Hiperreela nombro: Malsamoj inter versioj

11 bitokojn aldonis ,  antaŭ 12 jaroj
lingva polureto
[kontrolita revizio][kontrolita revizio]
e (roboto aldono de: cs:Hyperreálné číslo)
(lingva polureto)
Tiu nombro estas la [[infinito]], kaj ĝia inverto estas [[infinitezimo]]. La aro de hiperreeloj *'''R''' estas [[Aroteorio|kunigo]] de aro '''R''', aro de infinitoj kaj aro de infinitezimoj. Ĝi kongruas kun [[principo de transdono]], laŭ kiu ĉiuj [[aserto (logiko)|asertoj]] de [[unua-orda logiko]], kiuj estas veraj por iu aro, ankaŭ veras por ĉiuj vastigaĵoj de la aro. Do, bazaj algebraj [[aksiomo]]j pri reeloj ankaŭ veras pri hiperreloj - ekzemple, [[komuteco]], [[asocieco]], [[distribueco]] ktp.
 
Ekde unuaj logikistoj de [[Antikva Grekio]] oni disputis, ĉu estas logike ĝuste uzi nefinitajnsenfinajn valorojn en argumentoj. Por eviti tian dubon, ekzemple, [[Eŭklido]] anstataŭigis tiajn pruvojn per aliaj teknikoj kiel [[metodo de elĉerpo]]<ref>Ball, p. 31</ref> En la [[1960-aj jaroj]] [[Abraham Robinson]] pruvis, ke hiperreeloj estas logike konsistajkoheraj [[se kaj nur se]] tiaj estas la reeloj. Tio forigis dubojn kaj timojn pri uzebleco de hiperreeloj, se oni pritraktas ilin laŭ logikaj reguloj, kiujn Robinson difinis.
 
Apliko de la hiperreeloj kaj de principo de transdono en [[analitiko]] donis starton de nova branĉo de matematika teorio, la [[hiperreela analitiko]]. Multaj matematikistoj trovas ĝin pli logika, intuicia kaj komprenebla ol klasika [[reela analitiko]].
La baza ideo pri hiperreeloj estas vastigi sistemon de reeloj '''R''' por formi sistemon *'''R''', kiu enhavu reelojn, infinitojn kaj infinetizimojn, sed sen ŝanĝo de bazaj aksiomoj de algebro. Ĉiu aserto, kiu estas vera por ĉiu reelo, ankaŭ estu vera por hiperreeloj. Ekzemple, aksiomo "por ĉiu ''x'', ''x''&nbsp;+&nbsp;0&nbsp;=&nbsp;''x''" ankaŭ apliku, se ''x'' estas hiperreelo. Same aplikas aksiomoj, kiuj estas veraj por kelkaj reeloj, ekzemple "por ĉiuj reeloj ''x'' kaj ''y'', ''xy''&nbsp;=&nbsp;''yx''." La ebleco transdoni tiajn ecojn de reeloj al hiperreeloj nomiĝas [[principo de transdono]].
 
Tamen, asertoj de formo "por iu [[aro]] de nombroj S..." ne nepre transdoniĝas. La asertoj, kiuj baziĝas sur [[kvantorokvantigilo|kvantigado]]j super [[aro]]j (aŭ pli altnivelaj konstruoj super aroj, kiel [[funkcio]]j) ĝenerale malsamas inter reeloj kaj hiperreeloj. Tiaj logikaj asertoj, kiuj ne bezonas kvantoronkvantigadon super aro, nomiĝas asertoj de [[unua-orda logiko]].
 
Ekzemple, en sistemo de hiperreeloj *'''R''' ekzistas elemento ''w'', por kiu
sed tie ĉi ni renkontas problemon, ĉar eĉ se iuj elementoj de la unua vico estas malpli grandaj ol respondaj elementoj de la dua, estas neniu garantio, ke aliaj ne estos pli grandaj. Do, tia rilato estas nur [[partordo|partorda]]. Por ĉirkaŭiri tiun problemon, ni devas difini precize kiuj pozicioj gravas por komparo. Ĉar la vicoj estas nefiniaj, ni ne volas ke nur finia aro de elementoj estu grava. Plej logika elekto de indica aro estas difinebla per libera [[ultrafiltro]] ''U'' sur [[naturalo]]j. Tiuj estas la ultrafiltriloj kiuj ne enhavas iujn finiajn arojn. (La [[aksiomo de elekto]] garantias ekziston de multaj tiaj ''U'' kaj fakte ne gravas, kiun ni prenu. Malavantaĝo estas, tamen, ke ultrafiltroj ne estas eksplike konstrueblaj.) Ni pensas pri ''U'' kiel pri unu el eblaj aroj de "gravaj" elementoj por komparo: ni skribas (''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ...) ≤ (''b''<sub>0</sub>, ''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, ...) se kaj nur se la aro de naturaloj { ''n'' : ''a''<sub>''n''</sub> ≤ ''b''<sub>''n''</sub> } estas en ''U''.
 
Tio ĉi estas [[Severa malforta ordo#Tuteca antaŭordigo|tuteca antaŭordigo]] kaj ĝi iĝas [[tuteca ordo]] se ni konsentas ne distingi inter vicoj ''a'' kaj ''b'' se ''a''≤''b'' kaj ''b''≤''a''. Per tiu difinaro, la ordigita korpo de hiperreeloj '''*R''' estas konstruita. De algebra vidpunkto, ''U'' ebligas difini respondan [[idealo (matematiko)|maksimuman idealon]] '''I''' de komuta ringo '''A''' kaj poste difini na '''*R''' kiel '''A'''/'''I'''. Kiel kvantorokvociento de komuta ringo per maksimuma idealo, '''*R''' estas korpo. Oni ankaŭ povas skribi tion ĉi kiel '''A'''/''U'', rekte per ultrafiltro ''U''; ambaŭ variantoj estas ekvivalentaj.
 
