Ordonombro: Malsamoj inter versioj

1 166 bitokojn aldonis ,  antaŭ 11 jaroj
nova enkonduko kaj lingva poluro
e (Numero (matematiko) alinomita al Ordonombro: vidu la diskutpaĝon)
(nova enkonduko kaj lingva poluro)
[[Image:omega-exp-omega.svg|thumb|250px|Reprezentaĵo de ordinalojordonombroj ĝis &omega;<sup>&omega;</sup>. Ĉiu turno de la spiralo reprezentas unu potencon de &omega;]]
En [[matematiko|matematika]] [[aroteorio]], la '''ordonombroj''' estas nombrosistemo kiu vastigas la sistemon de [[natura nombro|naturaj nombroj]] al senfine grandaj nombroj. Notindas ke ekzistas du malsamaj vastigoj de la naturaj nombroj al senfine grandaj nombroj: Se oni rigardas naturajn nombrojn en sia funkcio kiel mezuriloj por grandeco de finhavaj aroj, tiam la vastigo al senfinaj aroj donas la [[kvantonombro]]jn. Se oni aliflanke rigardas la naturajn nombrojn en sia funkcio kiel indikiloj de pozicioj en iu finhava [[ordigita aro]], tiam vastigo al senfinaj aroj donas la ordonombrojn. Por povi senchave paroli pri pozicioj en senfina ordigita aro, oni tamen devas limigi sin al la[[bone ordigita aro|bone ordigitaj aroj]], kiuj estas la ordigitaj aroj ĉe kiuj ĉiu [[subaro]] havas plej malgrandan elementon.
En [[matematiko|matematika]] [[aroteorio]], '''numero''', '''vicmontra nombro''' aŭ '''ordinalo''' estas [[tipo de ordo]] de [[plene ordigita aro]]. Plej kutime ili estas difinita kiel herede [[transitiva aro]]. Ordinaloj estas vastigo de aro de [[naturalo]]j, sed malsamaj de [[entjero]]j kaj [[kardinala nombro|kardinalaj nombroj]]. Kiel por ĉiuj aliaj tipoj de nombroj, por ordinaloj estas difinitaj operacioj de adicio, multipliko kaj potenciigo.
 
Oni povas rigardi la ordonombrojn kiel [[ordotipo]]jn de bone ordigitaj aroj. Origine oni identigis la ordotipojn kun la [[ekvivalentklaso]]j de ordigitaj aroj, kun [[izomorfio|izomorficeco]] kiel [[ekvivalento-rilato]]. Ĉar en la moderna [[aksioma aroteorio]] tiaj ekvivalentklasoj ne povas esti aroj, oni nuntempe preferas identigi la ordonombrojn kun la herede [[transitiva aro|transitivaj aroj]].
Unue la koncepton de ordinalaj numeroj enkondukis [[Georg Cantor]] en 1897 por priskribi [[infinito|nefiniajn]] [[vico]]jn kaj klasi arojn laŭ [[teorio de ordo]]. Pli detaljn priskribojn de la sistemo donis Levy (1979) kaj Sacks (2003).
 
Kiel por aliaj nombrospecoj, por ordonombroj estas difinitaj operacioj de [[adicio]], [[obligo]] kaj [[potencigo]]. [[Subtraho]] kaj [[divido]] ne estas difinablaj por la ordonombroj.
La finiaj ordinaloj (samkiel finiaj kardinaloj) estas naturaloj: 0, 1, 2, …, ĉar ĉiuj du ordoj de finia aro estas [[orda izomorfismo|orde izomorfaj]]. La plej malgranda nefinia ordinalo ω estas identa kun plej malgranda nefinia kardinalo <math>\aleph_0</math>. Tamen, transfiniaj ordinaloj post ω havas fajnan distingon, kiun kardinaloj ne havas. Ekzemple, dum ekzistas nur unu [[nombrebla aro|nombrebla]] nefinia kardinalo <math>\aleph_0</math>, estas nefinie multe da nombreblaj nefiniaj ordinaloj:
 
Unue la koncepton de ordinalaj numerojordonombroj enkondukis [[Georg Cantor]] en 1897 por priskribi [[infinitosenfineco|nefiniajnsenfinajn]] [[vico]]jn kaj klasiklasigi arojn laŭ [[teorio de ordo]]. Pli detaljn priskribojn de la sistemo donis Levy (1979) kaj Sacks (2003).
 
