Hiperreela nombro: Malsamoj inter versioj
| [kontrolita revizio] | [kontrolita revizio] |
Enhavo forigita Enhavo aldonita
e roboto aldono de: cs:Hyperreálné číslo |
Marcos (diskuto | kontribuoj) lingva polureto |
||
Linio 7:
Tiu nombro estas la [[infinito]], kaj ĝia inverto estas [[infinitezimo]]. La aro de hiperreeloj *'''R''' estas [[Aroteorio|kunigo]] de aro '''R''', aro de infinitoj kaj aro de infinitezimoj. Ĝi kongruas kun [[principo de transdono]], laŭ kiu ĉiuj [[aserto (logiko)|asertoj]] de [[unua-orda logiko]], kiuj estas veraj por iu aro, ankaŭ veras por ĉiuj vastigaĵoj de la aro. Do, bazaj algebraj [[aksiomo]]j pri reeloj ankaŭ veras pri hiperreloj - ekzemple, [[komuteco]], [[asocieco]], [[distribueco]] ktp.
Ekde unuaj logikistoj de [[Antikva Grekio]] oni disputis, ĉu estas logike ĝuste uzi
Apliko de la hiperreeloj kaj de principo de transdono en [[analitiko]] donis starton de nova branĉo de matematika teorio, la [[hiperreela analitiko]]. Multaj matematikistoj trovas ĝin pli logika, intuicia kaj komprenebla ol klasika [[reela analitiko]].
Linio 14:
La baza ideo pri hiperreeloj estas vastigi sistemon de reeloj '''R''' por formi sistemon *'''R''', kiu enhavu reelojn, infinitojn kaj infinetizimojn, sed sen ŝanĝo de bazaj aksiomoj de algebro. Ĉiu aserto, kiu estas vera por ĉiu reelo, ankaŭ estu vera por hiperreeloj. Ekzemple, aksiomo "por ĉiu ''x'', ''x'' + 0 = ''x''" ankaŭ apliku, se ''x'' estas hiperreelo. Same aplikas aksiomoj, kiuj estas veraj por kelkaj reeloj, ekzemple "por ĉiuj reeloj ''x'' kaj ''y'', ''xy'' = ''yx''." La ebleco transdoni tiajn ecojn de reeloj al hiperreeloj nomiĝas [[principo de transdono]].
Tamen, asertoj de formo "por iu [[aro]] de nombroj S..." ne nepre transdoniĝas. La asertoj, kiuj baziĝas sur [[
Ekzemple, en sistemo de hiperreeloj *'''R''' ekzistas elemento ''w'', por kiu
Linio 87:
sed tie ĉi ni renkontas problemon, ĉar eĉ se iuj elementoj de la unua vico estas malpli grandaj ol respondaj elementoj de la dua, estas neniu garantio, ke aliaj ne estos pli grandaj. Do, tia rilato estas nur [[partordo|partorda]]. Por ĉirkaŭiri tiun problemon, ni devas difini precize kiuj pozicioj gravas por komparo. Ĉar la vicoj estas nefiniaj, ni ne volas ke nur finia aro de elementoj estu grava. Plej logika elekto de indica aro estas difinebla per libera [[ultrafiltro]] ''U'' sur [[naturalo]]j. Tiuj estas la ultrafiltriloj kiuj ne enhavas iujn finiajn arojn. (La [[aksiomo de elekto]] garantias ekziston de multaj tiaj ''U'' kaj fakte ne gravas, kiun ni prenu. Malavantaĝo estas, tamen, ke ultrafiltroj ne estas eksplike konstrueblaj.) Ni pensas pri ''U'' kiel pri unu el eblaj aroj de "gravaj" elementoj por komparo: ni skribas (''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ...) ≤ (''b''<sub>0</sub>, ''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, ...) se kaj nur se la aro de naturaloj { ''n'' : ''a''<sub>''n''</sub> ≤ ''b''<sub>''n''</sub> } estas en ''U''.
Tio ĉi estas [[Severa malforta ordo#Tuteca antaŭordigo|tuteca antaŭordigo]] kaj ĝi iĝas [[tuteca ordo]] se ni konsentas ne distingi inter vicoj ''a'' kaj ''b'' se ''a''≤''b'' kaj ''b''≤''a''. Per tiu difinaro, la ordigita korpo de hiperreeloj '''*R''' estas konstruita. De algebra vidpunkto, ''U'' ebligas difini respondan [[idealo (matematiko)|maksimuman idealon]] '''I''' de komuta ringo '''A''' kaj poste difini na '''*R''' kiel '''A'''/'''I'''. Kiel
La korpo '''A'''/''U'' estas [[ultraproduto|ultrapotenco]] de '''R'''. Ĉar la korpo enhavas na '''R''', ĝia [[povo de aro|povo]] estas almenaŭ ne malpli granda ol la kontinuo. Ĉar '''A''' havas povon
Linio 100:
Tie ĉi sekvas intuicia maniero kompreni la koncepton de hiperreela nombro. La alveno tie ĉi estas proksima al tiu en la libro far Robert Goldblatt.<ref>{{Citation | last1=Goldblatt | first1=Robert | title=Lectures on the hyperreals: an introduction to nonstandard analysis | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-98464-3 | year=1998}}</ref> Rememoru, ke la vicoj, kiuj konverĝas al nulo, estas iam nomataj nefinie malgrandaj. Tiuj ĉi estas preskaŭ rekte laŭdifine infinitezimoj - veraj infinitezimoj estas klasoj de vicoj, kiuj enhavas vicojn, konverĝantaj al nulo. Vidu ni, de kie venas tiuj klasoj. Unue ni konsideru vicojn de reeloj. Ili formas [[ringo (matematiko)|ringon]], t.e. oni povas adicii kaj multipliki ilin, kvankam ili ne estas ĉiam divideblaj je ne-nulo. La reeloj estas konstantaj vicoj, en kiuj ĉiuj elementoj egalas. La vico estas nula nur se ĝi estas idente nula, t.e. ''a''<sub>''n''</sub> = 0 por ĉiuj ''n''.
En ringo, oni ne povas atingi na ''ab'' = 0 en kiu nek ''a'' = 0 nek ''b'' = 0. Do, se por du vicoj <math>a, b\quad</math> oni havas ''ab'' = 0, almenaŭ unu el ili estu proklamita nula. Mirinde, ekzistas
Tiu ĉi konstruo estas paralela al konstruo de reeloj el [[racionalo]]j far [[Georg Cantor]]. Li komencis kun ringo de [[fundamenta vico|fundamentaj vicoj]] de racionaloj kaj deklaris ĉiujn vicojn, konverĝantajn al nulo, nulo. La rezulta aro estas aro de reeloj. Por daŭrigi la konstruon al hiperreeloj, ni kosideru la nulajn arojn de tiaj vicoj, t.e. <math>z(a)=\{i: a_i=0\}\quad</math>, kie <math>z(a)\quad</math> estas aro de indicoj <math>i\quad</math> por kiuj <math>a_i=0\quad</math>. Evidente, se <math>ab=0\quad</math>, do la kunigo de <math>z(a)\quad</math> kaj <math>z(b)\quad</math> estas ''N'' (aro de [[naturalo]]j). Do:
Linio 133:
==Ecoj de infinitoj kaj infinitezimoj==
La finiaj elementoj '''F''' de '''*R''' formas [[loka ringo|lokan ringon]] kaj estas, fakte, [[valoriga ringo]] kun unika maksimuma idealo '''S''', kiu estas aro de infinitezimoj; la
* Se ambaŭ ''x'' kaj ''y'' estas finiaj,
| |||