|
En la [[matematiko|matematika]] subkorpo de [[cifereca analitiko]] '''kurbo de Beziero''' ([[angla|ang.]] ''Bézier curve'') estas parametra kurbo grava en [[komputila grafiko]]. Ĝeneraligoj de Bézier kurboj al pli altaj [[dimensio]]j estas nomata kie l[[surfaco de Bézier]] ([angla|ang]]. ''Bézier surface'').
{{polurinda movu|Kurbo de Beziero}}
En la [[Matematiko|matematika]] subkorpo de [[cifereca analitiko]] '''Kurbo de Beziero''' ([[angla|ang.]] ''Bézier curves'') estas parametra kurbo grava en [[komputila grafiko]]. Ĝeneraligoj de Bézier kurboj al pli altaj [[Dimensio|dimensioj]] estas nomita [[surfaco de Bézier]] ([angla|ang]]. ''Bézier surface'').
Kurbo de Bézier estis larĝe publikigita en [[1962]] de la [[franca]] inĝeniero [[Pierre Bézier]], kiu uzis ilin por desajni karoseriojkaroseriojn de aŭtoj. La kurboj estis unue ellaboritaellaboritaj en [[1959]] de [[Paul de Casteljau]] uzanteper la [[Algoritmoalgoritmo de Casteljau]], kio estas [[ciferececifereca stabileco|ciferece stabila]] metodo al evaluado de kurboj de Bézier.
== Linearaj kurboj de Bézier ==
== Kubaj kurboj de Bézier ==
[[Dosiero:Bezier.png|thumb|Kuba kurbo de Bézier]]
Kvar punktoj '''P'''<sub>0</sub>, '''P'''<sub>1</sub>, '''P'''<sub>2</sub> kaj '''P'''<sub>3</sub> en la ebeno aŭ en tri-dimensia spaco difinas kuban kurbon de Bézier.
Iuj bildo-prilaboraj sistemoj, inter ili [[PostSkripto]] kaj [[GIMP]], uzas [[laŭparta interpola funkcio de Bézier|laŭpartajn interpolajn funkciojn de Bézier]] komponitajn el la kubaj kurboj de Bézier por desegnado de malrektaj linioj.
== Kurboj de Bézier de ajna grado ==
==Ĝeneraligo ==
La Kurbokurbo de Bézier de grado <math>''n</math>'' povas esti ĝeneraligita kieldonita sekvassekve. DonitajEstu donitaj punktoj '''P'''<sub>0</sub>, '''P'''<sub>1</sub>,..., '''P'''<sub>n</sub>,. Tiam la Bé_zier_ kurbo de Bézier estas
: <math>\mathbf{B}(t)=\sum_{i=0}^n {n\choose i}\mathbf{P}_i(1-t)^{n-i}t^i =\mathbf{P}_0(1-t)^n+{n\choose 1}\mathbf{P}_1(1-t)^{n-1}t+\cdots+\mathbf{P}_nt^n \mbox{ , } t \in [0,1].</math>
Ekzemple, porkie <math>{n=5 \choose i}</math>: estas [[binoma koeficiento]]
:<math>\mathbf{B}(t)=\mathbf{P}_0(1-t)^5+5\mathbf{P}_1t(1-t)^4+10\mathbf{P}_2t^2(1-t)^3+10\mathbf{P}_3t^3(1-t)^2+5\mathbf{P}_4t^4(1-t)+\mathbf{P}_5t^5 \mbox{ , } t \in [0,1].</math>
: <math> {n \choose i} = \frac{n!}{i!(n-i)!}</math>
=== Terminologio ===
Iu terminologio estas asociita kun ĉi tiuj parametraj kurboj. Ni havi
:<math>\mathbf{B}(t) = \sum_{i=0}^n \mathbf{P}_i\mathbf{b}_{i,n}(t),\quad t\in[0,1]</math>
kie la (polinomoj, polinomas)
:<math>\mathbf{b}_{i,n}(t) = {n\choose i} t^i (1-t)^{n-i},\quad i=0,\ldots n</math>
estas sciata kiel [[Polinomo de Bernstein|Bernstein-a bazo (polinomoj, polinomas)]] de grado ''n'',
difinanta 0<sup>0</sup> = 1.