La finiajfinhavaj ordinalojordonombroj (samkielsame finiajkiel kardinalojla finhavaj kvantonombroj) estas naturaloj:naturaj nombroj (0, 1, 2, …), ĉar ĉiuj du ordoj de finiafinhava aro estas [[orda izomorfismoizomorfio|orde izomorfajizomorfiaj]]. La plej malgranda nefiniasenfina ordinaloordonombro ω estas identa kun plej malgranda nefiniasenfina kardinalokvantonombro <math>\aleph_0</math>. Tamen, transfiniajsenfinaj ordinalojordonombroj post ω havas fajnansubtilan distingon, kiun kardinalojkvantonombroj ne havas. Ekzemple, dum ekzistas nur unu [[nombrebla aro|nombrebla]] nefiniasenfina kardinalokvantonombro <math>\aleph_0</math>, estas nefinie multesenfine damultaj nombreblaj nefiniajsenfinaj ordinalojordonombroj:
 
:ω, ω&nbsp;+&nbsp;1, ω&nbsp;+&nbsp;2, &hellip;, ω·2, ω·2&nbsp;+&nbsp;1, &hellip;, ω<sup>2</sup>, &hellip;, ω<sup>3</sup>, &hellip;, ω<sup>ω</sup>, &hellip;, ω<sup>ω<sup>ω</sup></sup>, &hellip;, ε<sub>0</sub>, &hellip;.
 
Malsimile al kardinalojkvantonombroj kaj aliaj nombraj sistemoj, en ordinalojordonombroj [[adicio]] kaj [[multiplikoobligo]] ne estas [[komuteco|komutajkomutecaj]]. Ekzemple, 1&nbsp;+&nbsp;ω estas ω, sed ne ω&nbsp;+&nbsp;1, kaj, simile, 2·ω estas ω, sed ne ω·2. [[Povo de aro]] de ĉiuj nombreblaj ordinalojordonombroj estas la unua nenombrebla ordinaloordonombro ω<sub>1</sub>, kiu estas identa kun kardinalokvantonombro <math>\aleph_1</math> (la sekva post <math>\aleph_0</math>). PleneBone ordigitaj kardinalojkvantonombroj estas identajidentigataj kun iniaj komencaj ordinalojordonombroj, t.e. la plej malgrandaj ordinalojordonombroj dekun samatiu povokvantonombro. KiamLa onikvantonombro parolasde priordonombro povodifinas dene-disĵetan ordinalo,[[surĵeto]]n onide parolasla priordonombroj multaj-al-unu asociola interkvantonombroj. ordinaloj kaj kardinaloj.
 
Ĝenerale, ĉiu ordinaloordonombro α estas la tipo de ordoordotipo de la aro de ordinaloj,ordonombroj strikterigore malpli grandaj ol α mem. Tiel ĉiu ordinaloordonombro povas esti reprezentita per aro de ĉiuj ordinaloj,ordonombroj malpli grandaj ol ĝi mem. Aro de ordinalojOni povas estisklasigi apartigitala jeordonombrojn kategoriojjene: [[nulo]], finiaj ordinalojsekvanto-nombroj kaj limesajlimaj ordinalojordonombroj (de variaj [[kunfiniecosamfineco]]j). Se donataestas donita klaso de ordinalojordonombroj, oni povas difini la α-an membron de tiu ĉi klaso, t.e. oni povas numeri ilin. La klaso estas fermita kaj [[barita funkcio|nebarita]] se ĝia indica funkcio estas kontinua kaj ne finiĝas. La ''Cantor-norma formo'' de ordinaloordonombro estas unika reprezentaĵo de iu ordinaloordonombro kiel finiafinhava sumo de ordinalajordonombraj potencoj de ω. Tamen, tiu ĉi notacio povas esti nekonsista pro tiaj memreferencaj reprezentaĵoj kiel <math>\epsilon_0 = \omega^{\epsilon_0}</math>. Pli kaj pli grandaj ordinalojordonombroj povas esti difinitaj kaj ili iĝas pli kaj pli malfacile priskribeblaj.
 
Ĉiu ordinaloordonombro povas esti transformita al [[topologia spaco]] per [[orda topologio]]. Tiu topologio estu [[diskreta topologio|diskreta]] se kaj nur se la ordinaloordonombro estas identa kun nombrebla kardinalo, t.e. ne pli granda ol ω. Subaro ω&nbsp;+&nbsp;1 estas malfermita en la orda topologio se kaj nur se ĝi estas kunfinia aŭ ne enhavas na ω.
 
==Vastigo de naturalojnaturaj nombroj==
Oni povas rigardi [[naturalonatura nombro|naturan nombron]]n (inkluzive [[nulo]]n) laŭ du manieroj: kiel grando de [[aro]] aŭ kiel pozicio de aparta elemento en la aro. Por finiaj aroj tiuj du konceptoj kongruas, ĉar ekzistas nur unu maniero transformi aron al linia vico (krom izmorfismoj). Sed prizorgante nefiniajn arojn oni devas distingi inter ncio de grando (per kiu difiniĝas [[kardinalaj nombroj]] kaj nocio de pozicio, kiun ĝeneraligas ĉi-priskribata aro de ordinalojordonombroj. Tio okazas pro ke iu nefinia aro, havante nur unu "grandon" ([[povo de aro|povon]]), havas nefinie multe da neizomorfaj ordoj de si.
 
