|
<math>\aleph_0</math> estas la kardinalo de la aro de ĉiuj [[natura nombro|naturaj nombroj]], kaj estas la unua [[transfinia nombro|transfinia kardinalo]]. Aro havas kardinalon <math>\aleph_0</math> se kaj nur se ĝi estas [[kalkulebla malfinio]], kio estas se kaj nur se ĝi povas esti metita en [[ensurĵeto|reciproke unuvalora surĵeto]] kun la naturaj nombroj. Ĉiuj tiaj aroj inkluzivas la aron de ĉiuj [[primo]]j, la aron de ĉiuj [[entjero]]j, la aron de ĉiuj [[racionala nombro|racionalaj nombroj]], la aron de [[algebra nombro|algebraj nombroj]], la aron de ĉiuj finiaj [[subaro]]j de ĉiu [[kalkuleble malfinio|kalkuleble malfinia]] aro.
Se la [[aksiomo de elekto]] veras, aŭ eĉ se [[aksiomo de numereblakalkulebla elekto]] (pli malforta versio de la aksiomo de elekto) veras, do <math>\aleph_0</math> estas pli malgranda ol ĉiu la alia malfinia kardinalo.
== Alef-unu ==
<math>\aleph_1</math> estas la kardinalo de la aro de ĉiuj numereblajkalkuleblaj [[orda numero|ordaj numeroj]], nomata kiel '' '''ω'''<sub>1</sub>'' aŭ '''''Ω'''''. Ĉi tiu '' '''ω'''<sub>1</sub>'' estas mem orda numero pli granda ol ĉiuj numereblajkalkuleblaj ordaj numeroj, tiel ĝi estas [[nekalkulebla aro]]. Pro tio <math>\aleph_1</math> estas malsama de <math>\aleph_0</math>. La difino de <math>\aleph_1</math> implicas (en ZF ([[aroteorio de Zermelo-Fraenkel]]) eĉ sen la [[aksiomo de elekto]] (AC)) ke neniu kardinalo estas inter <math>\aleph_0</math> kaj <math>\aleph_1</math>. Se la aksiomo de elekto estas uzata, povas esti plu pruvite ke la klaso de kardinaloj estas [[tutece ordita]], kaj tial <math>\aleph_1</math> estas la dua plej malgranda malfinia kardinalo. Uzante AC ni povas montri unuon el la plej utilaj propraĵoj de la aro '''''Ω''''': ĉiu numereblakalkulebla subaro de '''''Ω''''' havas superan baron en '''''Ω'''''. Ĉi tio sekvas el tio ke numereblakalkulebla unio de numereblajkalkuleblaj aroj estas numereblakalkulebla, unu el la plej komunaj aplikoj de AC. Ĉi tiu fakto estas analoga al la situacio kun <math>\aleph_0</math>: ĉiu finia aro de naturaj nombroj havas maksimumon kiu estas ankaŭ natura nombro; tio estas, finia [[kunaĵo]] de finiaj aroj estas finia.
'''Ω''' estas reale utila koncepto, kvankam ekzotike sonanta. Ekzempla apliko estas la fermado kun respekto al numereblajkalkuleblaj operacioj; ekzemple, provo eksplicite priskribi la [[σ-algebro]]n generitan per ajna kolekto de subaroj. Ĉi tio estas pli peza ol plej eksplicitaj priskriboj de "generacio" en algebro ([[vektora spaco|vektoraj spacoj]], [[teorio de grupoj|grupoj]], kaj tiel plu) ĉar en tiuj okazoj oni nur devas fermi kun respekto al finiaj operacioj - sumoj, produtoj, kaj la similaj. La procezo engaĝas difinadon, por ĉiu numereblakalkulebla orda numero, tra [[transfinia indukto]], de aro per "ĵetado en" de ĉiuj eblaj numereblajkalkuleblaj kunaĵoj kaj komplementoj, kaj preno de unio de ĉi ĉiuj super ĉiuj el '''''Ω'''''.
== Kontinuaĵa hipotezo ==
|