Ekzemple, por ''n=5'':
La punktoj '''P'''<sub>''mi''</sub> estas (nomita, vokis) ''apogaj punktoj'' por la Bé_zier_ kurbo. La [[Plurlatero|poligono]] (formis, formularita, knedita) per trakonektanta la Bé_zier_ punktoj
kun [[Linio|linioj]], startanta kun '''P'''<sub>0</sub> kaj (finanta, finpretiganta) kun '''P'''<sub>''n''</sub>, tio estas, la [[Konveksa koverto|(konveksa koverto, tegaĵo)]] de la '''P'''<sub>''mi''</sub> , estas (nomita, vokis) la ''Bé_zier_ poligono'', kaj la Bé_zier_ poligono enhavas la Bé_zier_ kurbo.
:<math>\mathbf{B}(t)=\mathbf{P}_0(1-t)^5+5\mathbf{P}_1t(1-t)^4+10\mathbf{P}_2t^2(1-t)^3+10\mathbf{P}_3t^3(1-t)^2+5\mathbf{P}_4t^4(1-t)+\mathbf{P}_5t^5 \mbox{ , } t \in [0,1]</math>
=== (Tononomoj, Notoj, Notas) ===
*La kurbo (komenciĝoj, komenciĝas, komencas) je '''P'''<sub>0</sub> kaj (randoj, randas, finoj, finas) je '''P'''<sub>n</sub>; ĉi tiu estas la (do, tiel)-(nomita, vokis) ''fina punkta interpolo'' propraĵo.
*La kurbo estas rekto se kaj nur se ĉiuj apogaj punktoj (mensogi, kuŝi) sur la kurbo, simile, la Bé_zier_ kurbo estas rekto se kaj nur se la apogaj punktoj estas samrekta
* La starti (fino) de la kurbo estas [[tangento]] al la unua (lasta) sekcio de la _Bézier_ poligono.
* A kurbo povas esti fendi je (ĉiu, iu) punkto enen 2 _subcurves_, aŭ enen arbitre multaj _subcurves_, ĉiu kies estas ankaŭ Kurbo de Bézier.
* A cirklo ne povas esti akurate (formita, formularita, knedita) per Kurbo de Bézier, ne (eĉ, ebena, para) cirkulera arko. Tamen, ofte Kurbo de Bézier estas (sufiĉa, adekvata) proksimuma kalkulado al malgranda sufiĉa cirkulera arko.
* La kurbo je (fiksis, neŝanĝebligita) kompensi de donita Kurbo de Bézier ("paralelo" al (tiu, ke, kiu) kurbo, ŝati la kompensi inter (reloj, relas) en fervoja trako) ne povas esti akurate (formita, formularita, knedita) per Kurbo de Bézier (escepti en iu bagatela (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas)). Tamen, estas [[Heŭristiko|heŭristikaj]] manieroj (tiu, ke, kiu) kutime doni (sufiĉa, adekvata) proksimuma kalkulado por praktika (celoj, celas).
La formulo povas esti skribita rikure per la samaj formuloj de grado ''n-1''.
==Apliko en komputila grafiko==
Estu <math>\mathbf{B}_{\mathbf{P}_0\mathbf{P}_1\ldots\mathbf{P}_n}</math> kurbo de Bézier de punktoj '''P'''<sub>0</sub>, '''P'''<sub>1</sub>,..., '''P'''<sub>n</sub>. Tiam
:<math>\mathbf{B}(t) = \mathbf{B}_{\mathbf{P}_0\mathbf{P}_1\ldots\mathbf{P}_n}(t) = (1-t)\mathbf{B}_{\mathbf{P}_0\mathbf{P}_1\ldots\mathbf{P}_{n-1}}(t) + t\mathbf{B}_{\mathbf{P}_1\mathbf{P}_2\ldots\mathbf{P}_n}(t)</math>
_Bézier_ kurboj estas larĝe uzita en komputila grafiko al modelaj glataj kurboj. Kiel la kurbo estas plene enhavita en la [[Konveksa koverto|(konveksa koverto, tegaĵo)]] de ĝiaj apogaj punktoj, la punktoj povas esti grafike elmontrita kaj kutima manipuli la kurbo intuicie. [[Afina transformo|Afinaj transformoj]] kiel [[Movo (geometrio)|traduko]], [[Krustado (geometrio)|(krustanta, skalanta)]] kaj [[Rotacio|turnado]] povas esti aplikita sur la kurbo per aplikanta la respektiva (konverti, konverto) sur la apogaj punktoj de la kurbo.
