Fundamenta teoremo de aritmetiko: Malsamoj inter versioj

:* <math>6936 = 2^^{3 \cdot}&middot;3 \cdot &middot;17^<sup>2</mathsup>

:* <math>1200 = 2^^{4 \cdot}&middot;3 \cdot &middot;5^<sup>2</mathsup>

AlPor fari ke la teorema laborolaboru (eĉ, ebena, para)ankaŭ por la nombro 1, nioni povas (opinii, pensi) deke 1 kielestas estanteproduto lade (produkto,nula produto)kvanto de nulajda primoj (vidi [[malplena (produkto, produto)]]).

== Aplikoj ==

La teoremo _establishes_montras la gravecogravecon de [[primoj]]. La primoj estas la bazabazaj konstruaĵo (baras, ŝtipoj, ŝtipas, kojnoj, kojnas,konstruaj blokoj, blokas) de la pozitivapozitivaj (entjeroj, entjeras), en la (senso, senco) (tiu, ke, kiu) ĉiu pozitiva entjero povas esti konstruita deel (primoj, primas), kaj estas esence nur unu ĉi tia konstruado.

SciantaScio la [[prima faktorigo]] de nombro donas plenumiplenan scioscion pri ĉiuj (primoprimaj kaj divizorhava)ne-primaj divizoroj de (tiu, ke, kiu)la nombro.

Ekzemple, la pli supre donita faktorigo de 6936 diras ni (tiu,donas ke, kiu) (ĉiu, iu) pozitiva dividanto de 6936 devas havihavas la (formo, formi)formon ''2^a<math>\cdot</math>&middot;3^b<math>\cdot</math>&middot;17^c'', kie ''a'' prenaspovas esti iu ajn unu deel la '''4''' (valoroj, valoras) enel {0,&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;3}, kie ''b'' prenaspovas esti iu ajn unu deel la '''2''' (valoroj, valoras) enel {0,&nbsp;1}, kaj kie ''c'' prenaspovas esti iu ajn unu deel la '''3''' (valoroj, valoras) enel {0,&nbsp;1,&nbsp;2}. MultiplikanteMultiplikado la nombrojkvantoj de sendependala agordovaloroj inter si kune produktasdonas tutecala tutecan kvanton de pozitivaj divizoroj 4<math>\cdot</math>&middot;2<math>\cdot</math>&middot;3 = 24 pozitivaj divizoroj.

IamSe la primoprimaj (faktorigoj, faktorigas) de du nombroj estas sciata, iliailiaj [[plej granda komuna divizoro]] kaj [[plej malgranda komuna oblo]] povas troviĝiesti rapidetrovitaj. Ekzemple, de la pli supresupra niekzemplo vidioni (tiu,vidas ke, kiu) la plej granda komuna divizoro de 6936 kaj 1200 estas 2³<math>\cdot</math>&middot;3 = 24. Tamen la uzo de la [[eŭklida algoritmo]] por kalkulado de la plej granda komuna divizoro ĝenerale postulas multa malpli grandan [[komputada tempo|kvanton de kalkuladoj]] ol faktorigo de la du nombroj.

La fundamenta teoremo certiĝas (tiu, ke, kiu) [[Alsumaalsuma funkcio|alsuma]] kaj [[Multiplikamultiplika funkcio|multiplikaj]] [[Aritmetikaaritmetika funkcio|aritmetikaj funkcioj]] estas plene difinitadifinitaj per ilia (valoroj, valoras) surĉe la [[potenco (algebro)|potencoj, potencas, kardinaloj, kardinalas, povoj, povas)]] de primoj.

La teoremo estis esence unuaunue (pruvita, pruvis) perde [[Eŭklido]], sed la unua plena kaj (ĝusta, ĝustigi, korekti) pruvo estas fundamenti en la _Disquisitiones_''Disquisitiones _Arithmeticae_Arithmeticae'' perde _Carl_[[Carl _Friedrich_Friedrich _Gauß_Gauß]].

Kvankam unuavide ĝi aspektas 'kiel evidenta', ĝi faras ''ne'' teniveras en pli ĝeneralaj nombrosistemoj, inkluzivantainkluzivante multajmultajn (ringoj, ringas, sonoras)ringojn de algebraj entjeroj. Ĉi tiu estis unua punktitanotita ekster perde _Ernst_Ernst Kummer-a en 1843, en lia laboro surpri la [[Lastalasta teoremo de Fermat]]. La (ekkono, rekonado) de ĉi tiu malsukceso estas unu deel la plajplej frua (evoluoj,fruaj evoluas)rezultoj en [[algebra nombroteorio]].

La pruvo konsistas deel du (partoj, partas): unuaunue, nioni devi montri (tiu, ke, kiu) ĉiu nombro povas ja esti skribita kiel (produkto, produto) de (primoj, primas); tiamdue nioni devidevas montri (tiu, ke, kiu)ĉiuj (ĉiu,du iu) duĉi tiaj prezentoj estas esence la samasamaj.