La korpo '''A'''/''U'' estas [[ultraproduto|ultrapotenco]] de '''R'''. Ĉar la korpo enhavas na '''R''', ĝia [[povo de aro|povo]] estas almenaŭ ne malpli granda ol la kontinuo. Ĉar '''A''' havas povon
Tie ĉi sekvas intuicia maniero kompreni la koncepton de hiperreela nombro. La alveno tie ĉi estas proksima al tiu en la libro far Robert Goldblatt.<ref>{{Citation | last1=Goldblatt | first1=Robert | title=Lectures on the hyperreals: an introduction to nonstandard analysis | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-98464-3 | year=1998}}</ref> Rememoru, ke la vicoj, kiuj konverĝas al nulo, estas iam nomataj nefinie malgrandaj. Tiuj ĉi estas preskaŭ rekte laŭdifine infinitezimoj - veraj infinitezimoj estas klasoj de vicoj, kiuj enhavas vicojn, konverĝantaj al nulo. Vidu ni, de kie venas tiuj klasoj. Unue ni konsideru vicojn de reeloj. Ili formas [[ringo (matematiko)|ringon]], t.e. oni povas adicii kaj multipliki ilin, kvankam ili ne estas ĉiam divideblaj je ne-nulo. La reeloj estas konstantaj vicoj, en kiuj ĉiuj elementoj egalas. La vico estas nula nur se ĝi estas idente nula, t.e. ''a''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;0 por ĉiuj ''n''.
 
En ringo, oni ne povas atingi na ''ab''&nbsp;=&nbsp;0 en kiu nek ''a''&nbsp;=&nbsp;0 nek ''b''&nbsp;=&nbsp;0. Do, se por du vicoj <math>a, b\quad</math> oni havas ''ab''&nbsp;=&nbsp;0, almenaŭ unu el ili estu proklamita nula. Mirinde, ekzistas konsistakohera maniero fari tion. Rezulte, la vicoj kiuj malsamas je vico deklarita nula formas hiperreelan [[korpo (matematiko)|korpon]]. Ĝi enhavos infinetizimojn aldone al normaj reeloj, kaj samkiel la infinite grandajn nombrojn, kiuj estas multiplikaj [[inverso]]j de infinetizimoj (ilin reprezentas vicoj, kiuj konverĝas al senfineco). Ĉiu hiperreelo, kiu ne estas nefinie granda, estos nefinie proksima al iu reelo, t.e. estos reelo + infinitezimo.
 
Tiu ĉi konstruo estas paralela al konstruo de reeloj el [[racionalo]]j far [[Georg Cantor]]. Li komencis kun ringo de [[fundamenta vico|fundamentaj vicoj]] de racionaloj kaj deklaris ĉiujn vicojn, konverĝantajn al nulo, nulo. La rezulta aro estas aro de reeloj. Por daŭrigi la konstruon al hiperreeloj, ni kosideru la nulajn arojn de tiaj vicoj, t.e. <math>z(a)=\{i: a_i=0\}\quad</math>, kie <math>z(a)\quad</math> estas aro de indicoj <math>i\quad</math> por kiuj <math>a_i=0\quad</math>. Evidente, se <math>ab=0\quad</math>, do la kunigo de <math>z(a)\quad</math> kaj <math>z(b)\quad</math> estas ''N'' (aro de [[naturalo]]j). Do:
==Ecoj de infinitoj kaj infinitezimoj==
 
La finiaj elementoj '''F''' de '''*R''' formas [[loka ringo|lokan ringon]] kaj estas, fakte, [[valoriga ringo]] kun unika maksimuma idealo '''S''', kiu estas aro de infinitezimoj; la kvantorokvociento '''F'''/'''S''' estas izomorfa al la reeloj. Do, ni havas [[ringa izomorfismo|izomorfan]] bildigon st(''x'') de '''F''' al '''R''', kies [[kerno (matematiko)|kerno]] kosistas je infinetezimoj kaj kiu sendas ĉiun elementon ''x'' de '''F''' al unika reela nombro, kiu malsamas de ''x'' je '''S''' - do, je infinitezimo. Alie dirite, ĉiu ''finia'' nenorma reelo estas "tre proksima" al unika norma reelo, en tiu senco ke se ''x'' estas finia nenorma reelo, ekzistas unu kaj kaj nur unu norma reelo st(''x''), tia, ke ''x''&nbsp;&ndash;&nbsp;st(''x'') estas infinitezima. Tiu ĉi nombro st(''x'') nomiĝas [[standarda parto|standarda (flaga) parto]] de ''x'', koncepte la "plej proksima reelo" al ''x''. Tiu ĉi operacio estas ordo-konservanta izmorfismo kaj kondutas bone ambaŭ algebre kaj ordoteorie. Kvankam ĝi estas ordo-konservanta, ĝi ne estas izotona, t.e. <math> x \le y</math> implikas ke <math>\operatorname{st}(x) \le \operatorname{st}(y)</math>, sed <math>x < y </math> ne nepre implikas ke <math>\operatorname{st}(x) < \operatorname{st}(y)</math>.
 
* Se ambaŭ ''x'' kaj ''y'' estas finiaj,