Gaŭsa leĝo: Malsamoj inter versioj
| [kontrolita revizio] | [nekontrolita versio] |
Enhavo forigita Enhavo aldonita
Kani (diskuto | kontribuoj) Neniu resumo de redakto |
Neniu resumo de redakto |
||
Linio 14:
En [[vakuo]], por fermita [[gaŭsa surfaco]] ''S'', la ''elektra fluo'' estas donita per sekvanta [[surfaca integralo]]:
<center><math> \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset \vec{\mathbf{E}} \cdot d\vec{\mathbf{
kie
* ''Q(V)'' estas la [[elektra ŝargo]] (inkluzivanta ambaŭ [[libera ŝargo|liberajn ŝargojn]] kaj [[bara ŝargo|barajn ŝargojn]]) en la volumeno ''V'' limigita de la surfaco ''S'',
* ''ε<sub>0</sub>'' estas la [[permitiveco de vakuo]].
== Diversaj formoj de ŝargoj ==
<center>Oni povas konsideri diversajn kazojn de elektraj ŝargoj ĉirkaŭigitaj de surfaco ''S''.</center>
*Kiam la surfaco ĉirkaŭas plurajn [[punkta ŝargo|punktajn ŝargoj]], tiam la totala ĉirkaŭigita elektra ŝargo estas kalkulota laŭ la formulo:
<center><math> Q(V) = \sum q_i</math></center>
kie '''<math> q_i </math>''' estas la elektra ŝargo de punkto ''i'',
*Kiam la surfaco ĉirkaŭas linian ŝargon kun [[lineara ŝarga denseco]] '''k''', tiam la ĉirkaŭigita elektra ŝargo estas kalkulota laŭ la formulo:
<center><math> Q(V) = \int k \mathrm d l </math> </center>,
*Kiam la surfaco ĉirkaŭas enen surfacan ŝargon kun [[surfaca ŝarga denseco]] '''j''', tiam la ĉirkaŭigita elektra ŝargo estas kalkulota lauŝ la formulo:
<center><math> Q(V) = \iint_S j \mathrm d s </math> </center>
*Kiam la surfaco ĉirkaŭas volumenan ŝargon kun [[volumena ŝarga denseco]] '''ρ''',
<center><math>\mathbf{ \rho} = \mathbf{\rho_l}+ \mathbf{\rho_b} </math> </center>
kie '''ρ<sub>l</sub>''' estas [[ŝarga denseco]] de [[libera ŝargo|liberaj ŝargoj]], kaj '''ρ<sub>b</sub>''' estas [[ŝarga denseco]] de [[bara ŝargo|baraj ŝargoj]] en la medio, tiam la ĉirkaŭigita elektra ŝargo estas kalkulota laŭ la formulo:
<center><math> Q(V) = \iiint_V\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \;\;\;\;\;\;\;\; \subset\!\supset \; \rho \; \mathrm d V </math> </center>
== Demonstro de [[kulomba leĝo]] ==
<center>La ''gaŭsa leĝo'' uzitiĝas por dedukti la [[kulomba leĝo|kulomban leĝon]], kaj reciproke.</center>
[[Dosiero:esfera2.PNG|thumb|250px|[[Elektra fluo]] de [[punkta ŝargo]] ene de [[sfero]].]]
Konsideru [[sfero]]n de radiuso '''r''' kun punkta elektra ŝargo '''q<sub>1</sub>''' lokata en ĝia centro, kiel indikita sur la desegno.
La [[elektra kampo]] <math>\vec E </math> estas paralela al la [[surfaca normalo|surfaca normala]] vektoro <math> \vec{dS} </math>, kaj la kampo estas konstanta pri ĉiuj punktoj de la sfera surfaco.
Konsekvence:
:<math>\Phi_{E} = \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset \vec{\mathbf{E}} \cdot d\vec{\mathbf{S}} = \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset {\mathbf{E}} \cos\theta d{\mathbf{S}}</math>
:<math>\Phi_{E} = \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset {\mathbf{E}} \cos(0) d{\mathbf{S}} = \mathbf{E} \cdot \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset d{\mathbf{S}} = \mathbf{E} \cdot 4\pi r^2</math>,
ĉar la surfaco de sfero estas:
<math>\iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset d{\mathbf{S}} = 4\pi r^2 \; .</math>
Laŭ la gaŭsa leĝo:
:<math>\Phi_{E} = \frac{q_1}{\varepsilon_0}\; ,</math>
do
:<math>\mathbf{E} = \frac{q_1}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \; .</math>
Se sur la surfaco '''S''' oni metas alian punktan elektran ŝargon '''q<sub>2</sub>''', tiu ŝargo estas submetita al la [[lorenca forto]]:
:<math>\vec{\mathbf{F}} = q_2 \cdot \vec{\mathbf{E}} \; ,</math>
tio estas:
:<math>|\vec{\mathbf{F}}| = \frac{q_1 q_2}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \;</math>
kio estas la [[kulomba leĝo]].
== Rilato al [[ekvacioj de Maxwell]] ==
La ''ekvacio de Maxwell-Gauss'' per [[elektra ŝovodenso]] kaj sub diferenciala formo permesas dedukti la ''[[leĝo de Gauss|leĝon de Gauss]]'', fakte de:
:::::::::::<math> \nabla \cdot \vec{\mathbf{D}} = \rho_l \; ,</math>
la apliko de [[teoremo de Ostrogradskij-Gaŭso]] al la ĉi-supra ekvacio rezultigas:
<center><math> \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset \vec{\mathbf{D}} \cdot d\vec{\mathbf{S}} = \iiint_V\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \;\;\;\;\;\;\;\; \subset\!\supset \;\rho_l \; \mathrm d V \; , </math></center>
kio estas la ''gausa leĝo'' en ĝenerala medio (inkluzive [[dielektriko]]).
Pri lineara, uniforma, izotropa medio:
<center><math> \vec{\mathbf{ D}} = \varepsilon \varepsilon_0 \vec{\mathbf{ E}}\; , </math> </center>
kie ''ε'' estas la [[relativa permitiveco]] de la medio, do
::::::::::<math> \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset \vec{\mathbf{E}} \cdot d\vec{\mathbf{S}} \; = \frac{Q(V)}{\varepsilon \varepsilon_0} \; . </math>
Pri [[libera spaco]] ''ε'' = 1, ni bone retrovas la originan ''gausan leĝon'' pri vakuo.
==Vidu ankaŭ ==
* [[Gaŭso]]
* [[Elektra konstanto]]
* [[Kulomba leĝo]]
* [[Lorenca forto]]
== Referencoj ==
Linio 24 ⟶ 83:
[[Kategorio: Elektrostatiko]]
[[ar:قانون جاوس]]
| |||