SupoziSupozu tieke estitaekzistas pozitiva entjero kiu ne povas esti skribita kiel (produkto, produto) de (primoj, primas). Tiam [[Bonabona ordo|tie devas esti (plej minuskla,la plej malgranda) ĉi tia nombro]]:; estu's (voko, voki) ĝi ''n''. Ĉi tiu nombro ''n'' ne povas esti 1, pro niala konvencio pli supre. Ĝi ne povas esti primo ĉu, ekdepro (ĉiu,tio iu)ke ĉiu primo estas (produkto, produto) de sola primo, sinĝi mem. (Do, Tiel) ĝi devas esti _composite_komponigita nombro. Tial

: ''n'' = ''aboab''

kie ambaŭ ''a'' kaj ''b'' estas pozitivapozitivaj (entjeroj, entjeras) (pli minuskla, pli malgranda)malgrandaj ol ''n''. EkdePro tio ke ''n'' estis la (plej minuskla, plej malgranda) nombro por kiu la teoremo mankasmalveras, ambaŭ ''a'' kaj ''b'' povas esti skribitaskribitaj kiel (produktoj, produktas, produktaĵoj, produktaĵas, produtoj, produtas) de (primoj, primas). Sed tiam

: ''n'' = ''aboab''

povas esti skribita kiel (produkto, produto) de (primoj, primas) kielsame bone, kio estas kontraŭdiro. Ĉi tiutio estas [[Minimumaminimuma kontraŭekzemplo|minimuma kontraŭekzempla]] argumento.

La unikeca parto de la pruvo (ĉarniroj, ĉarniras, artikoj, artikas) sur jena fakto: se primo ''p'' (akvodislimoj, akvodislimas, divizoras, dividas) (produkto, produto)produton ''aboab'', tiam ĝi (akvodislimoj, akvodislimas, divizoras, dividas) ''a'' aŭ ĝi (akvodislimoj, akvodislimas, divizoras, dividas) ''b'' (la [[Eŭklidaeŭklida lemo]]). ĈiLa tiupruvo estasde [[Lemoĝi (matematiko)|lemo]],estas al pruvi unuajena. Por (tiu, ke, kiu), seSe ''p'' ne divididividas ''a'', tiam ''p'' kaj ''a'' estas [[interprimo]]j kaj [[Identoidento de Bézout]] rendimentodonas (entjeroj, entjeras)entjerojn ''x'' kaj ''y'' tia (tiu,tiajn ke, kiu)

: ''_px_''px + ''_ay_''ay = 1.''

Multiplikante kunper ''b'' rendimentoambaŭ flankojn rezultas

: ''_pbx_''pbx + ''_aby_''aby = ''b'',

kaj ekdepro tio ke ambaŭ (termoj, termas) maldekstre-mana flanko estas dividebladivideblaj per ''p'', la dekstra flanko estas ankaŭ dividebla per ''p''. (Tiu, Ke,kio Kiu)estas (demonstras,la pruvas) lapruvata lemoafero.

Nun preniprenu du (produktoj, produktas, produktaĵoj, produktaĵas, produtoj, produtas)produtojn de (primoj, primas) kiukiuj estas egala. Preni (ĉiu,Prenu iu)ĉiun primoprimon ''p'' de la unua (produkto, produto). Ĝi (akvodislimoj, akvodislimas, divizoras, dividas) la unuaunuan (produkto, produto)produton, kaj de ĉi tie ankaŭ la (sekundo, dua)duan. Per la pli supresupra faktolemo, ''p'' devas tiam dividi almenaŭ unu faktorofaktoron en la (sekundo, dua) (produkto, produto). Sed la (faktoroj, faktoras) estas mem ĉiuj (primoj, primas) sin, (do, tiel) ''p'' devas reale esti egala al unu deel la (faktoroj, faktoras) de la (sekundo, dua) (produkto, produto). (Do, Tiel) ni povas malmendiforigi ''p'' de ambaŭ (produktojprodutoj, produktas,kaj produktaĵoj,ilia produktaĵas,egaleco produtoj,inter si produtas)daŭre restas. DaŭrantaDaŭrante enper ĉi tiu (modo, maniero), nioni eblepovas vidi (tiu, ke, kiu) la primaj faktoroj de la du (produktoj, produktas, produktaĵoj, produktaĵas, produtoj, produtas) devas (alumeto, svati, maĉo, konkurso, kongrui) supren precize.

*{{el}} [http://www.cut-the-knot.org/blue/gcd_fta.shtml _GCD_Plej granda komuna divizoro kaj la Fundamentafundamenta Teoremoteoremo de Aritmetikoaritmetiko] je [[tranĉi-la-nodon]]

*{{el}} [http://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfFundamentalTheoremOfArithmetic.html _PlanetMath_PlanetMath: Pruvo de fundamenta teoremo de aritmetiko]

*{{el}} [http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/06/unique-factorization.html Fermat-a's Lasta Teorema Blogo: Unikapri Faktorigo],la Alasta blogo (tiu, ke, kiu) kovras la historioteoremo de Fermat-a's: LastaUnika Teoremo de _Diophantus_ de Aleksandrio al la pruvo per Andreo _Wiles_.Faktorigo]