Ordonombro: Malsamoj inter versioj
| [kontrolita revizio] | [nekontrolita versio] |
Enhavo forigita Enhavo aldonita
Alois (diskuto | kontribuoj) anstataŭigo de "na" per fundamenta n-akuzativo |
|||
Linio 15:
==Vastigo de naturaloj==
Oni povas rigardi [[naturalo]]n (inkluzive [[nulo]]n) laŭ du manieroj: kiel grando de [[aro]] aŭ kiel pozicio de aparta elemento en la aro. Por finiaj aroj tiuj du konceptoj kongruas, ĉar ekzistas nur unu maniero transformi aron al linia vico (krom izmorfismoj). Sed prizorgante nefiniajn arojn oni devas distingi inter ncio de grando (per kiu difiniĝas [[kardianalaj nombroj]] kaj nocio de pozicio, kiun ĝeneraligas ĉi-priskribata aro de ordinaloj. Tio okazas pro ke iu nefinia aro, havante nur unu "grandon" ([[povo de aro|povon]]), havas nefinie multe da neizomorfaj ordoj de si.
Kiam nocio de kardinala nombro asociiĝas kun senstruktura aro, la nocio de ordinalo estas ligita kun aparte [[plene ordigita aro|plene ordigitaj aroj]] - tiel proksime ligita, ke tiuj du nocioj ofte estas uzataj interŝanĝeble. Plene ordigitaj aroj estas [[tuteca ordo|tutece ordigitaj]] (t.e. por iuj du malsamaj elementoj unu estas pli granda ol alia) en kiu ne eblas nefinia ''malkreskanta'' vico (tamen, nefiniaj kreskantaj vicoj darfas ekzisti). Krome, ĉiu ne malplena subaro de la aro havas almenaŭ unu elementon. Ordinaloj uzeblas por marki (numeri) elementojn de ĉiu plene ordigita aro (la plej magranda elemento markiĝas kiel 0, poste 1, poste 2 ktp) kaj "longo" de la aro difiniĝas kiel la plej malgranda ordinalo, kiu ne estas marko de iu elemento de la aro. Tiu "longo" nomiĝas ''tipo de ordo''.
Ĉiu ordinalo difineblas per aro de antaŭaj ordinaloj. Fakte, plimulto de nune uzataj difinoj difinas ordinalon ''kiel'' aron de antaŭaj ordinaloj. Ekzemple, ordinala nombro 42 estas difinebla kiel aro de antaŭaj ordinaloj {0,1,2,…,41}. Pli ĝenerale, iu aro (''S'') de ordinaloj kiu estas masupren-limigita (t.e. por ĉiu ordinalo α el S kaj ĉiu ordinalo β < α, β estas ankaŭ el ''S'' kaj estas (aŭ estas identa kun) ordinalo.
<!--So far we have mentioned only finite ordinals, which are the natural numbers. But there are infinite ones as well: the smallest infinite ordinal is '''ω''', which is the order type of the natural numbers (finite ordinals) and which can even be identified with the ''set'' of natural numbers (indeed, the set of natural numbers is well-ordered—as is any set of ordinals—and since it is downward closed it can be identified with the ordinal associated with it, which is exactly how we define ω).
[[Image:Omega squared.png|thumb|right|256px|A graphical “matchstick” representation of the ordinal ω². Each stick corresponds to an ordinal of the form ω·''m''+''n'' where ''m'' and ''n'' are natural numbers.]]
Perhaps a clearer intuition of ordinals can be formed by examining a first few of them: as mentioned above, they start with the natural numbers, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … After ''all'' natural numbers comes the first infinite ordinal, ω, and after that come ω+1, ω+2, ω+3, and so on. (Exactly what addition means will be defined later on: just consider them as names.) After all of these come ω·2 (which is ω+ω), ω·2+1, ω·2+2, and so on, then ω·3, and then later on ω·4. Now the set of ordinals which we form in this way (the ω·''m''+''n'', where ''m'' and ''n'' are natural numbers) must itself have an ordinal associated with it: and that is ω<sup>2</sup>. Further on, there will be ω<sup>3</sup>, then ω<sup>4</sup>, and so on, and ω<sup>ω</sup>, then ω<sup>ω²</sup>, and much later on ε<sub>0</sub> ([[epsilon nought]]) (to give a few examples of relatively small—countable—ordinals). We can go on in this way indefinitely far ("indefinitely far" is exactly what ordinals are good at: basically every time one says "and so on" when enumerating ordinals, it defines a larger ordinal). The smallest uncountable ordinal is the set of all countable ordinals, expressed as ω<sub>1</sub>.
-->
==Referencoj==
| |||