Tiel, kurbo de Bézier de grado ''n'' estas [[lineara interpolo]] inter du kurboj de Bézier de grado ''n-1''.
La plej grava _Bézier_ kurboj estas kvadrata kaj kubaj kurboj. pli altaj gradaj kurboj estas pli multekosta al (komputi, pritaksi). Kiam pli komplekso (formoj, formas) estas (bezonata, bezonis) malalta (mendi, ordo) _Bézier_ kurboj estas flikita kune (obeanta certa _smoothness_ kondiĉoj) en la (formo, formi) de [[Laŭparta interpola funkcio de Bézier|_Bézier_ (splajnoj, laŭpartaj interpolaj funkcioj)]].
== Notoj ==
Jena kodo estas simpla praktika ekzemplo montranta kiel al grafika prezento kuba _Bezier_ kurbo en C. (Tononomo, Noto, Noti), ĉi tiu simple komputas la koeficientoj de la polinomo kaj (kuras, rulas) tra serio de t (valoroj, valoras) de 0 al 1 - en praktiko ĉi tiu estas kiel ĝi estas kutime farita, (eĉ, ebena, para) kvankam neta (algoritmoj, algoritmas) kiel _de_ _Casteljau_'s estas ofte citita en grafiko (diskutadoj, diskutoj, diskutas), kaj tiel plu Ĉi tiu estas ĉar en praktika lineara algoritmo tiamaniere estas pli rapida kaj malpli (risurco, rimedo)-intensa ol rekursie unu ŝati _de_ _Casteljau_'s. Jena kodo havas estas faktorita al fari ĝia operacio klara - optimumigo en praktiko devus esti al komputi la koeficientoj iam kaj tiam rao-uzi la rezulto por la reala ciklo (tiu, ke, kiu) komputas la kurbaj punktoj - ĉi tie ili estas _recomputed_ ĉiufoje, kiu estas malpli kompetenta sed helpas al klarigi la kodo.
Estu
La rezultanta kurbo povas esti grafike prezentita per desegnaĵaj linioj inter sukcesaj punktoj en la kurba tabelo - la pli punktoj, la pli glata la kurbo.
:<math>\mathbf{B}(t) = \sum_{i=0}^n \mathbf{P}_i\mathbf{b}_{i,n}(t),\quad t\in[0,1]</math>
Sur iu (arkitekturoj, arkitekturas, arĥitekturoj, arĥitekturas, konstruartoj, konstruartas), la kodo pli sube povas ankaŭ esti (optimigita, optimumigita) per [[dinamika programado]]. E.g. ekde ''_dt_'' estas konstanto, ''cX'' * ''t'' ŝanĝas konstanta kvanto kun ĉiu ripeto. Per multfoje aplikanta ĉi tiu optimumigo, la ciklo povas esti reskribita sen (ĉiu, iu) (multiplikoj, multiplikas) (kvankam tia proceduro estas ne [[Cifereca stabileco|ciferece stabila]]).
la polinomoj
<antaŭ>
/******************************************************
Kodo al generi kuba _Bezier_ kurbo
*******************************************************/
:<math>\mathbf{b}_{i,n}(t) = {n\choose i} t^i (1-t)^{n-i},\quad i=0,\ldots n</math>
_typedef_ _struct_
{
flosi x;
flosi y;
}
_Point2D_;
estas la [[polinomo de Bernstein|bazaj polinomoj de Bernstein]] de grado ''n''.
