltro", twokie du sequencesvicoj beingestas inen thela samesama classklaso ifse andkaj onlynur ifse thela zeronula setaro ofde theirilia differencediferenco belongsapartenas toal ournia ultrafilterultrafiltro.
 
<!--All the arithmetical expressions and formulas make sense for hyperreals and hold true if they are true for the ordinary reals. One can prove that any finite (that is, such that <math>|x| < a\quad</math> for some ordinary real <math>a\quad</math>) hyperreal <math>x\quad</math> will be of the form <math>y+d\quad</math> where <math>y\quad</math> is an ordinary (called standard) real and <math>d\quad</math> is an infinitesimal.
 
It is parallel to the proof of the [[Bolzano–Weierstrass theorem|Bolzano-Weierstrass lemma]] that says that one can pick a convergent subsequence from any bounded sequence, [http://www.gap-system.org/~john/analysis/Lectures/L9.html done by bisection], the property (1) of the ultrafilters is again crucial.
Elŝutita el "https://eo.wikipedia.org/wiki/Hiperreela_nombro"