Kiam nocio de kardinala nombro asociiĝas kun senstruktura aro, la nocio de ordinaloordonombro estas ligita kun aparte [[plene ordigita aro|plene ordigitaj aroj]] - tiel proksime ligita, ke tiuj du nocioj ofte estas uzataj interŝanĝeble. Plene ordigitaj aroj estas [[tuteca ordo|tutece ordigitaj]] (t.e. por iuj du malsamaj elementoj unu estas pli granda ol alia) en kiu ne eblas nefinia ''malkreskanta'' vico (tamen, nefiniaj kreskantaj vicoj darfas ekzisti). Krome, ĉiu ne malplena subaro de la aro havas almenaŭ unu elementon. OrdinalojOrdonombroj uzeblas por marki (numeri) elementojn de ĉiu plene ordigita aro (la plej magranda elemento markiĝas kiel 0, poste 1, poste 2 ktp) kaj "longo" de la aro difiniĝas kiel la plej malgranda ordinaloordonombro, kiu ne estas marko de iu elemento de la aro. Tiu "longo" nomiĝas ''tipo de ordo''.
 
Ĉiu ordinaloordonombro difineblas per la aro de antaŭaj ordinalojordonombroj. Fakte, plimulto de nune uzataj difinoj difinas ordinalonordonombron ''kiel'' aron de antaŭaj ordinalojordonombroj. Ekzemple, ordinalala nombroordonombro 42 estas difinebla kiel la aro de antaŭaj ordinalojordonombroj {0,1,2,…,41}. Pli ĝenerale, iu aro (''S'') de ordinalojordonombroj kiu estas masupren-limigita (t.e. por ĉiu ordinaloordonombro α el S kaj ĉiu ordinaloordonombro β < α, β estas ankaŭ el ''S'' kaj estas (aŭ estas identa kun) ordinaloordonombro.
 
Ĝis nun ni nurenur menciis finiajnfinhavajn ordinalojnordonombrojn, t.e,do naturajn naturalojnnombrojn. Sed samkiel transfiniajekzistas senfinaj kardinalojkvantonombroj, ekzistas transfiniajsenfinaj ordinalojordonombroj. La unua nefiniasenfina ordinaloordonombro estas '''ω''', kiu estas tipola de ordoordotipo de arola denaturaj ĉiuj naturalojnombroj (finiajfinhavaj ordinalojordonombroj) kaj identeblasidentigeblas kun la ''aro'' de naturaj nombroj.
 
[[Image:Omega squared.png|thumb|right|256px|Grafika reprezentaĵo de la ordinaloordonombro ω². Ĉiu linieto respondas al ordinaloordonombro de formo ω·''m''+''n'' kie ''m'' kaj ''n'' estas naturalojnaturaj nombroj.]]
Eble oni povas ekhavi plian intuician komprenon de ordinalojordonombroj post pripenso de kelkaj unuaj el ili. Kiel supre-menciite, la aro komencas je naturalojnaturaj nombroj (inkluzive nulon): 0, 1, 2, 3, … Post ''ĉiuj'' naturalojnaturaj nombroj sekvas la unua transfinia ordinaloordonombro ω, kiun sekvas ω+1, ω+2, ω+3, ktp. (Poste ni difinos pli precize kion signifas la adicio kuntekste de ordinalojordonombroj; nun kosideru tion simple kiel nomojn). Post ĉiuj tiuj sekvas ω·2 (aŭ ω+ω), ω·2+1, ω·2+2, ktp, poste, sammaniere, ω·3, ω·4, … Nun konsideru ni la aron de ordinalojordonombroj, kiuj formiĝas ĉi-maniere - kiel ω·''m''+''n'', kie ''m'' kaj ''n'' estas naturalojnaturaj nombroj. Estiel aro, ĝi devas mem enhavi asociitan ordinalonordonombron, kaj tiu markiĝas kiel ω<sup>2</sup>. Plue sammaniere ni difinos na ω<sup>3</sup>, poste na ω<sup>4</sup>, ktp, ĝis ω<sup>ω</sup>, poste, post sekva iteracio, na ω<sup>ω²</sup>, ktp ĝis ε<sub>0</sub> (''[[epsilono nula]]'') Tiuj ĉiuj ankoraŭ estas relative malgrandaj (nombreblaj) ordinalojordonombroj. Tiel ni povas daŭrigi nefinie. OrdinalojOrdonombroj estas aparte taŭgaj por nefinie grandaj numeradoj: preskaŭ ĉiam, kiam oni diras "kaj tiel plu" numerante ordinalojnordonombrojn, oni per tio jam difinas pli grandan ordinalonordonombron. La plej malgranda nenombrebla ordinaloordonombro estas aro de ĉiuj nombreblaj ordinalojordonombroj, markita per ω<sub>1</sub>.
 
== Difinoj ==