/******************************************************
_cp_ estas 4 era tabelo kie:
_cp_[0] estas la deirpunkto, aŭ A en la pli supre figuro
_cp_[1] estas la unua apoga punkto, aŭ B
_cp_[2] estas la (sekundo, dua) apoga punkto, aŭ C
_cp_[3] estas la fina punkto, aŭ D
La punktoj '''P'''<sub>''i''</sub> estas la ''apogaj punktoj'' por la kurbo. La [[plurlatero]] formita per trakonektanta la apogaj punktoj
t estas la parametra valoro, 0 <= t <= 1
per rektaj strekoj, startante de '''P'''<sub>0</sub> kaj finante kun '''P'''<sub>''n''</sub>, kio estas, la [[konveksa koverto]] de la '''P'''<sub>''i''</sub> , estas nomata kiel la ''plurlatero de Bézier'', kaj la plurlatero de Bézier enhavas la kurbon de Bézier.
*******************************************************/
* La kurbo komenciĝas je '''P'''<sub>0</sub> kaj finiĝas je '''P'''<sub>n</sub>; ĉi tio estas tiel la ''fina punkta interpolo''.
_Point2D_ _PointOnCubicBezier_( _Point2D_* _cp_, flosi t )
* La kurbo estas rekto se kaj nur se ĉiuj apogaj punktoj kuŝas sur la kurbo, simile, la kurbo estas rekto se kaj nur se la apogaj punktoj estas samrektaj.
{
* La starto kaj fino de la kurbo estas [[tanĝanto|tanĝantaj]] respektive al la unua kaj lasta sekcioj de la plurlatero.
flosi _ax_, _bx_, cX;
* La kurbo povas esti fendita je ĉiu punkto en 2 subkurbojn, aŭ en arbitre multajn subkurbojn, ankaŭ ĉiu el kiuj estas kurbo de Bézier.
flosi _ay_, per, _cy_;
* Nek [[cirklo]] nek [[arko]] de cirklo povas esti akurate prezentita kiel kurbo de Bézier. Tamen, ''n≥2'' kubaj kurboj de Bézier povas proksimumigi cirklon. Por ''n=4'', eblas atingi la radiusan eraron pli malgrandan ol 1/1000 de la radiuso.
flosi _tSquared_, _tCubed_;
* La kurbo je fiksita flanka orta ŝovo de donita kurbo de Bézier (simile kiel unu relo de fervoja trako relative al la alia) ne povas esti akurate prezentita kiel kurbo de Bézier en ĝenerala okazo. Tamen, eblas proksimumigaj manieroj kutime adekvataj por praktikaj celoj.
_Point2D_ rezulto;
* Ĉiu kurbo de Bézier de grado ''n'' estas ankaŭ kurbo de Bézier de grado ''m'' por ĉiu ''m>n''. Se estas kurbo de Bézier de grado ''n'' donita per punktoj '''P'''<sub>0</sub>, ..., '''P'''<sub>''n''</sub> do ĝi estas ekvivalenta (eĉ je parametriogo) al la kurbo de grado ''n+1'' donita per punktoj '''P''''<sub>0</sub>, ..., '''P''''<sub>''n+1''</sub>, kie <math>\mathbf P'_k=\tfrac{k}{n+1}\mathbf P_{k-1}+\left(1-\tfrac{k}{n+1}\right)\mathbf P_k</math>.
/* kalkuli la polinomaj koeficientoj */
== Konstruado de kurboj de Bézier ==
cX = 3.0 * (_cp_[1].x - _cp_[0].x);
_bx_ = 3.0 * (_cp_[2].x - _cp_[1].x) - cX;
_ax_ = _cp_[3].x - _cp_[0].x - cX - _bx_;
=== Linearaj kurboj ===
_cy_ = 3.0 * (_cp_[1].y - _cp_[0].y);
per = 3.0 * (_cp_[2].y - _cp_[1].y) - _cy_;
_ay_ = _cp_[3].y - _cp_[0].y - _cy_ - per;
La ''t'' en la funkcio por lineara kurbo de Bézier povas esti konsiderata kiel priskribanta kiel malproksime '''B'''(''t'') estas de '''P'''<sub>0</sub> al '''P'''<sub>1</sub>. Ekzemple kiam ''t=0.25'', '''B'''(''t'') estas je unu kvarono de la vojo de punkto '''P'''<sub>0</sub> al '''P'''<sub>1</sub>. Kiam ''t'' varias de 0 al 1, '''B'''(''t'') priskribas rektan linion de '''P'''<sub>0</sub> al '''P'''<sub>1</sub>.
/* kalkuli la kurba punkto je parametra valoro t */
=== Kvadrataj kurboj ===
_tSquared_ = t * t;
_tCubed_ = _tSquared_ * t;
[[Dosiero:Bezier 2 big.png|thumb|300px|Konstruado de kvadrata kurbo de Bézier]]
rezulto.x = (_ax_ * _tCubed_) + (_bx_ * _tSquared_) + (cX * t) + _cp_[0].x;
rezulto.y = (_ay_ * _tCubed_) + (per * _tSquared_) + (_cy_ * t) + _cp_[0].y;
Por kvadrata kurboj de Bézier unu povas konstrui interajn punktojn '''Q'''<sub>0</sub> kaj '''Q'''<sub>1</sub> tiaj ke kiam ''t'' varias de 0 al 1:
redoni rezulto;
}
* Punkto '''Q'''<sub>0</sub> varias de '''P'''<sub>0</sub> al '''P'''<sub>1</sub> kaj priskribas linearan kurbon de Bézier.
/*****************************************************************************
* Punkto '''Q'''<sub>1</sub> varias de '''P'''<sub>1</sub> al '''P'''<sub>2</sub> kaj priskribas linearan kurbon de Bézier.
_ComputeBezier_ enspacas tabelo de _Point2D_ _structs_ kun la kurbaj punktoj
* Punkto '''B'''(''t'') varias de '''Q'''<sub>0</sub> al '''Q'''<sub>1</sub> kaj priskribas kvadratan kurbon de Bézier.
generita de la apogaj punktoj _cp_. Vizitanto devas okupi sufiĉa memoro
<br clear=all>
por la rezulto, kiu estas <_sizeof_(_Point2D_) * _numberOfPoints_>
=== Kubaj kurboj ===
******************************************************************************/
[[Dosiero:Bezier 3 big.png|thumb|300px|Konstruado de kuba kurbo de Bézier]]
dezerteco _ComputeBezier_( _Point2D_* _cp_, _int_ _numberOfPoints_, _Point2D_* kurbo )
{
flosi _dt_;
_int_ mi;
Por kurboj de pli alta ordo oni bezonas respektive pli multajn interajn punktojn. Por kubaj kurboj oni povas konstrui interajn punktojn '''Q'''<sub>0</sub>, '''Q'''<sub>1</sub> kaj '''Q'''<sub>2</sub> kiuj priskribas linearajn kurbojn de Bézier, kaj punktojn '''R'''<sub>0</sub> kaj '''R'''<sub>1</sub> kiuj priskribas kvadratajn kurbojn de Bézier.
_dt_ = 1.0 / ( _numberOfPoints_ - 1 );
<br clear=all>
=== Kurboj de ordo 4 ===
[[Dosiero:Bezier 4 big.png|thumb|300px|Konstruado de kurbo de Bézier de ordo 4]]
por( mi = 0; mi < _numberOfPoints_; mi++)
kurbo[mi] = _PointOnCubicBezier_( _cp_, mi*_dt_ );
}
</antaŭ>
Por kvar-ordaj kurboj oni povas konstrui interajn punktojn '''Q'''<sub>0</sub>, '''Q'''<sub>1</sub>, '''Q'''<sub>2</sub>, '''Q'''<sub>3</sub> kiuj priskribas linearajn kurbojn de Bézier; punktojn '''R'''<sub>0</sub>, '''R'''<sub>1</sub>, '''R'''<sub>2</sub> kiuj priskribas kvadratajn kurbojn de Bézier; punktojn '''S'''<sub>0</sub>, '''S'''<sub>1</sub> kiuj priskribas kubajn kurbojn de Bézier.
Alia apliko por _Bézier_ kurboj estas al priskribi vojoj por la moviĝo de (objektoj, objektas) en (desegnitaj filmoj, animacioj, animacias), kaj tiel plu Ĉi tie, la x, y (pozicioj, pozicias) de la kurbo estas ne kutima grafika prezento la kurbo sed al pozicio grafika (disponaĵo. Kiam uzita en ĉi tiu (modo, maniero), la distanco inter sukcesaj punktoj povas iĝi grava, kaj en ĝenerala ĉi tiuj estas ne spacita egale - punktoj estos akumuliĝa pli strikte kie la apogaj punktoj estas proksime al unu la alian, kaj disvastigo pli larĝe por pli diste poziciitaj apogaj punktoj. Se lineara moviĝa rapido estas postulita, plui procezante estas (bezonata, bezonis) al disvastigo la rezultantaj punktoj (ebene, pare) laŭ la deziris vojo.
<br clear=all>
=== Animacioj ===
{|
==(Racionala, Racionalo) _Bézier_ kurboj==
| [[:Dosiero:Bezier 1 big.gif|Animacio de lineara kurbo de Bézier]]
|-
| [[:Dosiero:Bezier 2 big.gif|Animacio de kvadrata kurbo de Bézier]]
|-
| [[:Dosiero:Bezier 3 big.gif|Animacio de kuba kurbo de Bézier]]
|-
| [[:Dosiero:Bezier 4 big.gif|Animacio de kurbo de Bézier de ordo 4]]
|-
| [[:en:File:BezierCurve.gif|Animacio de kurbo de Bézier de ordo 5]]
|}
== Uzoj en komputila grafiko ==
Iuj kurboj (tiu, ke, kiu) aspekti simpla, ŝati la [[cirklo]], ne povas esti priskribita per Kurbo de Bézier aŭ popeca Kurbo de Bézier (kvankam en praktiko la diferenco estas malgranda kaj (majo, povas) esti tolerebla). Al priskribi iu de ĉi tiuj aliaj kurboj, ni (bezoni, bezono, necesa) aldona (gradoj, gradas) de libereco.
Kurboj de Bézier estas multe uzitaj en [[komputila grafiko]] kiel modelaj glataj kurboj. Pro tio ke la kurbo estas plene enhavata en la konveksa koverto de ĝiaj apogaj punktoj, la punktoj povas esti grafike elmontritaj kaj estas oportune manipuli la kurbon intuicie. [[Afina transformo|Afinaj transformoj]] kiel [[movo (geometrio)|movo]], [[skaligo (geometrio)|skaligo]] kaj [[rotacio|turnado]] povas esti aplikitaj al la kurbo per aplikado al la ĉiuj apogaj punktoj de la kurbo.
La (racionala, racionalo) Kurbo de Bézier adicias (pezoj, pezas) (tiu, ke, kiu) povas esti (ĝustigita, adaptita, alĝustigita). La numeratoro estas pezita Bernstein-a (formo, formi) Kurbo de Bézier kaj la denominatoro estas pezita (sumo, sumi) de [[Polinomo de Bernstein|Bernstein-a (polinomoj, polinomas)]].
La plej grava kurboj de Bézier estas kvadrataj kaj kubaj. Kurboj de la pli altaj gradaj estas pli multekostaj en komputado. Se pli komplikaj formoj estas bezonataj, la tuta kurbo estas disdividata je partoj, obeantaj certajn kondiĉoj je randoj por glateco. Ĉi tio estas tiel speco de [[laŭparta interpola funkcio]] - [[laŭparta interpola funkcio de Bézier]].
== Racionalaj kurboj de Bézier==
[[Dosiero:Rational Bezier curve-conic sections.svg|thumb|Kvadrataj racionalaj kurboj de Bézier, precize prezentantaj partojn de [[koniko]]j]]
Iuj kurboj kiuj aspektas kiel simpla, ekzemple [[cirklo]], ne povas esti priskribitaj kiel kurbo de Bézier aŭ popeca kurbo de Bézier (kvankam en praktiko la diferenco estas malgranda kaj povas esti tolerebla). Por priskribi iujn el ĉi tiuj aliaj kurboj, oni bezonas aldonajn gradojn de libereco.
La racionala kurbo de Bézier aldonas pezojn kiuj povas esti ĝustigitaj. La numeratoro estas pezita kurbo de Bézier kaj la denominatoro estas pezita sumo de [[polinomo de Bernstein|polinomoj de Bernstein]].
Por donitaj ''n+1'' apogaj punktoj '''P'''<sub>''i''</sub>, la racionala kurbo de Bézier estas
Donita ''n'' + 1 apogaj punktoj '''P'''<sub>''mi''</sub>, la (racionala, racionalo) Kurbo de Bézier povas esti priskribita per:
:<math>
\mathbf{B}(t) =
}
</math>
aŭ simple
kio estas
:<math>
\mathbf{B}(t) =
{
\sum_{i=0}^n {n \choose i} t^i (1-t)^{n-i}w_i
}.
</math>
La racionala kurbo de Bézier povas precize prezenti [[koniko]]jn.
==Vidi ankaŭ==
*_de_ _Casteljau_'s algoritmo
== Vidu ankaŭ ==
*[[Laŭparta interpola funkcio]]
*[[Laŭparta interpola funkcio de Bézier]]
* [[SurfacoAlgoritmo de de BézierCasteljau]]
* [[TrianguloLaŭparta deinterpola Bézierfunkcio]]
* [[Laŭparta interpola funkcio de Bézier]]
*_NURBS_
* [[B-laŭparta interpola funkcio]]
* [[Surfaco de Bézier]]
* [[Triangulo de Bézier]]
* [[Polinomo de Lagrange]]
== ReferencojEksteraj ligiloj ==
*(Paŭlo, Bono) _Bourke_: ''_Bézier_ kurboj'', http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/curves/bezier/
*[[Donald Knuth]]: ''_Metafont_: la Programo'', Addison-a-_Wesley_ 1986, _pp_. 123-131. Bonega diskuto de realigo (detaloj, detalas); havebla por libera kiel parto de la TeX distribuo.
*D-ro Tomaso _Sederberg_, _BYU_ ''_Bézier_ kurboj'', http://www.tsplines.com/resources/class_notes/Bezier_curves.pdf
* Paul Bourke: ''kurboj de Bézier'', http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/curves/bezier/
== Ekstera (ligoj, ligas) ==
* D-r Tomas Sederberg, BYU ''kurboj de Bézier'', http://www.tsplines.com/resources/class_notes/Bezier_curves.pdf
* [http://www.cs.unc.edu/~mantler/research/bezier/ _Bezier_ Kurba interaga apleto]
* [http://www.theparticlecs.comunc.edu/applets~mantler/nyuresearch/BezierAppletbezier/ 3-aInteraga (mendi,apleto ordo)por _Bezier_kurboj Kurbade apletoBézier]
* [http://www.theparticle.com/applets/nyu/BezierApplet/ Apleto por kurboj de Bézier de 3-a ordo]
* [http://www.sunsite.ubc.ca/LivingMathematics/V001N01/UBCExamples/Bezier/bezier.html Loĝanta Math _Bézier_ apleto]
* [http://www.sunsite.ubc.ca/LivingMathematics/V001N01/UBCExamples/Bezier/bezier.html Apleto]
* [http://www.ibiblio.org/e-notes/Splines/Bezier.htm Loĝanta Math _Bézier_ apletoj de malsama laŭparta interpola funkcio (klavas, tipoj), _JAVA_ programado de (splajnoj, laŭpartaj interpolaj funkcioj)] en [http://ibiblio.org/e-notes/Splines/Intro.htm An Interaga Enkonduko al (Splajnoj, Laŭpartaj interpolaj funkcioj)]
* [http://www.ibiblio.org/e-notes/Splines/Bezier.htm Apletoj de malsamaj laŭpartaj interpolaj funkcioj]
* [http://www.tinaja.com/cubic01.asp Don _Lancaster_'s Kuba Laŭparta interpola funkcia Biblioteko] priskribas kiel al aproksimi cirklo (aŭ cirkulera arko, aŭ hiperbolo) per Kurbo de Bézier; uzantaj kubaj laŭpartaj interpolaj funkcioj por bilda interpolo, kaj ekspliko de la math malantaŭ ĉi tiuj kurboj.
* [http://ibiblio.org/e-notes/Splines/Intro.htm Enkonduko al laŭpartaj interpolaj funkcioj]
* [http://www.tinaja.com/cubic01.asp Kuba laŭparta interpola funkcia biblioteko] de Don Lancaster
[[Kategorio:Komputila grafiko]]
[[es:Curva de Bézier]]
[[fr:Courbe de Bézier]]
[[ja:ベジェ曲線]]
[[ko:베지에 곡선]]
[[lt:Bezjė kreivė]]
[[nl:Béziercurve]]
| 